XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Золотая пропорция вокруг нас

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Хузина О.И. 1

---

1ПМАОУ "Школа №32"

Заборских Д.В. 1

---

1ПМАОУ "Школа №32"

Работа в формате PDF

2.7 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

«Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем».

И. Кеплер

Однажды я задумалась, как до наших дней дошли строения, которые были построены много тысяч лет назад? Люди с древних времен, возводя свои жилища, думали, в первую очередь, об их прочности. Прочность связана и с долговечностью. На возведение зданий люди тратили огромные усилия, а значит, были заинтересованы в том, чтобы они простояли как можно дольше. Прочность сооружения обеспечивается не только материалом, из которого оно создано, но и конструкцией, которая используется в качестве основы при его проектировании и строительстве. Прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой. Математик бы сказал, что здесь очень важна геометрическая форма (тело), в которое вписывается сооружение.

Математика играет важную роль в создании и понимании архитектурных конструкций. Она помогает архитекторам в определении пропорций и соотношений, создании математических моделей и использовании компьютерного моделирования.

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете — посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение». О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой — 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение».

Актуальность проекта: принцип «золотого сечения» используется во многих сферах человеческой жизни, и вселенная построена по нему, он имеет многовековую историю использования в математике и искусстве.

Цель проекта: выявление закономерностей и связей «золотого сечения» в окружающем нас мире; создание игры для популяризации знаний о «золотом сечении»

Задачи:

1. Изучить литературу по рассматриваемому вопросу, раскрыть сущность понятия «золотое сечение».

2. Изучить практическое применение сечения в различных областях.

3. Разработать практический инструмент знакомства с понятием «золотого сечения» и его глубоким пониманием.

Глава 1. Теоретическая часть

1.1. Просто о сложном: что это такое – правило золотого сечения

Золотое сечение –это правило общей пропорции, которая создает универсальную композицию. Математики называют её формулой божественной гармонии или асимметричной симметрией.

Это интересно! Общее определение правила ЗС –меньшая величина относится к большей, как большая к целому. Было рассчитано приблизительное число, равное 1,6180339887, это и есть коэффициент золотого сечения. Если смотреть в процентном соотношении, то в одном целом меньшая величина занимает 38%, большая – 62%.

Признано считать, что ЗС пришло к нам еще с древней Греции, но есть и такое мнение, что его греки подсмотрели у египтян. Если проанализировать архитектуру Египта того времени, можно чётко проследить соблюдение математической гармонии. Необычные свойства числовой зависимости стали причиной мистического отношения к золотому сечению:

• практически все живые организмы можно привести к принципу числовой зависимости. Например, тело человека, количество семечек в подсолнухе, структуру ДНК, произведения искусства и вирусную бактерию;

• данная зависимость чисел характерна только для биологических существ и кристаллов, все остальные неживые объекты природы крайне редко обладают золотой пропорцией;

• именно математическая пропорция в строении биологических объектов оказалась оптимальной для выживания.

Идеальный пример ЗС в природе — раковина морского моллюска

1.2 Экскурс в историю: кто придумал золотое сечение

Представление о золотой пропорции имели и древние греки, и египтяне, известно было о ней и на Руси. Но впервые ещё в 1509 году в книге «Божественная Пропорция», иллюстрации к которой принадлежат Леонардо да Винчи, монах Лука Пачоли дал научное определение правилу. Он видел в золотом сечении божественное единство:

• маленький отрезок – это сын;

• большой – отец;

• весь отрезок – это святой дух.

Это интересно! Историки присваивают Леонардо да Винчи определение термина ЗС, поскольку он долгое время изучал божественную закономерность и воплощал её принцип в своих творениях.

Вторую жизнь ЗС получило в 1855 году благодаря философу Адольфу Цейзингу. Он доработал теорию до абсолютного идеала, и она стала универсальной для всех проявлений. Все это он описал в своей книге «Математическое Эстетство», на которое в свое время обрушилось много негатива и критики.

Золотое сечение в божественной пропорции

1.3 Принцип расчета и построения золотого сечения

Примеры пропорции золотого сечения можно видеть при строительстве , многих архитектурных сооружений только нужно знать, как правильно его увидеть. Для этого достаточно посмотреть на строение всего 5 минут.

Как определить число золотого сечения

С пропорцией ЗС связывают астронома из Италии Фибоначчи, он вывел ряд чисел, в котором значение каждого последующего равно сумме двух предыдущих. Сегодня эта закономерность известна как ряд Фибоначчи:

• 0, 1,1 (0+1), 2 (1+1), 3 (1+2), 5 (2+3), 8 (3+5), 13 (5+8), 21 (8+13), 34 (13+21), 55 (21+34), 89 (34+55) и так до бесконечности;

• если выполнить деление последующего числа на предыдущее – получится коэффициент ЗС.

Данную формулу применяют для расчета пропорций золотого сечения в любой отрасли, на практике чаще всего используют округленные значения 0,62 и 0,38.

Ряд Фибоначчи в церкви Покрова на Нерли

Как рассчитать золотое сечение на простейшем примере

Проще всего объяснить гармонию ЗС можно на примере обычного куриного яйца, точнее на удалении всех точек скорлупы от центра тяжести. Именно форма оболочки, а не её прочность, обеспечила выживаемость птиц столь долгое время и в любых условиях.

Если взять обычный отрезок, который состоит из нескольких маленьких, их длины относятся к большей величине как 0,62. Это показывает, как можно разбить целую линию для получения идеальной пропорции.

Простой пример золотого сечения в курином яйце

Как построить золотое сечение на примере прямоугольника и спирали

Если построить золотой прямоугольник, используя ряд Фибоначчи, он будет выглядеть как единое целое. Рассмотрим зависимость на примере:

• нужно нарисовать квадрат со стороной 1 и рядом ещё один аналогичный;

• над ними разместить квадрат со стороной 2;

• слева гармонично помещается квадрат с гранью 3;

• ниже – квадрат со стороной 5;

• справа пространство займет квадрат с гранью 8;

• площадь прямоугольника 8×13, в котором 13 — это следующее число ряда;

• если разделить на калькуляторе следующее число на предыдущее, получится значение золотого сечения 1,62, причём, чем больше числа, тем меньшая погрешность в их отношении;

• если по этому принципу построить спираль, каждую четверть витка она будет расширяться именно на значение ЗС.

Принцип золотого сечения в прямоугольнике

Построение золотой спирали из прямоугольника

1.4 Божественная гармония золотого сечения в архитектуре: фото древних построек и примеры современного строительства

Многие древние здания, которые сохранились до наших времен, подтверждают мнение, что они были построены по правилам идеальной пропорции. Это резиденции королей, церкви, общественные сооружения. Рассмотрим на примерах принцип золотого сечения в разных странах.

Тайны древнеегипетской архитектуры

В архитектуре Древнего Египта по правилам золотой пропорции была построена пирамида Хеопса. Глядя на творение строителей, можно увидеть треугольник с прямым углом, один катет которого является высотой, второй – половиной длины основания. Если взять отношение гипотенузы к меньшей стороне, получим идеальное значение 1,61950 или 1,62.

Это интересно! Форма пирамиды имеет ещё одно неоспоримое свойство. В нём сталь становится прочнее, вода дольше сохраняет свежий вкус, и быстрее растут живые растения. Много лет ученые пытаются разгадать этот феномен, но пока его научное решение не найдено.

Было замечено, что пирамида улучшает психоэмоциональное состояние человека, в её области уменьшаются вредоносные излучения, пропадают геопатогенные зоны.

Идеальная пропорция золотого сечения в пирамиде

Идеальные пропорции в древней Греции

Идеальная пропорциональность делает архитектурные объекты запоминающимися. Яркий представитель ЗС из древней Греции – Парфенон, который возведен в 5 веке до нашей эры. Если взять отношение его высоты к ширине, получится практически идеальное число 0,618.

Ученые определили, что для абсолютного золотого числа нужно отнять от высоты 14 см и прибавить их к ширине. Учитывая строение сооружения, очень похоже, что это было сделано древними архитекторами Иктином и Калликратом намеренно, поскольку фасад немного сужается в верхней части и отклоняется от золотого прямоугольника. Но общие пропорции ЗС соблюдены.

Принцип идеальной пропорции в древнегреческом Парфеноне:

Памятники архитектуры средневековья

Прекрасным памятником истории архитектуры средневековья, сохранившимся до нашего времени, является собор Парижской Богоматери или Нотр-Дам де Пари. В здании очень заметно желание архитектора соблюсти гармонию и целостность.

Анализируя строение, принцип ЗС можно видеть на нескольких участках

Архитектура России

Ряд Фибоначчи – это своеобразная матрица, с помощью которой анализируют любое архитектурное сооружение. Чтобы было проще ориентироваться, можно построить на принципе золотого сечения циркуль Фибоначчи.

Разметчик Фибоначчи построен по правилу золотого сечения

Использовать циркуль можно практически на любом архитектурном сооружении.

Чтобы исследовать большие объекты, нужно отойти на некоторое расстояние и приложить циркуль

Золотое сечение в архитектуре Москвы

Выдающееся здание МГУ на Воробьевых горах было построено в послевоенное время. В те годы это было самое высокое строение, состоящее из пяти композиционных групп, которые венчает центральная башня. Здесь чётко прослеживается треугольник с прямым углом, гипотенуза которого захватывает пристройки и проходит через угол здания.

В МГУ золотому сечению подчиняются высоты

Золотые пропорции прослеживаются и в работах русского зодчего Матвея Казакова.

Кремлевское здание сената

Пречистенский дворец

Голицынская больница

Дом союзов — благородное собрание

Использовал это прием и архитектор Василий Баженов, его здания причислены к историческим памятникам

Дом Пашкова

Архитектура в Санкт-Петербурге

Живым примером золотого сечения является Исаакиевский собор.

ЗС в Исаакиевском соборе

В первую очередь можно проанализировать его ширину, равную 400 единицам:

• при делении числа 400 на значение золотого сечения получим приблизительно 248;

• при дальнейшем делении 248/1,618=153;

• основная часть собора вписывается в золотой прямоугольник, длинная сторона которого равна 400, ширина – 248.

По высоте здания ЗС можно видеть у купола, благодаря этому внешнее восприятие памятника архитектуры становится гармоничным.

На фото чётко прослеживаются золотой треугольник и прямоугольник в Исаакиевском соборе

Примеры золотого сечения в современной архитектуре

В современной архитектуре формула расчёта золотого сечения позволяет проектировать уникальные формы, которые несут прочность, спокойствие и красоту.

1.5 «Золотое сечение» в других областях

Золотое сечение является олицетворением гармонии всего сущего в природе, а также универсальным законом всех живых систем. Представлено золотое сечение в природе двумя своими разновидностями: иррациональной, т.н. пифагоровским отношением 1.62, и целочисленным, соответствующим числам Фибоначчи. Вторая разновидность имеет воплощение в структуре ДНК и РНК, листорасположении на ветках деревьев, семенах подсолнечника, кактусах, ананасах, шишках сосны. Что же касается иррациональной составляющей золотого сечения, то она нашла свое воплощение в пропорциях тела человека, соотношении размеров грудной и брюшной части тела бабочек, особенно заметном, когда это насекомое разводит крылья, пропорциях стрекозы и ящерицы, яйце птицы. Золотое сечение является основополагающим принципом такой науки, как анатомия человека, ведь число костей туловища и черепа, а также количество конечностей нашего тела имеет соответствие с рядом чисел Фибоначчи. Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни". Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в этом проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.

Золотое сечение находит применение в живописи. Сейчас с уверенностью можно сказать, что золотая пропорция - это та основа формообразования, применение которой обеспечивает многообразие композиционных форм во всех видах искусства и дает основание создать научную теорию композиции и единую теорию пластических искусств. В эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Если необходимо найти линию золотого сечения на картине или эскизе по горизонтали, то новое деление геометрическим способом высоты картины производить нет необходимости. Достаточно провести диагонали картины. Их пересечения с линиями золотого сечения по вертикали укажут точки, через которые следует провести горизонтальные линии золотого сечения. Эти линии могут понадобиться при построении пейзажа. Художники-пейзажисты из опыта знают, что нельзя отводить половину плоскости холста под небо или под землю и воду. Лучше брать или больше неба, или больше земли, тогда пейзаж «лучше смотрится».

Глава 2. Практическая часть

Игра-бродилка «Золотое сечение»

Пояснительная записка

«Игра – это искра, зажигающая огонек пытливости и любознательности».

В.А. Сухомлинский

Современные дети-школьники считают, что многие знания, в том числе и математики им не пригодятся в дальнейшей жизни, что умение быстро и правильно считать устно, решать логические задачи, знать термины и разбираться в соотношениях – это пустая трата времени – ведь у них есть телефон, который спокойно может справиться с поставленной задачей. Чтобы изменить мнение обучающихся, их надо заинтересовать, а самый простой способ вызвать интерес к чему-либо – это игра. Поэтому создание математической игры - бродилки является актуальной задачей в современном образовательном процессе. Во время игры ненавязчиво развиваются навыки логического мышления, навыки решения задач, расширяется понятийный аппарат и улучшаются математические способности через работу с числами, схемами и выработку стратегий. Кроме этого, развиваются внимание, скорость реакции и концентрация. Таким образом, создание настольной математической игры является перспективным направлением, которое может принести пользу как в образовательном, так и в развлекательном аспекте.

Настольные игры являются эффективным инструментом для обучения, позволяя сочетать развлечение с познавательным процессом.

В настоящее время наблюдается интерес к играм и другим интерактивным методам обучения, позволяющим внести новизну и увлекательность в учебный процесс. В рамках данного проекта мы предлагаем разработку настольной игры в жанре "ходилка-бродилка" по теме: «Золотое сечение» для учащихся 7-9 классов, которая поможет подросткам лучше усваивать учебный материал, расширить понятийный аппарат и развивать логическое мышление.

Согласно современным образовательным стандартам, важно не только передавать знания, но и развивать у учеников навыки критического мышления и креативности. Игровые методы обучения способствуют повышению вовлечённости учащихся в процесс изучения математики, способствуют снятию страха перед предметом и формируют у них интерес к предмету.

Разработка настольной игры для 7-9 классов является актуальной так как происходит формирование базовых математических понятий, устанавливаются связи между отдельными частями математики и другими предметами, отражается наличие математических знаний в самых разных областях человеческой жизни.

Таким образом, проект настольной игры предоставит учащимся возможность не только учиться, но и весело проводить время в процессе соревнования, что, в конечном счёте, приведет к улучшению их успеваемости по предмету.

Основной целью проекта является создание настольной игры "ходилка-бродилка", способствующей эффективному изучению математики и формированию интереса к математике на примере известного факта.

Конкретные цели включают:

1. Повышение интереса учащихся к математике через игровую деятельность.

2. Формирование функциональной грамотности на уроках математики.

3. Развитие логического мышления, критического подхода и командного взаимодействия среди школьников.

4. Создание обучающего контента, соответствующего возрастным и учебным требованиям.

На первоначальном этапе была выбрана форма игры – игра-бродилка с кубиком, потому что для возрастного диапазона (13-16 лет) она интересна и обладает развивающим потенциалом. Важная составляющая — довольно простые правила, которые понятны всем. Польза, от процесса игры, очень велика. Дети, во время игры развивают усидчивость, речь, память, навыки устного счета. У данной игры есть ряд функций:

- дать детям возможность учиться и приобретать на практике новые знания и навыки, необходимые для успешного прохождения игры;

- узнавать о правилах, соблюдать очереди, воспитывать честность, испытать чувство победы и поражения;

- развивать память, распознавать образы, развивать логику.

На втором этапе был разработан макет игры и продуманы декорации поля, карточек.

На третьем этапе были составлены тексты к карточкам, выстроена последовательность.

Четвертый этап – разработка правил игры.

Правила игры

Игра «Ходилка-бродилка» — это настольная игра, в которой игроки перемещаются по игровому полю, бросая кубик и двигаясь по клеткам. Вот основные правила игры:

1. Игровое поле представляет собой клетчатую дорожку, где каждая клетка имеет свои значения: пустая клетка, клетка с заданиями, бонусами или штрафами.

2. Количество игроков: Игра может быть сыграна от 2 до 4 игроков. Среди них должен быть один игрок, который будет выполнять роль ведущего (следить за ходом игры и правильностью ответов других игроков).

3. Игроки берут фишки и ставят на старт. Далее необходимо определить очередность хода. Для этого каждый должен бросить кубик. У кого выпадет наибольшее количество очков, тот будет ходить первым, далее ход передается по часовой стрелке.

4. Ход игры. Игроки ходят по очереди. В свой ход игрок бросает кубик и продвигает свою фишку на количество клеток, равное выпавшему числу. Если игрок остановился на зеленой клетке, то ему необходимо вытянуть карточку вопросом и ответить на него.

5. Если игрок правильно ответил на вопрос, то он остается на той же клетке, но в случае неправильного ответа необходимо кинуть кубик и передвинуться назад на то количество клеток, какое число выпало на кубике.

6. Финиш: Игра заканчивается, когда один из игроков достигает последней клетки (финиша). Он объявляется победителем.

7. Завершение игры: если несколько игроков достигают финиша одновременно, можно провести дополнительный раунд, чтобы определить абсолютного победителя.

8. Дополнительные правила

- По желанию игроки могут установить таймер, чтобы каждый игрок бросал кубик и делать ход в течение определенного времени.

- Если игрок не может ответить на вопрос, он может воспользоваться помощью друга. В этом случаи очки за правильный ответ делятся поровну между игроками.

Карточки для игры