XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Золотое сечение в математике и в жизни
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Однажды на выставке экскурсовод, рассказывая про картину, отметила, что художник придерживался принципов «Золотого сечения». Мне стало интересно, что означают эти слова. Я расспросила взрослых, которые тоже знали немного, так появилась идея узнать больше о «Золотом сечении» и поделиться своими знаниями с моими одноклассниками.
Исследуя литературу, я выяснила, что с Древних времен умы ученых в разных областях науки и культуры занимало такое понятие, которые мы сейчас называем «Золотое сечение». Его называют также «Божественная гармония» или «Божественная пропорция» и «Золотая пропорция». Золотое сечение – это пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей. Многие ученые и исследователи считают, что Золотое
сечение – единственное и неповторимое, идеал гармонии в природе и искусстве.
Гипотеза работы: ответить на вопрос, действительно ли Золотое сечение встречается во всем, что нас окружает.
Цель работы: найти доказательства существования Золотого сечения.
Для реализации поставленной цели, мы предусмотрели следующие задачи:
-
Изучить литературу, посвященную «Золотому сечению».
-
Привести примеры из области науки и искусства, в которых принципы Золотого сечения имеют доказательную базу.
-
Провести эксперимент, используя математические данные Золотого сечения.
Очень многие открытия, которые облегчают нам жизнь сегодня, были сделаны несколько столетий, а иногда и тысячелетий назад. Не имея компьютеров и других современных вычислительных аппаратов, ученые находили простые и очевидные ответы на самые сложные вопросы. Именно путем математических вычислений была найдена идеальная пропорция, которая сегодня интересна и актуальна для представителей многих профессий. Оказывается, данная пропорция используется во многих сферах жизни и деятельности человека. Изучение источников показало, что актуальность Золотого сечения сохраняется с давних пор. В древних цивилизациях с учетом Золотой пропорции строили дома и создавали предметы бытового назначения. В эпоху Возрождения большой интерес к Золотому сечению проявляли художники, архитекторы и даже монахи. Сегодня, конечно, в век технического и компьютерного прогресса люди уделяют большое внимание визуальному восприятию. Внешнюю красоту хочется видеть везде. Именно поэтому во всех сферах, которые связаны с красотой, мастера пытаются добиться ее всеми способами. В процессе нашего исследования, мы находили сведения, что гармоничные пропорции актуальны в косметической хирургии, живописи, дизайне интерьера, архитектуре, флористике, компьютерном моделировании. Современные возможности позволяют с достоверной точностью производить вычисления на компьютере. Поэтому каждый может пытаться создать свой шедевр в различных областях.
Глава 1. Что означает «Золотое сечение»
§1.1. История «Золотого сечения»
Исследователи говорят, что Золотое сечение можно найти во всем, что нас окружает. Когда мы любуемся иконами и соборами, рассматриваем какую-либо картину или скульптуру, красивое здание, мы не всегда можем ответить даже себе, что именно нас так привлекает и завораживает. Пропорциональная гармония всегда притягательна.
История этого вопроса уходит своими корнями в глубину тысячелетий. Считается, что понятие «Золотое сечение» ввел в обиход древнегреческий ученый Пифагор. Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.
Люди воспринимают окружающие предметы по форме, цвету, размеру. Один предмет кажется зрительно красивым, другой может не понравится. Есть такие предметы, которые нравятся почти всем. Еще до появления самого понятия Золотого сечения, люди пытались определить математическим путем, почему та или иная форма так притягательна для глаз.
На протяжении многих лет интерес к Золотому сечению то появлялся, то снова угасал. Так, великий ученый Леонардо да Винчи, живший и творивший в эпоху Возрождения, исследовал принципы Золотого сечения. Многие его работы до сих пор считаются шедеврами и вызывают интерес потомков. Никто не смог до конца раскрыть тайну совершенства его картин. В это же время большой интерес к математической гармонии проявляет и церковь. Церковь в это время обладает большой властью и способность воздействовать на людей. Монах Лука Пачоли исследует данную тему и пишет трактат, в котором математические пропорции приобретают религиозные названия. Так, малый отрезок он назвал Сыном, большой отрезок – Отцом, а весь отрезок – Святым духом (см. далее § 1.2. рис.1). После этого открытия появилось выражение Божественная пропорция или Божественная гармония. Данные выражения используются до сих пор, поскольку все, что человек не до конца понимает, он часто объясняет каким-то волшебным, мистическим или религиозным образом.
Золотое сечение было интересно для представителей различных сфер. Астрономы и ботаники, архитекторы и художники, математики и физики – все так или иначе соприкасались с принципами Золотой пропорции. Они находили примеры в своих областях, в которых были очевидны принципы золотого сечения.
Сам термин «золотое сечение» введен лишь в 1835 году немецким математиком Мартином Омом (1792–1872). Интерес к Золотому сечению постоянно возобновлялся, и в наше время появилась возможность его легко вычислить и применять в различных сферах жизни.
§1.2. Как можно вычислить и показать «Золотое сечение»
Сейчас исследователи и сторонники теории существования Золотого сечения говорят о том, что его можно найти повсюду: в строении тела человека, в архитектуре, живописи. Определенные пропорции повсеместно используются в дизайне и строительстве, фотографии и очень часто их можно увидеть в природе.
Однако, стоит вернуться к математической составляющей, чтобы понять, как вычислить или увидеть Золотое сечение.
Итак, если отрезок разделить на две неравные части, то это деление будет пропорциональным в том случае, если большая часть отрезка относится к целому так же, как и меньшая часть к большему. Будет понятнее, если посмотреть на иллюстрацию и формулу.
Рис. 1. Расчет Золотого сечения
На рисунке целый отрезок разделен так, что если а разделить на b и выразить их в числовом значении, получим 1,1618, та же цифра получается, если целый отрезок разделить на большую часть —a. Это число и есть воплощением идеальной пропорции. В процентном соотношении это выражается 62 % и 38%. Пропорция золотого сечения, известная как число фи = 1,618033 — это число, не имеющее математического решения, поскольку оно бесконечно. Существует сокращение числа фи до тысячных долей, то есть остаются три цифры после запятой 1,618. Такой вид написания более привычный для нас.
Ученые находили математические подтверждения золотого сечения различными путями. Так, золотое сечение тесно связано с последовательностью Фибоначчи. Тема это достаточно сложная для второклассника, поэтому скажем кратко. Математик Фибоначчи, живший в XII веке, отрыл такую последовательность чисел, в которой каждое следующее число равно сумме предыдущих двух чисел. Начинается последовательность с цифры 0, далее следует 1, затем 0+1 снова получаем 1, а далее уже 1+1=2. Как же эта последовательность связана с золотым сечением. Оказывается, отношение каждого числа к предыдущему примерно равно значению золотого сечения.
Эта последовательность представляется графически в виде квадратов соответствующего размера.
Рис. 2. Графическое изображение последовательности Фибоначчи в виде квадратов и Золотая спираль в них.
Как мы видим на рисунке стороны каждого квадрата соответствуют числу, а затем и сумме чисел последовательности великого математика. Далее по диагонали из одного угла в другой проводится спираль. Мы приводим именно такой рисунок, чтобы далее в работе проиллюстрировать примерами математические вычисления.
Выводы к главе 1
История развития вопроса показывает, что интерес к золотому сечению то появлялся, то снова угасал на протяжении тысячелетий. Среди исследователей есть ярые сторонники теории золотого сечения в различных областях науки и искусства, которые утверждают, что принципы гармонии характерны всему живому, необъяснимо они находят свое проявление даже в самых обыденных вещах. Но также есть и противники, и критики этой теории, которые настаивают на том, что только четкие доказательства могут свидетельствовать о существовании золотого сечения вне математической науки. Великие умы во всем мире: математики, художники, скульпторы, биологи, астрономы уже несколько веков пытаются доказать своими работами, что математическая гармония находит свое применение во многих прикладных областях. Споры сопутствуют любому великому открытию, однако математические вычисления являются неоспоримым фактом существования явления математической гармонии, которое получило название золотое сечение.
Глава 2. Жизнь, наука и искусство. Где мы видим принципы «Золотого сечения»
§ 2. 1. Живой мир
И в растительном, и в животном мире примеров Золотого сечения очень много. В природе все необъяснимо красиво и гармонично. Если человек специально рассчитывает свои произведения, чтобы они всем понравились, то в природе все наоборот. Естественным образом появляются такие живые существа, которые интересно разглядывать, и остается только удивляться, как они появились на свет. Особенность числа фи в том, что его можно найти везде, от строения костей человека до спирального расположения завитков раковин моллюсков. Так, Платон называл пропорцию фи «ключом к физике космоса».
Природа сама осуществила деление на гармоничные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.
Один из известных природных объектов, символизирующих Золотое сечение – это раковина наутилуса (Приложение 1, рис. 1). Каждая следующая спираль пропорционально больше предыдущей. Форма раковины повторяет Золотую спираль Фибоначчи (см. § 1.2. рис. 2).
Зоологи находят многочисленные примеры золотой пропорции среди насекомых и животных. Туловище ящерицы, стрекозы и бабочки соответствует законам золотого сечения (Приложение 1, рис. 2). Паутина представляет собой не что иное, как закрученные по спиралям нити (Приложение 1, рис. 3).
Спираль увидели в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. (Приложение 1, рис. 4). Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
Выяснилось, что в расположении листьев у растений и на ветках проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон Золотого сечения (см. Приложение 1; рис. 5).
Таким образом, в представлении многих ученых золотое сечение является одним из важнейших принципов гармоничного устройства мира, что, конечно, находит свое проявление в природе.
§ 2.2. Золотое сечение в живописи и архитектуре
В искусстве гармония имеет очень важное значение. Правильные пропорции притягивают взгляд и считаются красивыми. Золотое сечение в искусстве служит основой композиции в работах величайших мастеров прошлого. И сейчас оно остается одним из приемов, которые внедряют художники, дизайнеры, фотографы. Чтобы создать гармоничное произведение авторы применяют также геометрические фигуры, построенные на основе этого принципа. Это треугольники, прямоугольники, звезды, спирали. В эти геометрические фигуры вписываются части картины или другого произведения.
Многие исследователи считают, что икона Андрея Рублева «Троица» соответствует принципам золотого сечения (см. Приложение; рис. 6). Иконописцу удалось передать впечатление согласия, покоя и гармонии, благодаря тому что он использовал плавные линии и похожую на круг композицию. Скорее всего иконописец не высчитывал никакие пропорции, но благодаря своему особому дару смог так написать икону, что она идеальна и прекрасна. Именно из-за таких случаев «Золотое сечение» и называли «Божественной пропорцией». Ведь не каждый человек может создать выдающийся шедевр, даже если сделает точнейшие подсчеты.
Картина Леонардо да Винчи «Мона Лиза» притягиват к себе внимание уже несколько столетий. Искусствоведы установили, что в композиции одной из самых выдающихся картин «Мона Лиза» (Приложение 1, рис. 7), можно найти спираль, которая отвечает принципам золотого сечения. Также исследователи его творчества говорят, что изображение витрувианского человека в другом рисунке Леонардо да Винчи, есть не что иное как зашифрованное золотое сечение. Тело человека, вписанное в геометрические фигуры.
Наиболее известным примером золотого сечения в архитектуре считается древнегреческий храм Парфенон. Если произвести деление Парфенона по золотому сечению, то получаются пропорциональные выступы фасадов (Приложение 1, рис. 8).
Одним из самых красивых зданий архитектуры Санкт-Петербурга считают Исаакиевский собор. Несмотря на большой размер он выглядит величественно и гармонично. Пропорциональное деление фасадов дает необходимую гармонию всему собору.
Известные русские архитекторы также были в свое время увлечены идеей золотого сечения, считая его пропорции наиболее правильными, что естественным образом отразилось в их творчестве. Так, по проекту М. Казакова была построена Голицынская больница в Москве. По проекту В. Баженова возведен дом Пашкова – одно из совершенных зданий современной архитектуры.
§ 2.3 Использование принципов золотого сечения в наши дни. Личный эксперимент.
Мы хотим отметить, что в наши дни принципы золотого сечения не теряют своей актуальности. Сегодня информацию о гармоничных и дисгармоничных сочетаниях можно найти в открытом доступе. Широко используются золотые пропорции в косметологии, флористике и web-дизайне (Приложение 1, рис. 9 и 10). Компьютерные программы позволяют рассчитывать индивидуальные дома, построенные по принципам золотой гармонии, выпускать предметы интерьера и быта.
После того как мы прочитали и изучили большой объем информации, увидели много примеров, я решила тоже испробовать свои силы. В одной из книг для художников мы нашли руководство по составлению композиции с учетом золотого сечения. Я уже 4 года занимаюсь живописью в студии Либеров-центр, поэтому выполнила рисунок. В композиции я следовала правилам золотой пропорции. Сначала схематично разделила лист на части, затем вписывала лицо в определенные сегменты листа согласна правилам. Результат мне понравился.
Выводы к главе 2
Мы рассмотрели разнообразные примеры из мира природы, объекты архитектуры, шедевры живописи и считаем, что изученные данные позволяют нам разделить все примеры на три категории.
Первая категория – это все проявления принципов золотого сечения, которые являются случайными и необъяснимыми. Мы относим сюда то, что создано природой. Конечно, природа сотворила совершенство. Но остается очень много вопросов. Почему раковина имеет закручивающую форму? Почему листья располагаются по определенной последовательности? Зачем ящерице хвост длиннее, чем все ее туловище?
Ко второй категории мы относим предметы и объекты, созданные человеком, в которых также есть принципы золотой гармонии. Но всегда ли она осознана и запланирована? Вероятнее всего, иконописцы, многие художники и архитекторы не высчитывали идеальных пропорций, но благодаря великому дару и таланту видели своими глазами гармоничность композиции и цвета.
Мы полагаем, что к третьей категории можно отнести все то, что осознано сделано человеком с учетом знаний о золотом сечении. Сейчас красота хорошо продается. Как большие, так и маленькие компании заинтересованы в привлечении покупателей, поэтому знание гармоничных пропорций помогают производителям делать красивые букеты, логотипы, мебель и другие предметы интерьера и быта.
Заключение
Я хочу подвести итог своей работы и сказать, что «Золотое сечение» - очень интересное явление. В математике оно хорошо изучено и доказано. В других областях в этом вопросе остается много загадок. Как в природе возникают такие явления и предметы, которые соответствуют точным математическим расчетам? Почему некоторые растения повторяют Золотую пропорцию? Почему творцам удается без особых расчетов создавать гармоничные произведения, соответствующие всем принципам золотого сечения? Примеры в работе, подтверждают гипотезу. Действительно вокруг нас в мире - в природе, в искусстве, архитектуре, в Интернете много того, что соответствует принципам золотого сечения.
Нужно отметить, что среди ученых неоднократно возникают споры в рассматриваемом вопросе. Кто-то считает золотое сечение вне математики мифом и случайностью, другие доказывают его существование. Это может быть предметом дальнейшего исследования.
Конечно, это тема для меня еще очень сложная, но я сделала первый шаг в ее изучении и хотела бы продолжить, когда смогу понимать все математические вычисления.
Список литературы:
-
Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. – 5-е изд. – М.: Наука, 1984. – 144с.
-
Ковалев Ф. В. Золотое сечение в живописи. – М.: РИП-Холдинг, 2021. – 192 с.
-
Корбалан Фернандо Золотое сечение. Математический язык красоты – М.: Де Агостини, 2013. – 160 с.
-
Тимердинг Генрих Е. Золотое сечение: Пер. с нем. / Под ред. Г. М. Фихтенгольца. Изд. 2-е , стереотипное. – М.: КомКнига, 2005. – 88 с.
Приложение 1
Иллюстрации предметов живописи, объектов архитектуры и примеров из живой природы, в которых исследователи нашли принципы Золотого Сечения.
Рис. 1. Раковина Наутилуса
Рис. 2. Туловище ящерицы
Рис. 3. Паутина, закрученная по спирали
Рис. 4. Шишка
Рис. 5. Алоэ Филлотаксис
Рис. 6. Икона «Троица» Андрей Рублев
Рис.7. «Мона» Лиза Леонардо да Винчи
Рис. 8 Древнегреческий храм Парфенон.
Рис. 8. Исаакиевский собор в Санкт-Петербурге
Рис. 9. Букет, собранный по принципам золотого сечения
Рис. 10. Логотип компании Apple
Приложение 2
Работа, выполненная с учетом принципов Золотого сечения