XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Применение метода координат для решения задач по стереометрии
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Целями данного работы являются:
изучение различных способов решения задач по стереометрии, особенно задач ЕГЭ
нахождение метода, который будет наиболее простым
Решая задачи ЕГЭ, по блоку стереометрии обычным способом очень часто приходится много писать, такие решения требуют значительного количества знаний и умения применять эти знания, а также нужно уметь представлять различные плоскости отдельно. Каждое предложение при решении обычным способом требует объяснений, из-за этого такие решения более трудоемкие и объемные.
При подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня, я столкнулся с тем, что некоторых тем, необходимых для решения задач мало и они рассматриваются недостаточно в школьной программе. Тогда я решил углубится в решение задач по стереометрии, особенно методом координат в пространстве. Под руководством учителя мы начали исследовать задачи, которые можно эффективно решать методом координат
Задача проекта: Устранить пробелы при решении задач по стереометрии с помощью декартовой системы координат
Задачи по стереометрии, решаемые методом координат, требуют знания большого количества формул и свойств геометрических фигур. Решая методом координат в пространстве нужно уметь переводить геометрические условия в алгебраические уравнения, этот этап решения особенно сложный, в нем необходимо не только правильно построить систему координат, но и корректно перенести геометрические условия в виде уравнений и неравенств. В процессе работы я понял, что метод координат универсален, но его применение требует анализа данных задачи. Иногда проще использовать классические геометрические метод, в других же случаях координатный метод позволяет упростить решение.
Ключевой трудностью является выбор системы координат. От нее зависит сложность дальнейших вычислений. Также, при решении задач методом координат часто приходится работать с уравнениями прямых, окружностей и других фигур, это требует хорошего умения владения решения алгебраическими методами.
Гипотеза исследования: использование метода координат в стереометрии является мощным инструментом, который позволяет упростить решение некоторых задач и значительно экономит время.
Объект исследования: задачи по стереометрии.
Основная часть
Теоретическая часть
Для решения задач по стереометрии методом координат необходимо знать базовые понятия и формулы
Понятие вектора
Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом. Если начало вектора — точка А, а его конец — точка В, то вектор обозначается или (стрелка вектора всегда в конце). Нулевой вектор (нуль-вектор) — точка в пространстве. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет длины и направления.
Вектор может располагаться в декартовой системе координат. В этом случае его начало и конец будут иметь свои координаты. Пусть начало вектора имеет координаты А(х1,y1,z1), а конец вектора - B(x2,y2,z2).
К элементам вектора относят: начало вектора, конец вектора, координаты начала и конца.
Координаты вектора называется разность координат, то есть от координат конца вектора минус соответственные координаты начала вектора.
или
Длина вектора (модуль вектора) – это длина отрезка, который вычисляется по формуле (если даны координаты начала и конца вектора).
Расстояние между двумя точками А и В можно вычислить по формуле:
Если вектор уже задан координатами, то длина вектора находится по формуле
. Длина нулевого вектора равна 0.
Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице. В декартовой системе координат выделяют три единичных вектора, которые перпендикулярны друг другу - , , . Они лежат на координатных осях и имеют следующие координаты , ,
Разложение вектора по координатам – это сумма произведений соответствующих координат на единичные вектора, то есть если вектор имеет координаты , то разложение записывается так
Операции над векторами
Суммой (разностью) векторов и называется вектор ( , который имеет координаты
Произведением вектора на число называется вектор , который имеет координаты
Скалярным произведением векторов и называется число, которое вычисляется по формуле
,
реже применяется формула
Скалярный квадрат вектора вычисляется по формуле
Условие коллинеарности двух векторов:
, то есть у параллельных векторов соответственные координаты пропорциональны друг другу.
Условие ортогональности векторов:
, то есть у перпендикулярных векторов скалярное произведение их координат равно нулю.
Угол между векторами вычисляется по формуле
Если в пространстве заданы две точки A(x1;y1;z1) и B(x2;y2;z2), а точка O — середина отрезка AB, то имеет координаты O( ; )
Практическая часть
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
П усть имеются две скрещивающиеся прямые AB и CD.
1.Ввведем систему координат и определим в ней координаты векторов и
2.Находим координаты вектора перпендикулярного обоим векторам и , использую условие перпендикулярности: рис.1
3. Находим координаты какого-нибудь вектора, начало которого лежит на одной прямой, а конец – на другой: . Находим проекцию вектора на вектор по формуле:
, где .
4. Вычисляем расстояние между прямыми по формуле:
Задача №1 (ЕГЭ 2016 год, основная волна)
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна , а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.
а) Докажите, что точка T является серединой SM.
б) Найдите расстояние между NT и SC.
Р ешение:
а) Пусть X – середина SM. Докажем, что NX(SCD)
Введем систему координат так, как показано на чертеже:
N(0; ; 0) М(0; ; 0) S(0; 0; 3) С( ; ; 0)
X(0; ; ) (Координаты точки X нашли как координаты середины SM) чертеж 1
;
И так, отрезок NX перпендикулярен двум пересекающимся прямым СМ и SC плоскости (SDС), значит, NX перпендикулярна(SDС), следовательно NX – высота пирамиды NSCD. Значит точка Х совпадает с точкой Т, т.е. Т-середина SM ч.т.д
б) Через скрещивающиеся прямые SC и NT проведем параллельные плоскости α и β. Вектор α и β
Найдем координаты вектора Чертеж 2
;
Подставив во 2 уравнение системы, получим
Тогда . Пусть ,
ОО1 – проекция SN на (ОN1=SN)
Тогда ОО1=ρ(SN;NT) - расстояние между параллельными плоскостями.
Ответ:
Нахождение угла между прямыми
Д ля поиска угла между прямыми необходимо ввести некоторую систему координат и в ней определить координаты четырех точек по паре на каждую прямую. Пусть, например, у нас есть две прямые АВ и СВ. Тогда находим
Рис.2
Тогда угол между векторами вычисляется по формуле:
Задача №2 (ЕГЭ 2018, основная волна, резерв )
В правильном тетраэдре АВСD точка Н — центр грани АВС, а точка М — середина ребра СD.
а) Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми DН и ВМ.
Р ешение:
а) Введем систему координат так, как показано на чертеже. (Hx|| АВ)
Пусть ребро тетраэдра равно .
. По теореме Пифагора:
Пусть НС=R, НN=r
Чертеж 3
A ( ; ; 0) ; B( ; ; 0);
C (0; ; 0) ; D(0;0; ) ;
ч.т.д.
Чертеж 4
б) C (0; ; 0) ; D(0;0; ) M (0; ; ) B( ; ; 0)
;
Ответ: б)
Угол между прямой и плоскостью
Угол между прямой, наклоненной к плоскости, и этой плоскостью называется угол между прямой и ее перпендикулярной проекцией на эту плоскость.
Если вектор перпендикулярен плоскости α, то угол φ между этой плоскостью и прямой , проходящей через точки A и В определяется по формуле:
Рис.3
где, – направляющий вектор прямой
Плоскость задается уравнением: где
Задача № 3(ЕГЭ 2017)
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 известны рёбра: AB= AA1 = 4. Точка M — середина ребра BC.
а) Докажите, что прямые B1C и C1M перпендикулярны.
б ) Найдите угол между прямой C1M и плоскостью грани ABB1A1.
Решение:
а) Введем систему координат так, как показано на чертеже.
В1 ; ;
C1 ; ;
M
Чертеж 5
Тогда
З начит ч.т.д.
б) N – середина AB, СNAB, CNAA1, следовательно СN (AA1 В1В)
, C
Значит Чертеж 6
Ответ: б)
Угол между плоскостями
Пусть вектор β и ,
тогда угол между плоскостями вычисляется по формуле:
Задача №4 ( демоверсия ЕГЭ 2016,2018,2020-2023 гг)
В се рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями (BMN) и (ABB1).
Решение:
а) Введем систему координат так, как показано на чертеже АВ=6 – единичный отрезок.
В ; А , т.е А
Чертеж 7
; ; ; -середина А1С1
, следовательно ч.т.д.
б) К – середина AB, (AВ1В)
; , значит .
Составим уравнение плоскости (ВМN):
В ; ; ;
,
Подставим в (*):
= ,
Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:
(BMN) ;
(AВ1В);
Ответ: б)
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости,
задаваемой уравнением , определяется по формуле:
Задача №5 (ЕГЭ по математике 29.03.2024. Досрочная волна. Москва.)
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что АВ=3, АD=4 и AA1=6Через точки B1 и D параллельно прямой AC проведена плоскость, пересекающая ребро CC1 в точке K.
а) Докажите, что K — середина CC1.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения.
Решение:
а) Построим плоскость B1KD, где K принадлежит ребру СС1. П роведемB1К ; КD
BB1 C1 || AA1 D1, и значит линии пересечения этих плоскостей с плоскостью B1KD параллельны. Построим ND || В1K, NB1
АВВ1 || СС1 D1, , следовательно NB1 || DK
NB1KD – параллелограмм, значит ND = В1K. В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1
Чертеж 8
лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной высота призмы равна
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью BCM, где M — середина ребра A1C1, является прямоугольной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости BCM.
Тогда B1C1K= NAD по катету и гипотенузе, АN = С1K.
B1KDN || АС, значит NK || AC и тогда NKCA – параллелограмм
Получаем АN =С1K= KC , т.е. К середина СС1 ч.т.д.
б) Составим уравнение плоскости (В1 KD).
Введем систему координат, как показано на чертеже
В ; В1 ; K ; D
с
(B1KD) ;
Ответ: б) .
Расстояние от точки до прямой
П усть требуется найти расстояние от точки С до прямой АВ.
Вводим систему координат и определяем в ней координаты векторов
и . Тогда угол α- между прямыми АВ и ВС, определяется по формуле:
А искомое расстояние определяется по формуле: Рис.4
Задача №6
В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой 5, найти расстояние от точки С до прямой E1D1.
Решение:
Чертеж 9
Введем систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты нужных для решения точек:
;
Координаты векторов:
Ответ:
Заключение
В ходе исследования подтверждена эффективность применения метода координат в стереометрии. Метод позволяет трансформировать геометрические задачи в алгебраические, минимизируя необходимость сложных построений и визуального анализа. Введение системы координат определенном образом позволяет свести стереометрические задачи к алгоритмичным действиям: определение расстояний, углов через формулы, составление уравнений прямых и плоскостей, нахождение координат вектора, анализ взаимного расположения фигур — всё это существенно укорачивает решение.
Таким образом, метод координат является мощным инструментом для решения задач по стереометрии, но его применение требует глубокого понимания как геометрических, так и алгебраических аспектов задачи. В ходе работы этот метод применялся к различным типам задач, что позволило успешно справится с заданиями повышенной сложности.
Важно отметить, что применение координатного метода не исключает классических подходов стереометрии. Традиционные способы, основанные на свойствах геометрических тел и плоских фигур, теоремах, остаются актуальными, особенно для задач, требующих геометрической интуиции. Однако освоение метода координат расширяет инструментарий, позволят выбирать оптимальный путь решения.
Выполненная работа не только систематизировала знания о координатах в пространстве, но и сформировала уверенность в его применении. Теперь, даже обращаясь к стандартным методам, я смогу альтернативно решить задачу аналитически, что подчеркивает ценность проведенного исследования.
Список литературы
1.Атанасян Л.С и др. Геометрия: 10-11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни.– М.: Просвещение, 2019. – 288с.
2.Калабухов С.Ю.Подготовка к ЕГЭ. Решение задач по стереометрии методом координат (задание С2): учебно- методическое пособие/под редакцией Ф.Ф.Лысенко.-Ростов-на-Дону: Легион , 2013.-32с.
3.Пиголкина Т.С. Математика: задание№4 для 11 классов(2008-2009 год). -M.: МФТИ,2008.- 32с.
4.Открытый банк заданий ФИПИ: https://ege.fipi.ru/bank/
5. Сайт РЕШУ ЕГЭ: https://math-ege.sdamgia.ru/.