XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Криптография в математике
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
Актуальность, оригинальность и новизна исследования: в эпоху тотальной цифровизации и больших данных проблема защиты информации становится критически важной. Криптография, некогда удел военных и дипломатов, сегодня лежит в основе безопасности интернет-транзакций, мессенджеров и цифровой подписи. Однако фундаментом этой прикладной науки является чистая математика. Актуальность работы обусловлена возрастающей зависимостью общества от криптографических методов. Оригинальность заключается в рассмотрении криптографии не как раздела информатики, а как яркой демонстрации практической силы абстрактных математических теорий. Новизна исследования — в синтезе исторического обзора, анализа современных угроз (квантовых вычислений) и практической реализации одного из алгоритмов.
Цель исследования: показать глубинную взаимосвязь криптографии и математики, проследить эволюцию криптографических методов на основе развития математического аппарата и оценить современные тенденции.
Задачи:
1. Исследовать математические основы ключевых криптографических алгоритмов.
2. Проанализировать вклад математиков (Эйлер, Ферма, Ривест, Шамир, Адлеман) в развитие криптографии.
3. Рассмотреть угрозу квантовых компьютеров для современных алгоритмов и возможные математические ответы.
4. Практически реализовать и протестировать упрощенную модель шифрования RSA.
5. Создать брошюру с информацией о криптографии и составлением шифрования с помощью математики.
Объект исследования: Криптографические системы и алгоритмы.
Предмет исследования: Математические модели и теории, лежащие в основе криптографиис информацией о криптографии и составлением шифрования с помощью математики.
Методы исследования: теоретический анализ литературы, сравнительный метод, математическое моделирование, практическая реализация алгоритма на языке программирования Python, создание брошюры.
Глава1. Математические основы классической криптографии: теория чисел и алгебра.
1.1. История криптографии и шифр Цезаря. За наукообразным словом «криптография» (с древнегреческого буквально − «тайнопись») скрывается древнее желание человека спрятать важную информацию от посторонних глаз. С распространением письма возникла потребность в более сложных системах шифрования. Со времен древних цивилизаций криптография верно служила военным, чиновникам, купцам и хранителям религиозных знаний.
Одним из первых документально зафиксированных шифров является шифр Цезаря (около 100 г. до н.э.). Его принцип был очень прост: каждая буква исходного текста заменялась на другую, отстоящую от нее по алфавиту на определенное число позиций. Зная это число, можно был разгадать шифр и узнать, какие тайны Цезарь передавал своим генералам.
Простейший шифр Цезаря является ничем иным как арифметикой по модулю (mod n). Каждая буква алфавита сдвигается на фиксированное число позиций k, что описывается формулой:
Шифрование:
Дешифрование: ; где: