XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Числа больше бесконечности

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Тонн Ф.Д. 1

---

1МБОУ СОШ 48

Максименко В.Н. 1

---

1МБОУ СОШ 48

Работа в формате PDF

333.3 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

С самого детства понятие бесконечности кажется нам абсолютной величиной, завораживающим горизонтом, за которым ничего нет. Мы привыкли думать, что это предел, потолок, выше которого подняться невозможно. Но так ли это на самом деле?

Современная математика дает парадоксальный ответ: бесконечности бывают разными, и одни из них могут быть строго больше других. Эта идея, переворачивающая обыденное сознание, составляет предмет нашего исследования.

Цель работы: изучить формы записи чисел, больших бесконечности.

Для достижения нашей цели мы обратимся к теории трансфинитных чисел - удивительной области, где привычная арифметика уступает место логике иного порядка.

1. Числа

Введем понятие числа. Что вообще такое число? «Число́ - это одно из основных понятий математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей». Почти в каждом языке мира есть количественные и порядковые числительные. Исходя из этого, необходимо разделять по смыслу слова: один и первый, два и второй, три и третий и т.д. Из этого следует, что все числа делятся на порядковые и количественные: пятое яблоко и пять яблок. В стандартной математике разницы между порядковыми и количественными числами нет, ведь, если у нас есть пять яблок, то и пятое яблоко тоже присутствует. И все же несмотря на то, что во многих разделах математики разделение чисел на количественные и порядковые не требуется, для них придуманы названия: порядковые - это ординалы, а количественные - это кардиналы. И это применимо и дальше ко всем числам до бесконечности, буквально до бесконечности, ведь на ней происходит некое разделение.

2. Количественные и порядковые бесконечности

Как только речь заходит о бесконечности, ситуация меняется. Можно ли применить порядок к бесконечности? И здесь всё становится гораздо интереснее. Количественную бесконечность выражают в так называемых трансфинитных кардиналах (что в дословном переводе с латинского означает количественное число за пределами бесконечности) и записывают их буквой еврейского алфавита Алеф - ℵ,  ведь количественная бесконечность, это количество всех натуральных чисел. Когда же речь идет о порядковой бесконечности, употребляют выражение: трансфинитные ординалы (что в дословном переводе с латинского означает порядковое число за пределами бесконечности) и записывают буквой греческого алфавита омега - ω.

3. Больше бесконечности

И на этом мы с вами могли бы закончить, но не в этот раз. Следуя из того же определения, после ω идёт следующее число, ω + 1, а потом ω + 2, ω + 3 и т.д., но рано или поздно мы дойдем до ω + ω или же ω * 2. Хорошо, теперь мы можем умножать, ω * 3, ω * 4, ω * 5 и т.д. до ω * ω или ω². Не буду обманывать, далее мы начнём наращивать степени ω³, ω⁴, ω⁵ до ω^ω, и тут может показаться, что это конец, но для нас это только начало. Мы можем добавить ещё одну степень и ещё одну: , , и т.д., но когда мы дойдём до бесконечной башенки из ω, то мы не сможем ничего добавить, ведь ещё одна степень плюс бесконечность не сделает бесконечность больше, получается некая неподвижная точка. И что? Получается тупик?

Конечно, нет. Ведь здесь математики просто решили, что эта бесконечная степенная башенка из ω будет называться ε₀. И тут давайте ненадолго вернёмся назад. Мы просто можем прибавить 1, получится ε₀ +1, и давайте сразу возведём ω в степень ε₀ +1 (ω^{ε0 +1}). Мы можем снова наращивать степени: ω^{ε0 +1} , и т.д., когда мы получим бесконечную башенку из ω, на верхушке которой будет ε₀ +1, мы сможем назвать это ε₁. Если на верхушке башенки будет ε₁ +1, то мы получим ε₂ и т.д. Рано или поздно мы получим ε_ω, ε_ε0 и т.д.

Когда мы получим бесконечную башенку из ε с показателем ε с показателем ε и т.д., мы дошли до новой неподвижной точки.

И здесь математики снова решили, что эта бесконечная башенка будет равна ζ₀, и мы можем продолжать дальше ζ₀ + 1, и теперь в низ бесконечной башенки из ε мы поставим ζ₀ + 1 и получим ζ₁. Что ж, и здесь мы можем просто продолжать дальше и дальше по предыдущему алгоритму, потом будет η₀, и так далее. Но поскольку букв в греческом алфавите не так много, существует функция которая позволяет наращивать бесконечности гораздо быстрее.

4. Функция Веблена

Функцию Веблена принято обозначать как φ, но давайте разбираться:

φ (0,0) = ω⁰ = 1

φ (1,0) = ε₀

φ (2,0) = ζ₀

и т.д., то есть первый аргумент - это количество тех самых неподвижных точек, а второй аргумент – показатель. Таким образом, мы можем взять функцию Веблена от 5, 6, 7, ω и т.д., а можем сделать первый аргумент φ(φ(φ(φ(φ(…, то есть бесконечную функцию Веблена от функции Веблена и т.д. бесконечное количество раз. Мы получим Γ₀ или же φ (1,0,0), то есть ещё один аргумент будет отвечать как раз за Γ₀. И знаете что? Теперь мы можем взять функцию Веблена от 3, 4, 5 аргументов и т.д. Но когда мы возьмём функцию Веблена от ℵ₀ аргументов, мы получим малый ординал Веблена.

Малый, потому что просто взять функцию Веблена от бесконечного количества аргументов - не самое большое, что мы можем сделать.

Мы можем взять функцию Веблена от бесконечного количества аргументов, где каждый аргумент - это функция Веблена от бесконечного количества аргументов, где каждый аргумент это - функция Веблена от бесконечного количества аргументов и т.д.

Это будет большим ординалом Веблена. Но в любом случае это не конец. Функция Веблена - это лишь верхушка айсберга функций. Например, есть бесконечно коллапсирующая функция, при помощи неё мы можем получить ещё большие бесконечности и ещё огромное множество других функций…

5. Больше большей бесконечности

Но вот сейчас давайте остановимся. Вы вообще понимаете, чем мы занимаемся? Давайте посмотрим, что у нас сейчас есть

И смотрите, что получается: все наши ординалы являются порядковыми элементами ℵ₀. Какую бы функцию мы не взяли, она всегда будет принадлежать нашему множеству, но по определению после всех порядковых ℵ₀ элементов идет ℵ₁ и соответствующие ω₁. Здесь давайте снова сделаем небольшое отступление.

6. Континуум-гипотеза

Множество — одно из ключевых понятий математики, представляющее собой набор, совокупность каких-либо объектов, элементов этого множества. Одним из основных действий с множествами - является Булеан (P). Булеан множество - это множество всех подмножеств данного множества. То есть P ({1}) = 2 ведь у нас есть {∅} (пустое множество) и {1} (само множество), таким образом P ({1,2}) = 4 ({∅}, {1}, {2}, {1,2}), P ({1,2,3}) = 8 ({∅}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}), и возможно кто-нибудь заметит, что

А что будет, если взять количество элементов равное ℵ₀? И вот здесь, собственно, и существует континуум-гипотеза. Как и большинство сложнейших задач в математике её условие записывается крайне просто:

И сегодня я не буду объяснять её решение, ведь удивлю вас – континуум-гипотеза не решена. Её популяризировал ещё в 1900 году Гильберт, ведь континуум-гипотеза является первой задачей из 23 всемирно известных задач Гильберта. Но не расстраивайтесь, ведь я всё же обманул вас. Отрицание континуум-гипотезы недоказуемо, то есть мы никогда не сможем доказать или опровергнуть её, и учёные просто решили оставить два варианта континуум-гипотезы: верна и не верна. Если она не верна, то у нас есть два ряда бесконечностей:

То есть оба ряда начинаются с ℵ₀, но один это Булеаны, а другой - привычные нам бесконечности (ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂, …).

И вот что получается: Булеан-множеств будет больше. Если мы рассмотрим числовую прямую, то где мы поставим Булеан от ℵ₀ элементов? Мы уверены, что Булеан от ℵ₀ элементов ≠ ℵ₀, но больше ℵ₀, и в случае, если континуум-гипотеза не верна, мы знаем, что Булеан от ℵ₀ элементов ≠ ℵ₁. Также мы знаем, что между ℵ₀ и ℵ₁ нет кардиналов. Значит, Булеан от ℵ₀ элементов больше ℵ₁. Таким образом, ряд Булеан-множеств больше стандартного ряда бесконечностей. Но давайте сейчас примем, что континуум гипотеза верна и оба ряда равны.

7. Ряды бесконечностей

Если мы допускаем верность континуум-гипотезы, то чтобы получить следующую ℵ, нам нужно взять Булеан предыдущего и т. д. Таким образом, из ℵ₁ мы получим ℵ₂, но заметьте, теперь мы просто перебираем порядковые числа, а если мы возьмём ℵω, а потом ℵω_ω и т.д., рано или поздно мы получим бесконечную башенку. И вроде мы не можем увеличить её, ведь наши обозначения не позволяют взять большие бесконечности, но мы можем брать Булеаны, функции Веблена и ещё множество других способов увеличить бесконечности. Но представим все возможные преобразования, и в конце давайте зададим число, до которого никак нельзя дойти. Некий недостижимый кардинал. Недостижимый кардинал - почему мы не сможем его достичь? Объясним на простом примере. Мы уже встречали тень недостижимого кардинала - это ℵ₀, ведь его также нельзя достичь, какое бы большое число мы не взяли, оно всегда будет конечным. Так и здесь, никакими преобразованиями мы не сможем даже приблизиться к недостижимому кардиналу, его можно только задать. За недостижимым кардиналом следует кардинал с еще большей недостижимостью (у него тоже есть соответствующий ординал) и так далее, пока все эти кардиналы и соответствующие им ординалы не начнут противоречить математическим аксиомам.

Вывод

Подведем итоги нашего исследования. В ходе работы было установлено, что понятие бесконечности в современной математике не является однородным. Выявлено фундаментальное различие между количественными (кардинальными) и порядковыми (ординальными) бесконечностями, которое отсутствует в области конечных чисел. Это различие становится отправной точкой для построения иерархии трансфинитных чисел.

Выявлены области практического применения трансфинитных чисел. Наиболее значимыми из них являются: доказательство завершимости программ и рекурсивных алгоритмов в информатике (с использованием ординалов до ε₀ и выше), обоснование непротиворечивости формальных систем, а также формализация бесконечных структур в математической лингвистике и теории игр. Таким образом, аппарат трансфинитных чисел служит инструментом решения задач, недоступных для конечных методов.

Проведенная работа открывает возможности для дальнейшего изучения иерархии больших кардиналов (недостижимых, измеримых, компактных и др.), которые не могут быть получены из меньших стандартными теоретико-множественными операциями. Исследование свойств таких кардиналов и их соотношения с континуум-гипотезой остается одной из фундаментальных задач современной теории множеств и оснований математики.

Список литературы

1. Кириллов, А. А. Что такое число? [Текст] / А. А. Кириллов. — Москва : Наука : Физматлит, 1993. — 79 с. — (Современная математика для студентов ; вып. 4).

2. Veblen, Oswald (1908), Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals, Transactions of the American Mathematical Society, 9 (3): 280—292.

3. П. С. Александров. Энциклопедия элементарной математики. — Рипол Классик. — С. 38. — 449 с.

4. Александр Альбов. От абака до кубита + история математических символов. — Litres, 2017-09-05. — С. 73. — 308 с.

5. Иэн Стюарт (2017). Бесконечность: очень краткое введение. Издательство Оксфордского университета. С. 117.