XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Применение комплексных чисел
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Комплексные числа — одно из фундаментальных понятий современной математики, возникшее как инструмент для решения алгебраических уравнений, не имеющих решений в области действительных чисел. Несмотря на то, что изначально они воспринимались как «бесполезные», со временем комплексные числа нашли широкое применение не только в чистой математике, но и в физике, инженерии, электротехнике, и других сферах.
Актуальность моей работы заключается в том, что комплексные числа, несмотря на их абстрактный характер, играют важнейшую роль в современной науке и технике. Они позволяют находить решения уравнений, не имеющих корней в области действительных чисел, и обеспечивают полноту алгебраической теории. В электротехнике и радиотехнике комплексные числа применяются для анализа цепей переменного тока, упрощая расчёты благодаря методу комплексных амплитуд. В физике они используются при описании колебаний, волн и квантовых процессов. В геометрии комплексные числа дают эффективный способ решения задач, связанных с поворотами, симметриями и свойствами фигур на плоскости. Таким образом, изучение комплексных чисел и их применений имеет не только теоретическую, но и большую практическую значимость.
Целью моей работы является изучение теоретических основ комплексных чисел и демонстрация их применения в различных сферах.
Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи:
1)проследить историю возникновения и развития понятия комплексного числа;
2)изучить различные формы представления комплексных чисел и правила выполнения операций над ними;
3)рассмотреть применение комплексных чисел в алгебре
4)показать возможности использования комплексных чисел в геометрии
5)проанализировать роль комплексных чисел в физике
-ГЛАВА 1. Понятие комплексных чисел
1.1История комплексных чисел
Идея комплексных чисел возникла из практической необходимости — решения кубических уравнений. В 1545 году Джераламо Кардано столкнулся с числами вида . Он назвал такие величины «софистическими». Первую систематическую арифметику мнимых чисел разработал Рафаэль Бомбелли (1572), заложив правила их использования. Термин «мнимые числа» ввёл Рене Декарт (1637), подчёркивая их «воображаемую» природу. Леонард Эйлер в 1777 году предложил обозначать символом i. Окончательное признание и строгое обоснование комплексные числа получили благодаря Карлу Фридриху Гауссу (1831), который ввёл термин «комплексные числа», дал им геометрическую интерпретацию как точек на плоскости и доказал их непротиворечивость, что стало основой для доказательства основной теоремы алгебры: любое уравнение nой степени имеет ровно nое количество корней.
1.2 Алгебраическое представление комплексных чисел
Существуют такие алгебраические уравнения, которые не имеют действительных корней. Например, квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом. Простейшее из них – уравнение x2 +1 = 0. Введём новое число i, которое будем считать корнем данного уравнения. Таким образом, для числа i выполнено равенство i2 +1=0. Символ i называется мнимой единицей и равен
Комплексные числа — это числа вида z = a + bi, где:
a — действительная часть;
b — мнимая часть;
i — мнимая единица
Если a = 0, то комплексное число превращается в чисто мнимое, а если b = 0 — в действительное.
Действительную часть комплексного числа z принято обозначать Re z, а мнимую - Im z (от французского reèl - действительный, imaginiare - мнимый).
Число z̄=a−bi называется сопряжённым к z=a+bi. Комплексные числа нельзя сравнивать, но с ними можно выполнять арифметические операции:
Сложение: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)
Z1=4-2i, Z2=6+3i, тогда Z1+Z2=(4+6) + i(-2+3)= 10 + i
Вычитание: (a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i
z1 = 5 − 6i, z2 = −3 + 2i; z1 − z2 = 5 − 6i − (−3 + 2i) = (5 − (−3)) + (-6 − 2)i = 8 − 8i.
Умножение: раскрываются как многочлены с учётом i²=−1
(2 + 3i) * (4+ 5i) = (2 + 3i) (4 + 5i) = (2*4) + (2*5i) + (3i*4) + (3i*5i) = 8+ 10i+ 12i+ 15i²= 8 + 10i + 12i + 15i² = 8-15+22i= -7+22i
Деление: числитель и знаменатель умножаются на комплексно сопряжённое число знаменателя, чтобы избавиться от мнимости в знаменателе
(−2+i) / (1-i)= (−2+i)*(1+i)/ (1-i)*(1+i)=(-2-2i+i-1)/(1+1)=(-3-i)/2
1.3 Тригонометрическаяформа
Любое комплексное число z=a+biможно изобразить вектором на комплексной плоскости.
Его длина r=∣z∣ называется модулем, а угол φ между положительной осью Ox и вектором — аргументом. Тогда z = r cos φ + i r sin φ = r (cos φ + i sin φ).
— это тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Очевидно, что у комплексного числа z имеется бесконечно много аргументов: если φ0− какой-либо аргумент числа z , то все остальные можно найти по формуле: φ = φ0 + 2πn, nϵ Z.
Среди всех аргументов комплексного числа z всегда есть один и только один, удовлетворяющий неравенствам: 0 ≤ φ < 2π.
Это означает, что мы можем однозначно определить аргумент
любого отличного от нуля комплексного числа.
При умножении и делении комплексных чисел в тригонометрической форме:
умножение: модули перемножаются, аргументы складываются;
деление: модули делятся, аргументы вычитаются.
Приведу пример:
z₁ = 6·(cos(π/4) + i·sin(π/4))
z₂ = 3·(cos(π/12) + i·sin(π/12))
z₃ = 2·(cos(π/6) + i·sin(π/6))
вычислить ((z₁ · z₂) / z₃)
((z₁ · z₂) / z₃) = ((6·3)/2)·(cos(π/4 + π/12 − π/6) + i·sin(π/4 + π/12 − π/6)) = 9·(cos(π/6) + i·sin(π/6))
Также существует показательная форма записи комплексных чисел, она получается из формулы Эйлера:
Z=reiφ
Действия с комплексными числами в показательной форме:
Чтобы найти произведение двух комплексных чисел в показательной форме, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить.
При делении двух комплексных чисел в показательной форме модули делят, а аргументы вычитают.
Чтобы возвести комплексное число в показательной форме в целую положительную степень, модуль возводят в степень, а аргумент умножают на показатель степени. Остальные действия с комплексным числами удобнее делать в других формах.
ГЛАВА 2. Применение комплексных чисел в алгебре
2.1 Уравнение n – ой степени
Любое алгебраическое уравнение n – ой степени с действительными или комплексными коэффициентами имеет ровно n корней (среди которых могут быть и равные). Это утверждение следует из теоремы: Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный. Так, линейное уравнение ax+b=0, где а≠0 всегда имеет один корень. Квадратное уравнение всегда имеет два корня. Кубическое уравнение-3 корня. Значения корней зависят от коэффициентов алгебраического уравнения, они могут быть как действительными, так и комплексными. Для уравнений, степень которых больше единицы, процесс нахождения корней уравнения требует применения операции извлечения корня из числа. Говорят, что всякое алгебраическое уравнение решается в радикалах. Поэтому возникает естественное желание получить универсальные формулы, подставляя в которые значения коэффициентов, мы могли бы находить корни уравнения любой степени. Попытки решить эту задачу предпринимались еще в глубокой древности. Решение задач, приводящихся к частным видам уравнений 2-ой и 3-ей степеней, встречается уже в клинописных текстах древней Вавилонии (2000 лет до н. э.). Впервые изложение теории решения квадратных уравнений было дано Диофантом в его книге «Арифметика» в 3 веке. Значительно позже, только в 16 веке были найдены формулы для решения уравнений 3–ей и 4–ой степеней. Эти формулы были получены итальянскими математиками Кардано и Феррари. В течении почти 300 лет после этого делались безуспешные попытки решить в радикалах уравнение с буквенными коэффициентами 5ой и более высоких степеней.
2.2 Квадратные уравнения
Рассмотрим квадратное уравнение x2+px+q=0, p, q∈R
при неотрицательном дискриминанте квадратное уравнение имеет два корня, а при отрицательном дискриминанте действительных корней нет. Но
основная теорема высшей алгебры утверждает, что алгебраическое уравнение n-ой степени всегда имеет ровно n корней. В соответствии с этой теоремой квадратное уравнение всегда
имеет ровно два корня. Таким образом, из вышесказанного следует:
1) еслиD>0, то уравнение имеет два различных действительных корня;
2) если D = 0, то уравнение имеет два действительных корня, одинаковых по
своему значению (или говорят, один корень кратности два);
3) если D < 0, то уравнение действительных корней не имеет, но имеет два комплексных корня.
рассмотрим случай, когда p = 0, q = 1, т.е. уравнение
Из того, что следует, x1=i– корень, но т.к.
то и также является корнем уравнения
Покажем, что это уравнение не имеет других корней.
Предположим, что уравнение имеет еще корень x=a+bi. Тогда должно выполняться равенство x2=-1, то есть, (a+bi)2=-1 или a²+2abi-b²=-1, тогда
Тогда b=±1 и x=±i, значит мы доказали, что других корней у уравнения нет.
Решим уравнение x²+2x+5=0
X=(-2±√(4-4*5))/2=(-2±4i)/2=-1±2i
X²−4x+13=0.
D=(−4)²−4∗1∗13=16−52=−36.
x1=(4+6i)/2=2+3i,
x2=(4−6i)/2=2−3i.
x²+4=0
x²=-4
x=±2i
D
и
Ответ: и
2.3 Решение кубических уравнений
Любое уравнение третьей степени, с помощью замены переменной, можно привести к виду: y³+py+q = 0. Это уравнение было тщательно исследовано профессором Болонского университета, который в те времена являлся одним из самых больших известных научных центров, ученым Сципионом дель Ферро (умер в 1526 г.). Он никогда не публиковал своих решений и рассказал о них лишь немногим своим друзьям. Но об этом открытии стало известно после его смерти. Венецианский мастер счета, по прозвищу Тарталья, переоткрыл его приемы, но по-прежнему держал их в тайне. Наконец, он раскрыл свои методы ученому из Милана, Иерониму Кардано, который поклялся, что будет хранить их в тайне. Однако, когда Кардано в 1545 г. опубликовал свою книгу по алгебре «Великое искусcтво», Тарталья обнаружил, что его метод полностью раскрыт. Завязалась ожесточенная перепалка, в результате которой была доведена до сведения история этого открытия. Сейчас полученное решение известно как формула Кардано, несмотря на то что авторство принадлежит ученому Тарталья.
Рассмотрим кубическое уравнение:
С помощью замены уравнение может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами
Так же приведенное уравнение можно получить с помощью раскрытия скобок после замены переменной.
Что бы понять какие будут корни уравнения введём величину Q
Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней.
Q > 0 — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат получается по формуле с помощью комплексных чисел.
По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:
Решим уравнение:
Так как Q больше нуля, то будет один действительный корень и два комплексно сопряженных.
Y1=2+1=3
X1=3-2=1
Ответ: X1=1;
Решим еще одно уравнение
Уравнение приведенное, значит можем сразу найти значение Q
Так как Q меньше нуля, то получатся три вещественных корня.
Отдельно посчитаем корень из Q: √-4=2i
=
Ответ: ;
x³-3x+1=0
Ответ: ; ;
(
Ответ: и
Ищем корень по схеме Горнера среди делителей свободного члена, раскладываем на множители:
или
Ответ:
2.4 Уравнения четвертой степени
Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари. С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство». Разберем алгоритм решения уравнения четвертой степени по методу Феррари. Суть метода заключается в приведении уравнения, к уравнению, у которого в обеих частях будет полный квадрат. Уравнение вида:
Приводим к каноническому виду: , используя замену
Изолируем y4, к обеим частям уравнения прибавляем 2zy²+z², где z- параметр, в левой части собираем выражение по формуле квадрат суммы, а в правой выносим за скобки y², получаем:
(уравнение 1)
Наша задача в левой части также получить полный квадрат, то есть найти такое значение z, при котором будет выполнятся данное условие. Дискриминант полного квадрата будет равен 0, тогда:
При решении параметра будет достаточно одного значения, которое мы поставим в уравнение 1, получим два квадратных уравнения, найдем корни. Дальше нужно использовать обратную замену. Полученные числовые значения и будут корнями исходного уравнения.
Приведу конкретный пример решения уравнения четвертой степени.
X=y-1
=
=
=
Стоит отметить, что полученное уравнение является резольвентой для исходного уравнения. Резольвента - вспомогательный математический объект (чаще всего — уравнение, функция или оператор), построенный таким образом, чтобы упростить решение исходной задачи, часто путём сведения её к задаче меньшей сложности или известного типа.
К обеим частям уравнения прибавим
(уравнение 1)
Так как в правой части нам нужно получить полный квадрат, то дискриминант выражения будет равен нулю, найдем такое значение z, при котором будет выполнятся данное условие. Так как в нашем случае b четное, то используем формулу для D/4, тогда получим параметр:
Для решения исходного уравнения нам понадобится только одно любое значение параметра, подходящего по условию, используя теорему Безу, найдем значение параметра равное -3. Подставим значение параметра в уравнение 1.
X=y-1
Ответ:
Приведу еще один пример в комплексной области:
или
Отвeт: ;
ГЛАВА 3. Применение комплексных чисел в геометрии
3.1 Расстояние между двумя точками, уравнение окружности
Алгебра комплексных чисел представляет собой один из самых эффектных способов решения планиметрических задач. Он позволяет решать планиметрические задачи вычислениями по готовым формулам. В этой части своего проекта я приведу примеры таких формул и вывода их. Для начала стоит отметить, что любой точке на комплексной плоскости соответствует единственное комплексное число и обратно. Рассмотрим, что называют расстоянием между двумя точками. Пусть А(z1) и B(z2). Пусть точка О- начало координат, тогда радиус вектор имеет координату z1, а радиус вектор -z2.
Вектор равен разности векторов и , то есть | =|z2-z1|, тогда
| ⃒²=⃒z2-z1⃒²= (z2-z1 )
Уравнение окружности, итак, любая окружность имеет свой центр К(z0) и радиус R. Тогда любая точка М(z) окружности имеет расстояние до центра окружности, равное
3.2 Деление отрезка, скалярное произведение векторов
Деление отрезка в данном отношении. Пусть точка C принадлежит прямой АВ и =λ ( ). В этом случае говорят, что точка С делит отрезок АВ в отношении λ. Обозначим комплексные координаты точек А, В, С соответственно z1, z2, z3. Тогда векторному равенству соответствует равенство z3-z1=λ(z2-z3), тогда z3 , при λ=1 точка С является серединой отрезка АВ и
Пусть и
Так как любая точка отрезка может быть записана как (аффинная комбинация), ( . Если данное условие выполняется, то точки А, В, С принадлежат одной прямой.
Выразим скалярное произведение векторов и через комплексные координаты z1 и z2 точек А и В. Для этого выразим сумму z1* + z2* = =
=2* *
=
* = *(z2* + z4* - z2* - z3* - z1* - z4* + z1* + z3*
* = *((z1-z2)*( ( - )*(z3-z4))
Два ненулевых вектора будут взаимно перпендикулярны, тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0, то есть
*((z1-z2)*( ( - )*(z3-z4))=0
(z1-z2)*( ( - )*(z3-z4)=0
z1,z2,z3,z4 - комплексные координаты точек А, В, С, D.
=
Равенство имеет вид z=- , получаем (x+yi)=-(x+yi), откуда x=-x, значит x=0, значит, z=yi.
Делаем вывод, что прямые (отрезки АВ и СD) перпендикулярны тогда и только тогда, когда число является чисто мнимым.
3.3 Медианы треугольника, параллелограмм.
Докажем, что сумма квадратов медиан треугольника равна суммы квадратов его сторон.
Пусть комплексные координаты вершин треугольника ABC равны a, b, c соответственно. Тогда координаты точек M₁, M₂, M₃ — середин сторон BC, AC, AB — равны соответственно ½(b + c), ½(a + c), ½(a + b). Сумма квадратов длин медиан треугольника равна: AM₁² + BM₂² + CM₃² =
= (a – ½(b + c))(ā – ½(b̄ + c̄)) + (b – ½(a + c))(b̄ – ½(ā + c̄)) + (c – ½(a + b))(c̄ – ½(ā + b̄)).
После раскрытия скобок и упрощения получаем:
AM₁² + BM₂² + CM₃² = ¾(2aā + 2bb̄ + 2cc̄ – ab̄ – āb – ac̄ – āc – bc̄ – b̄c).
Теперь найдём сумму квадратов длин сторон треугольника:
AB² + BC² + AC² = (a – b)(ā – b̄) + (b – c)(b̄ – c̄) + (a – c)(ā – c̄).
Послепреобразованийполучаем:
AB² + BC² + AC² = 2aā + 2bb̄ + 2cc̄ – ab̄ – āb – ac̄ – āc – bc̄ – b̄c.
Следовательно, сумма квадратов медиан треугольника составляет три четверти от суммы квадратов его сторон:
AM₁² + BM₂² + CM₃² = ¾(AB² + BC² + AC²).
Докажем, что, если в плоскости параллелограмма ABCD, существует такая точка М, что МА²+MC²=МВ²+MD², то этот параллелограмм – прямоугольник.
Предположим, что наличие такой точки в параллелограмме означает, что он является прямоугольником.
Примем в качестве начальной точки точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Будем считать числа a,b,c,d комплексными координатами вершин A, B,C,D параллелограмма, а координату точки М обозначим буквой z. Тогда c=-a, d=-b, значит равенство можно переписать в виде
= + , откуда
. Но = ОА² = (0.5AC)², = OB²=(0.5BD)². Значит диагонали параллелограмма равны, а параллелограмм с равными диагоналями – прямоугольник.
Докажем еще одну теорему из геометрии: Вписанные углы в окружность, опирающиеся на одну дугу, равны.
Для доказательства используем единичную окружность на комплексной плоскости любая точка на окружности имеет вид eiφ, φ ∈
На окружности даны две точки А и В, соответствующие комплексным числам a и b ( = рассмотрим произвольную точку c, лежащую на окружности (
Нам нужно доказать, что при любом положении c на окружности значение угла не изменится. Вектор на окружности будет соответствовать координатам а – с, вектор будет соответствовать координатам b – с. Тогда аргументом между двумя векторами будет
аrg BCA= , перепишем в показательном виде:
R=
arg( R)=arg( )+arg(R).
arg(R)=0, так как R>0 (вещественное положительное число).
=
Значение аргумента не зависит от координаты то есть от места положения точки С, значит, все углы опирающиеся на одну дугу окружности равны.
Докажем теорему Птолемея: для вписанного в окружность выпуклого четырехугольника соблюдается равенство - произведение диагоналей четырехугольника равно сумме произведений противолежащих сторон.
Пусть описанная окружность вокруг четырехугольника будет единичной. Тогда вершины четырехугольника будут лежать на окружности. Обозначим вершины буквами A, B, C, D, этим точкам будут соответствовать комплексные координаты a, b, c, d.
Для любых комплексных чисел действует равенство:
(a-c)(b-d)=(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c) ( доказать равенство можно с помощью раскрытия скобок) при условии, что векторы коллинеарны и сонаправлены.
|a-c||b-d|=|a-b||c-d|+|a-d||b-c|
|a-c|=AC
|b-d|=BD
|a-b|=AB
|c-d|=CD
|a-d|=AD
|b-c|=BC
Проверим условие коллинеарности:
=
= =
Равенство верно, значит векторы коллинеарны.
Векторы будут сонаправлены, если отношение будет принадлежать к действительным числам. = . Пусть R= тогда R= . Комплексное число будет равно комплексно сопряженному тогда и только тогда, когда их мнимая часть равна нулю. Значит число вещественное, делаем вывод о том, что вектора сонаправлены.
Тогда получаем: AC*BD=AB*CD+AD*BC. Теорема доказана
3.4Сравнение решений задач планиметрии классическим и комплексным методами
Задача 1. Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 - середины отрезков MA, MB и MC соответственно. Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
Решим задачу через комплексные числа. Пусть M имеет координату 0 и А2 координату 1, тогда a=2. (центроид), получаем b+c=-2; с=-2-b
a1=-1; b2=b/2; c1=1+b/2; a2=1; b1=-b/2; c2=-1-b/2
Подставив координаты вершин в формулу, получим Sш-к =
Sт-к=
Тогда Площадь шестиугольника это площади шестиугольника.
Решим задачу вторым способом.
Площадь треугольника ABC обозначим за S. Из рисунка видно, что площадь шестиугольника равна сумме площадей треугольников A11B1C1, B1C1A2, A1C1B2 и A1B1C2.
Поскольку треугольник A1B1C1 подобен треугольнику ABC c коэффициентом подобия 0,5, его площадь s/4. Пусть K — точка пересечения медианы AA1 и средней линии B1C1. Медиана и средняя линия делят друг друга пополам, поскольку они являются диагоналями параллелограмма AB1A1C1 (противолежащие стороны это средняя линия и сторона треугольника)
Откуда AK=AA1/2, AK — медиана треугольника AB1C1. Заметим, что
AA2/AK=0.5AM/0/5AA1=AM/AA1=2/3
то есть точка A2 делит медиану AK треугольника AB1C1 в отношении 2 : 1. Значит, это точка пересечения медиан треугольника AB1C1. Площадь треугольника B1C1A2 равна трети площади треугольника AB1C1, то есть равна S/12. Аналогично площади треугольников A1C1B2 и A1B1C2 равны S/12
Откуда площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 равна S/4+3*S/12=S/2. Что и требовалось доказать.
Задача 2. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Из вершины A опущены перпендикуляры AF, AH, AP и AQ на прямые DE, BE, CD и BC соответственно. Будем считать, что F попадает на продолжение ED и Q на продолжение ВС
а) Докажите, что ∠FAH=∠PAQ
б) Найдите AH, если AF=a и AP=b; AQ=c
Углы будут равны, если будут равны их аргументы. Аргументы равны, если их отношение вещественно и положительно. Обозначим комплексную координату вершин пятиугольника соответствующей маленькой буквой.
h-a=i(b-e); f-a=i(d-e); q-a=i(c-b); p-a=i(c-d)
Такое отношение будет вещественным, потому что координаты в нем это точки на окружности, отношение будет положительным так как эти точки соответствуют координатам выпуклого пятиугольника.
Значит, ∠FAH=∠PAQ
= AH= Ответ: AH=
Второй способ:
Тогда четырехугольники FEHA и APCQ вписанные (имеют по два противоположных прямых угла), ∠DEB+∠DCB=180
∠FAH=180-(180-∠DCB) ∠DCB=∠PAQ
Значит, ∠FAH=∠PAQ
Треугольник СQA подобен треугольнику AHE (треугольники прямоугольные и ∠QCA=∠HEA), тогда
Треугольник AFE подобен треугольнику APC (треугольники прямоугольные и∠AEF=∠ACP), тогда
Тогда AH=
Ответ: AH=
Задача 3. Докажем теорему Наполеона
Если на сторонах произвольного треугольника построить равносторонние треугольники (все внешние или все внутренние), то центры (центроиды) этих равносторонних треугольников образуют равносторонний треугольник.
Докажем теорему через комплексные числа:
На сторонах произвольного треугольника во внешнюю сторону строятся равносторонние треугольники , , . Центры этих треугольников , , образуют равносторонний треугольник. Вершины , , — комплексные числа. Пусть — примитивный кубический корень из 1 ( , ), поворот на против часовой стрелки. Условия равносторонности:
Треугольник равносторонний, если
Значит, треугольник равносторонний. Теорема доказана.
Докажем теорему вторым способом:
На сторонах извне строятся равносторонние треугольники , , . Окружности , описанные вокруг них, имеют центры . Нужно показать, что равносторонний. Окружности (вокруг ) и (вокруг ) пересекаются в и точке .
В : (вписанный угол над дугой ).
Аналогично в : .
Тогда . Поскольку в , точка лежит на (вписанный угол над дугой ). Таким образом, все три окружности проходят через — точку Торричелли.
O₁O₂ ⊥ BM (линия центров перпендикулярна общей хорде)
O₁O₃ ⊥ AM (линия центров перпендикулярна общей хорде)
В : (угол между прямыми O₁O₂ и O₁O₃ дополняет угол ∠AMB до 180°)
Аналогично:
Значит, треугольник равносторонний. Теорема доказана.
ГЛАВА 4. Применение комплексных чисел в физике
4.1 Переменный ток
Электрические цепи переменного тока порой оказывались очень сложными, и для их расчета приходилось вычислять множество интегралов, что зачастую весьма неудобно.
В1893 году электротехник Карл Август (Чарлз Протеус) Штейнмец выступает в Чикаго на Международном электротехническом конгрессе с докладом «Комплексные числа и их применение в электротехнике», чем фактически знаменует начало практического применения инженерами комплексного метода расчетов электрических цепей переменного тока.
В своем докладе Штейнмец ввел понятие комплексной мощности, которая состоит из активной и реактивной составляющих, и показал, как можно вычислять их с помощью комплексных чисел. Он также разработал методы для анализа и синтеза полифазных систем, которые широко используются в электроэнергетике.
Доклад Штейнмеца произвел большое впечатление на электротехническое сообщество.
Благодаря комплексным числам, инженеры получили мощный инструмент для решения сложных задач, связанных с переменным током. Комплексные числа стали неотъемлемой частью электротехники и электроэнергетики.
При расчетах переменных токов нельзя использовать те же формулы, что и при расчетах постоянных токов, потому что в цепях переменного тока возникают дополнительные эффекты, связанные с индуктивностью и ёмкостью элементов цепи. Эти эффекты приводят к тому, что сопротивление цепи зависит не только от ее активного сопротивления, но и от частоты переменного тока. Кроме того, в цепях переменного тока могут быть фазовые сдвиги между напряжением и током, которые также влияют на характеристики цепи.
Переменный ток — ток, который изменяется во времени как по величине, так и по направлению. Переменный ток имеет множество видов, но самый распространенный – синусоидальный переменный ток. Он используется всюду, при помощи его электроэнергия передается, в виде переменного тока она генерируется, преобразуется трансформаторами и потребляется нагрузками. Синусоидальный ток периодически изменяется по синусоидальному (гармоническому) закону.
I,u – мгновенные значения тока и напряжения
-амплитудные значения тока и напряжения
– начальные фазы тока и напряжения
Действующие значения тока и напряжения меньше амплитудных значений в корень из двух раз:
;
В комплексном методе действующие значения токов и напряжений записывают так:
Из закона Ома определяют комплексное значение сопротивления:
φ= -
z – модуль комплексного сопротивления.
Рассмотрим конкретную задачу:
Дано:
-
Uк=50 В,
-
Rр=25 Ом,
-
L=500 мГн,
-
C=30 мкф,
-
Rп=10 Ом,
-
f=50 Гц.
Найти: показания амперметра и вольтметра, ваттметра.
Найдем общее сопротивление катушки(Zк), оно будет состоять из суммы сопротивления провода катушки и сопротивления реактивной части.
jXl – реактивное сопротивление
jXL=jωL
ω=2πf
Zк=Rk+i2πfL
Zк=10+i157
Zк=157,3ei86.36
Напряжение на катушке равно 50В.U=50ei0
Тогда сила тока I= =0,318e-86,36
Так как амперметр будет показывать модуль комплексного числа, то показания амперметра будет равно 0,318A.
Найдем общее сопротивление цепи Z. Общее сопротивление будет равно сумме сопротивлений резистора, катушки и конденсатора, причем число будет мнимым из-за сопротивлений катушки и конденсатора.
Сопротивление конденсатора примем за -iХс
Хс= 1
Хс=106,2Oм
Теперь рассчитаем полное сопротивление:
Z=Rр+Zк-iXc
Z=25+10+157i-106,2i = 35+50,8i
Z=61,6еi55,4
Тогда напряжение будет равно:
U=IZ=0,318e-86,36 * 61,6еi55,4 = 19,6e-31i
Вольтметр будет показывать значение 19,6 В
Мощность равна произведению силы тока и напряжения
P=IUcosφ
Φ равно отношению активного сопротивления к реактивному
P=19,6*0,318*cos(55,4) = 3,55 Вт
Показания ваттметра равны 3,55 Вт
Задача 2:Для определения ёмкости C2 и сопротивления утечки r2 конденсатора собрана мостовая схема (рис.), которая сбалансирована при подключении гармонического переменного напряжения. Оказалось, что баланс моста не нарушается при любом изменении частоты напряжения. Чему равны параметры C2 и r2, если известно, что r1 = 2500 Ом, r3 = 10 Ом, L3 = 1 Гн, r4 = 800 Ом? Гальванометр измеряет действующее значение силы тока.
Мостовая схема имеет четыре плеча.
Z1=R1=2500 Ом
Z2 = R2+Rc (параллельное соединение)
Z3 = R3+Rl (последовательное соединение)
Z = R4 = 800 Oм
Rc=
Z2=
Rl=iωl
Z3=R3+iω
Так как мост сбалансирован, значит, через гальванометр ток не протекает, значит, можем записать равенство:
Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части.
Получаем:
R2=2*105 Oм
Задача 3:
Напряжение:
U=43,5+j5,6 В
I=10,4+j9,35 А