Золотое сечение и его использование в архитектуре и искусстве

XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Золотое сечение и его использование в архитектуре и искусстве

Хачирова В.А. 1
1МБОУ СОШ №30
Караева Д.А. 1
1МБОУ СОШ №30
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Перед тем, как перейти к основной части проекта, стоит разобраться, почему эта тема будет актуальна в современном мире. А также в том, какие цели я преследую в создании своей работы.

Актуальность

Золотое сечение остается актуальным по сей день, поскольку представляет собой уникальную связь между математикой и искусством. Оно демонстрирует, что гармония может иметь объективную математическую основу. Изучение золотого сечения позволяет понять, почему некоторые произведения искусства считаются эталонными.

Цель проекта

Исследовать понятие золотого сечения, его математическую природу и доказать его широкое применение в архитектуре и искусстве в качестве универсального принципа гармонии.

Задачи

  1. Познакомиться с определением «Золотого сечения».

  2. Узнать историю возникновения данного сечения.

  3. Изучить число Фибоначчи, его происхождение, а также установить его связь с золотым сечением и построить спираль.

  4. Раскрыть понятие архитектуры.

  5. Проанализировать примеры архитектуры, где есть золотое сечение.

  6. Обобщить результаты и сделать выводы.

Математическая сущность золотого сечения

Золотое сечение – это деление целого на две неравные части таким образом, при котором большая часть так относиться к меньшей, как целое к большей. Такие отношения наблюдаются в природе, науке и соблюдаются в искусстве. На золотых отрезках основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре.

Математическая формула. Если представить отрезок АВ, разделённый точкой С, то золотое сечение возникает в следующем случае:

АС/ВС = АВ/АС,

где АВ – весь отрезок, АС – большая часть, ВС – меньшая часть.

Пусть весь отрезок АВ=1, большая часть АС=х, меньшая часть ВС=у, причём х+у=1.

Тогда пропорция будет иметь вид: 1/х=х/у.

Решим систему уравнений:

Мы получили классическое квадратное уравнение, корнями которого являются: , .

Золотое сечение обозначается φ, а обратное ему число Φ.

Вот мы и вывели золотое число. Оно обладает уникальным свойством: 1/φ 0,618, то есть его обратная величина равна φ – 1.

Геометрическое построение

Построить золотое сечение можно с помощью линейки и циркуля.

  1. Пусть дан отрезок АВ. Построим в точке В перпендикуляр к АВ.

  2. Отложим на этом перпендикуляре отрезок ВС=АВ/2.

  3. Проведём отрезок АС.

  4. Проведём дугу с центром в точке С и радиусом СВ до пересечения с отрезком АС в точке D.

  5. Проведём дугу с центром в точке А и радиусом АD до пересечения с отрезком АС в точке Е.

Точка Е делит отрезок АВ в золотом сечении: АЕ/АВ=φ.

Золотой прямоугольник

Если построить прямоугольник, стороны которого относятся как 1/φ, мы получим «золотой» прямоугольник, который обладает свойством: если отрезать от него квадрат, то оставшаяся часть будет новым золотым прямоугольником. Этот процесс можно продолжать до бесконечности.

Числа Фибоначчи и связь с золотым сечением

В 1202 году итальянский математик Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, рассмотрел модель роста популяции кроликов. Решением этой задачи стала последовательность:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…

Каждое следующее число равно сумме двух предыдущих:

Fn=Fn–1+Fn–2, где F(1)=1, F(2)=1.

Математики заметили ключевую связь между числами Фибоначчи и золотым сечением спустя несколько столетий после смерти Леонардо Пизанского. Эта связь заключается в том, что если начать делить каждое число Фибоначчи на предыдущее, результат будет стремиться к φ:

5/3 ≈1,666…

8/5=1,6

13/8=1,625

21/13≈1,61538…

34/21≈1,61905…

55/34≈1,61764…

89/55≈1,61818…

Золотая спираль или спираль Фибоначчи

З олотая спираль – это не просто красивая геометрическая фигура, а одно из проявлений фундаментальных математических законов в окружающем нас мире. Эта спираль служит общим звеном между математикой, природными формами и человеческим восприятием красоты.

Классический способ построения золотой спирали основан на последовательности чисел Фибоначчи и золотых прямоугольников.

  1. П
    остроение начинаем с двух квадратов 1х1. Затем последовательно добавляем квадраты со сторонами, равными числам Фибоначчи – 2х2, 3х3, 5х5 и так далее.

  2. В каждом квадрате проводится четверть окружности, радиус которой равен стороне квадрата. Соединяя эти дуги получаем плавно расширяющуюся спираль, которая увеличивается в φ раз с каждым оборотом на .

История золотого сечения

История золотого сечения начинается в Древней Греции, хотя есть свидетельства, что пропорции, близкие к золотому сечению, использовались ещё при строительстве египетских пирамид. Однако первое письменное упоминание и строгое математическое принадлежит древнегреческому математику Евклиду (около 300 лет до н.э.). Евклид дал геометрическое понятие этой пропорции, но не придавал ей никакого сакрального смысла, для него это была одна из многих математических задач. В своих «Началах» он описывал задачу о делении отрезка в «крайнем и среднем отношении».

Пифагорейская школа, открывшая иррациональность, считала пентаграмму, пятиконечную звезду, в которой каждая линия делится в золотом сечении, священным символом.

Настоящий расцвет и триумф золотого сечения пришелся на эпоху Возрождения. В это время европейские ученые и художники, увлечённые античным наследием, заново открыли для себя труды Евклида и увидели в «божественной пропорции» ключ к пониманию гармонии мироздания.

Поворотным моментом стал 1509 г, когда итальянский математик Лука Пачоли, друг Леонардо до Винчи, опубликовал трактат «О божественной пропорции». Само название говорит о том, как воспринималось это соотношение. Пачоли провозгласил золотое сечение универсальным выражением божественной гармонии, найдя для него тринадцать свойств, которые сравнивал с качествами самого Бога.

Иллюстрации для этой книги делал сам Леонардо да Винчи. Он не только проиллюстрировал труд Пачоли, но и сам глубоко интересовался золотым сечением. Его знаменитый «Витрувианский человек» это – не только канон человеческих пропорций, но и наглядное исследование, в котором пупок делит высоту идеальной фигуры в золотом сечении. Художники Возрождения, такие как Альберхт Дюрер и Сандро Боттичелли, активно использовали эти пропорции для построения гармоничных композиций в своих произведениях искусства.

В XIX веке немецкий ученый Адольф Цейзинг провозгласил золотое сечение универсальным законом, лежащим в основе всей мировой красоты. Он нашел его в пропорциях человеческого тела, в строении растений и животных, в шедеврах архитектуры и скульптуры. Именно Цейзинг своими трудами популяризировал золотое сечение и прочно связал его с эстетикой в массовом сознании.

В природе золотая спираль демонстрирует свою эффективность как оптимальная форма роста. Например,

р аковина наутилуса – классический пример, где спиральная форма позволяет моллюску расти, сохраняя пропорции;

растительный мир – расположение семян в подсолнухе, чешуек в сосновых шишках и лепестков во многих цветках следует спиралям Фибоначчи.

к рупные природные объекты – форма вихрей ураганов, строение галактик, включая наш млечный путь.

Золотая спираль широко используется в природе потому, что она математически является оптимальной моделью роста. Она воплощает принцип золотого сечения и числа Фибоначчи. Такая структура обеспечивает оптимальное использование пространства и энергии.

Понятие архитектуры

Согласно римскому архитектору Витрувию, архитектура основывается на трех принципах:

  • Прочность

  • Польза

  • Красота.

Именно красота достигается через гармоничные пропорции, ритм, симметрию и масштаб. Архитектор, сознательно или интуитивно ищет такие соотношения между частями здания, которые были бы приятны глазу и создавали ощущение стабильности и порядка. Золотое сечение, будучи одной из самых гармоничных пропорций, естественным образом стало одним из ключевых инструментов в арсенале рабочих.

Анализ примеров применения золотого сечения в архитектуре

Парфенон

П арфенон по праву считается одним из величайших достижений Древней Греции. Он представляет собой не только религиозное сооружение, но и воплощение математической гармонии.

Древнегреческие зодчие не использовали алгебраическое понятие числа φ, однако они прекрасно владели геометрическими методами построения гармоничных пропорций.

При изучении главного фасада Парфенона обнаружили многочисленные проявления золотых пропорций:

  • Отношение общей высоты фасада (10, 43м) к его ширине (16,83м) составляет 1,619, что является почти идеальным соответствием с φ=1,618.

  • Высота колонн (10,43м) соотносятся с расстоянием между крайними колоннами (16,89) как 1/1,619.

  • Отношение фронтона к его высоте составляет 1,618.

  • Отношение длины антаблемента к его высоте составляет 1,625 (погрешность менее 0,5).

Анализ плана храма показывает следующие закономерности:

  • отношение длины храма (69,54м) к его ширине (30,89м) составляет 2,251, что близко к φ2=2,618;

  • внутренне пространство целлы: отношение длины к ширине – 1.618;

  • отношение длинны целлы к ширине составляет 2,618 (φ2=2,618);

  • пропорции золотого прямоугольника в фасаде: 1,619 при теоретическом 1,618.

Знаменитые оптические поправки Парфенона – курватуры (искривления горизонтальных линий), энтазис (утолщение колонн) и накло-ны– не нарушают общую систему пропорций, а наоборот, усиливают воспринятие гармонии. Среднее отклонение от теоретического значения φ составляет всего 0,3%.

Эйфелева башня

Э йфелева башня, созданная инженером Гюставом Эйфелем, представляет собой объединение инженерного расчета и эстетического совершенства.

Основные отношения высот, в которых присутствуют отношения близкие к золотому сечению:

  • отношение высоты от второй платформы до вершины к высоте от первой платформы до второй примерно равно 1,592 (погрешность примерно 1,6%).

  • отношение общей высоты к высоте до второй платформы примерно равно 2,592, чти близко к значению к φ2=2,618.

Пропорции близкие к золотому сечению обеспечивают башне плавное и гармоничное уменьшение, а также эстетическую завершенность силуэта.

Вилла «Ротонда» Андреа Палладио

Этот шедевр — образец сознательного использования симметрии и точных пропорций. План и фасад виллы построены на системе взаимосвязанных золотых прямоугольников. Центральный зал вписан в квадрат, а портики и общие габариты здания подчинены отношению 1:φ, что создает впечатление идеального баланса и ясности форм.

Собор Санта-Мария-дель-Фьоре

Г
ениальный купол Брунеллески также содержит в своей конструкции золотые пропорции. Соотношение высоты купола к диаметру его основания, а также пропорции восьми граней-ребер близки к золотому сечению, что придает массивной конструкции ощущение невесомости и устремленности ввысь.

«Витрувианский человек» Ле Корбюзье

В XX в швейцарско-французский архитектор Ле Корбюзье разработал систему пропорций «Модулор», основанную на золотом сечении и размерах человеческого тела.

Ле Корбюзье взял за основу два ключевых антропометрических параметра:

  • рост человека: 183 см;

  • высота с поднятой рукой: 226 см.

Эти величины связаны соотношением золотого сечения:

226 / 183 ≈ 1,618 (φ).

На основе этих измерений архитектор создал две шкалы:

  • красная серия: на основе роста 183 см;

  • синяя серия: на основе высоты с поднятой рукой 226 см.

Система Модулор была реализована в знаковых проектах:

1. жилая единица в Марселе (1947-1952):

· высота этажей – 226 см;

· размеры квартир – кратные 183 см;

· все фасадные членения подчинены пропорциям Модулора.

2. Капелла Нотр-Дам-дю-О в Роншане (1950-1955):

· пропорции плана – 1:1,618;

· соотношение высоты к ширине – φ;

· размеры окон – по модульной сетке системы.

Модулор Ле Корбюзье продемонстрировал универсальность принципов золотого сечения и возможность их применения в современном проектировании.

Обсуждение анализа архитектурных строений

Применение золотого сечения в архитектуре носило разный характер. В античности и в творчестве таких мастеров, как Палладио, оно, скорее всего, было результатом интуитивного чувства гармонии, подкрепленного геометрическими построениями. В работах же Ле Корбюзье мы видим сознательное, научное применение φ как основы проектирования. Таким образом, золотое сечение — это не миф, а реальный принцип, который может использоваться как на уровне бессознательного эстетического выбора, так и в качестве точного расчетного инструмента.

Заключение

1. Золотое сечение — это конкретное иррациональное число φ ≈ 1.618, обладающее уникальными математическими свойствами.

2. Его история насчитывает более 2000 лет, от Евклида до Ле Корбюзье. И на каждом этапе она ассоциировалась с поиском идеальных пропорций.

3. Последовательность Фибоначчи является аналогом золотого сечения, а золотая спираль — его геометрическим воплощением, широко встречающимся в природе.

4. Архитектура, будучи искусством организации пространства, фундаментально основана на гармонии и пропорции.

5. Анализ выдающихся памятников архитектуры — от Парфенона до творений Ле Корбюзье — доказывает, что пропорции, близкие к золотому сечению, являются неотъемлемым элементом их структуры, организующим форму и придающим ей эстетическую завершенность.

Золотое сечение представляет собой один из самых ярких мостов между математической точностью и чувственным миром искусства. Оно доказывает, что красота, к которой стремится человечество, не является чем-то произвольным, а является отражением принципов пропорциональности, эффективности и оптимальности.

Список литературы

  • Интернет.

  • Марио Ливио Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания.

  • Википедия.

  • Аркелян Г.Б. Математика и история золотого сечения.

Просмотров работы: 18