XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Векторный метод решения задач

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Тарасова П.А. 1

---

1МБОУ "Гимназия №17", 10 класс

Евстигнеева Г.П. 1

---

1МБОУ "Гимназия №17"

Работа в формате PDF

1.1 MB

Введение

В геометрии нам часто встречаются задачи, которые не решаются стандартными способами и для которых нужен особый подход. Одним из таких особых подходов является векторный метод, который иногда может значительно сократить объём работы. Его основа заключается в том, что изначальные условия задачи и требуемый результат переводятся на язык векторной алгебры, создавая тем самым векторную модель.

Вектор — это математический объект, характеризующийся длиной (модулем) и направлением. Геометрически его можно представить как направленный отрезок, имеющий начало и конец. Кроме того, вектор можно определить как параллельный перенос пространства, то есть правило, которое смещает каждую точку на одинаковое расстояние в заданном направлении. В координатном виде вектор задаётся упорядоченным набором чисел (например, на плоскости — парой чисел), которые указывают его проекции на оси координат. В физике векторы моделируют направленные величины: силу, скорость, ускорение и т. д.

В данной работе рассматриваются основные принципы векторного метода, его особенности и преимущества. Для правильного применения этого метода важным является умение задавать геометрические объекты и описывать взаимосвязи между ними с помощью векторов. В ходе работы будет проведён сравнительный анализ, который выявит наилучший способ решения определенной задачи, помогающий оценить потребность в векторном методе.

Гипотеза: овладение векторным методом позволит найти альтернативный путь к решению геометрических задач.

Цель: ознакомиться с векторным методом решения задач и выявить его эффективность при применении его к решению различных типов геометрических задач.

Задачи:

• Изучить научно-методическую литературу по данной теме.

• Освоить векторный метод как нетрадиционный метод решения различных задач. Использовать знания материала о векторах, научиться переводить данные и требования задачи на язык векторов.

• Научиться узнавать и классифицировать задачи, решаемые векторным методом.

Актуальность: освоение нового метода решения задач поможет найди иной подход к трудным задачам.

Методы исследования: анализ литературы и интернет-источников по теме, анализ векторной алгебры, систематизация, обобщение полученных данных, сравнительный анализ.

Теоретическая значимость: развитие теории векторной алгебры и расширение методов решения задач.

Практическое применение: векторный метод применяется в качестве альтернативного способа решения классических задач.

Объекты исследования: вектора, геометрические фигуры, уравнения и системы уравнений.

Предмет исследования – векторный метод в решении различных задач.

Глава 1. Решение классических задач векторным методом

1. 1. Деление отрезка и параллельные отрезки

В плоскости достаточно двух неколлинеарных векторов и , чтобы разложить по ним любой вектор :

= x * + y * ,

где x, y — коэффициенты разложения (координаты вектора в этом базисе).

В пространстве требуются три некомпланарных вектора , , для разложения вектора :

= x * + y * + z *

Особый случай — ортонормированный базис, где базисные векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину (обозначаются , , ). В нём разложение совпадает с привычной координатной записью: вектор с координатами (x, y, z) записывается как = x + y + z , а его длина вычисляется по теореме Пифагора: | | = .

Пусть и — две различные точки прямой и — такая точка этой прямой, что

Тогда говорят, что точка делит отрезок в отношении , считая от точки ; число при этом называют отношением трех точек и .

• Если точка лежит между точками и , то векторы и сонаправлены, и . В этом случае точка делит отрезок внутренним образом.

• Если точка лежит вне отрезка , то векторы и направлены противоположно, и . Здесь говорят, что точка делит отрезок внешним образом. При этом .

Пусть точки , и заданы векторами, отложенными от некоторой точки . Тогда равенство (2.1) можно переписать в виде:

Отсюда

и, следовательно,

Если провести все рассуждения в обратном порядке, то мы вернемся к формуле (1.1). Следовательно, точка делит отрезок в отношении ( ) тогда и только тогда, когда для любой точки имеет место соотношение (1.2).

Формулу (1.2) называют формулой деления отрезка в данном отношении.

Частный случай — деление отрезка пополам ( ). В этом случае , и точка является серединой отрезка тогда и только тогда, когда для любой точки

Если внутренняя точка отрезка задана длинами отрезков , , то , и формула (1.2) принимает вид:

Примечание. Для любого действительного числа на прямой существует одна и только одна точка , которая делит отрезок (считая от точки ) в данном отношении . Из формулы (1.1) следует:

Если — точка пересечения медиан треугольника , а — произвольная точка пространства, то

Пусть отрезки и лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Для коллинеарных векторов и существует единственное число такое, что

Это число называют отношением коллинеарных векторов (отношением параллельных отрезков). Если векторы сонаправлены ( ), то

Задачи см в приложении 1.1

1. 2. Медианы треугольника и тетраэдра

В треугольнике ABC медиана от вершины A к середине BC: . Точка пересечения медиан (центроид G) делит каждую в отношении 2:1: , и в позиционных векторах .

В тетраэдре ABCD медиана от вершины D к центру грани ABC: . Центроид тетраэдра — , медианы пересекаются в нем по пропорции 3:1 от вершины к центру грани.

Задачи см в приложении 1.2

1. 3. Скалярное произведение и угол между векторами

Векторы можно не только складывать, вычитать и умножать на числа, но можно их перемножать между собой.

Скалярным произведением вектора на вектор называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

= | | * | | * cos( )

Если есть векторы  (x_a;y_a) и  (x_b;y_b), то * = x_a * x_b+ y_a * y_b

В пространстве: (x_a;y_a;z_a) и  (x_b;y_b;z_b), то * = x_a * x_b+ y_a * y_b + z_a * z_b

Так как в координатах ∣ ∣ =  и ∣ ∣ = , то с помощью координат можно определить угол между векторами через его косинус:

cos φ= =

Задачи см в приложении 1.3

1. 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Векторное произведение

Три некомпланарных вектора , , , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.

Так как три некомпланарных вектора образуют базис в пространстве, то все базисы в пространстве делятся на два класса: класс правых базисов и класс левых базисов. Класс, к которому относится фиксированный базис, определяет его ориентацию.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который удовлетворяет условиям:

1) ⊥ и ⊥ ;

2) | | = | | * | | * sin( , );

3) векторы , и образуют правую тройку.

Обозначение: × или [ , ].

Геометрическое свойство векторного произведения:

Векторное произведение двух векторов равняется нулевому вектору тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны, т.е. × = 0⇔ || .

Теорема (векторное произведение в координатной форме). Пусть заданы два вектора = (a_x, a_y, a_z) и = (b_x, b_y, b_z). Тогда

× = = - +

Cмешанное произведение

Если вектор векторно умножить на вектор , а полученный вектор скалярно умножить на вектор , то получится число, называемое смешанным произведением векторов , и .

Обозначение: ( × ) * или .

Геометрическое свойство смешанного произведения:

Смешанное произведение трех векторов равняется нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны, т.е. ( × ) * = 0 ⇔ , и компланарны.

Теорема (смешанное произведение в координатной форме)

Пусть заданы три вектора = (a_x, a_y, a_z) = (b_x, b_y, b_z) и = (c_x, c_y, c_z). Тогда

=

Взаимная ориентация векторов в пространстве:

1) если > 0, то тройка векторов правая,

2) если < 0, то тройка векторов левая.

Пусть и направляющие векторы прямых, а  — вектор, соединяющий какие-либо точки на этих прямых. Тогда можно вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми, которое будет равно высоте параллелепипеда, построенного на этих векторах, опущенной на основание, образованное векторами  и . Тогда числитель — модуль смешанного произведения векторов ( , , ), который равен объёму этого параллелепипеда, а знаменатель — модуль векторного произведения  , то есть площадь основания:

Задачи см в приложении 1.4

1. 5. Вспомогательные методы и формулы

Формула Гамильтона

Формула Гамильтона имеет вид:

= + + ,

г

Рис. 1

де O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, H – ортоцентер.

Доказательство:

Разложим вектор по векторам и .

Сделаем параллельный перенос векторов и (рис. 1).

Проведём || и || , тогда = + .

Получаем, что = + , а значит, = + + .

Формула радиус – вектора

Пусть — произвольная точка пространства. В треугольнике возьмем на сторонах и соответственно точки и , которые делят стороны в отношениях:

Обозначим точку пересечения прямых и . Тогда имеет место формула

Доказательство:

Рассмотрим векторы и , совпадающие с векторами и , причем

Из подобия треугольников и , и имеем

П оскольку

то

Но

Поэтому

и

Рис. 2

ли

Итак, формула (1.7) доказана. Покажем применение этой формулы.

Векторная формула для тетраэдра

Рассмотрим формулу, аналогичную (1.7). Рассмотрим тетраэдр XABC (рис. 3). Обозначим в треугольнике ABC на сторонах CA и CB точки B₁ и A₁ такие, что CB₁ : B₁A = p, CA₁ : A₁B = q. Пусть Y — точка пересечения отрезков AA₁ и BB₁. Тогда

где S₁ — площадь треугольника CYB, S₂ — площадь треугольника AYC, S₃ — площадь треугольника AYB.

П о формуле (1.8)

Треугольники AYB и AYC имеют общую сторону AY, поэтому их площади пропорциональны их высотам, т.е.

А

Рис. 3

налогично

Подставляя значения p и q в формулу (1.7), получаем формулу (1.8).

Задачи см в приложении 1.5

Глава 2. Решение задач разными способами

Задача 1

В кубе с ребром 1: — центр основания , — центр боковой грани .

а ) Докажите, что прямые и скрещиваются.
б) Найдите расстояние между ними.

Решение 1 (рис. 4):

а

Рис. 4

) Прямая лежит в плоскости .
Прямая лежит в плоскости , которая пересекает по прямой ( — центр верхней грани).
, поэтому пересекает плоскость по прямой , но не на . Прямые не пересекаются и не параллельны — скрещиваются.

б) Плоскость содержит и параллельна ( ).
Расстояние = расстояние от до плоскости .

В прямоугольном ( ): , , .
Высота на гипотенузу:

Решение 2 (рис. 5):

а) , , .

К

Рис. 5

оординаты: , , , .

= > 0

Векторы не компланарны, прямые скрещиваются.

б)

=

По формуле (1.6):

Задача 2

В единичном кубе (рис. 6) на диагоналях граней и взяты точки и так, что

Найти длину отрезка .

Поэтапно-вычислительный метод:

Решение. Длину найдём по теореме косинусов в треугольнике . Ребро куба равно 1:

У

Рис. 6

гол . Тогда

Координатный метод:

Формула деления отрезка. Точка , делящая в отношении , имеет координаты

Решение. Координаты вершин (A в начале):
, , , , , .

• на делит в отношении 2:1 ( ):

• на делит в отношении 2:1 ( ):

Векторный метод:

Решение. Базис: , , (ортогональны, ).

Ответ: .

Задача 3

В правильной треугольной призме известны ребра основания и высота .

Точка — середина ребра .

а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.

б) Найдите угол между прямой и плоскостью грани .

1. Тригонометрическое решение (рис. 7)

а) Перпендикулярность и

Рассмотрим треугольник . Имеем:

Т ак как призма правильная, — правильный, , значит сторона основания , высота в основании . Тогда

поэтому

С

Рис. 7

другой стороны, в треугольнике имеем

Следовательно

Угол между прямыми и равен разности углов при вершине в треугольнике и при вершине в треугольнике :

то есть .

б) Угол между и плоскостью

Пусть — середина отрезка . Тогда отрезки и соединяют середины соответствующих рёбер в параллельных плоскостях, значит прямые и параллельны. Отсюда угол между прямой и плоскостью грани равен углу между прямой и той же плоскостью.

Опустим из точки перпендикуляр на . Прямая перпендикулярна плоскости , искомый угол между прямой и плоскостью равен углу между прямыми и , то есть углу .

В прямоугольном треугольнике получаем

откуда .

Значит, угол между прямой и плоскостью грани равен .

2

Рис. 8

. Векторное решение (рис. 8)

а) Перпендикулярность и

Введём векторы в основании, как на рисунке: , , . Тогда

Точка — середина , значит

Аналогично

Теперь вычислим скалярное произведение:

С учётом и , а также , , получаем после раскрытия:

Значит, .

б) Угол между и плоскостью . Пусть угол между прямой и плоскостью равен . где — некоторая точка основания, так что ортогонален плоскости . Тогда синус угла между прямой и плоскостью равен синусу угла между и ; удобнее сразу писать через скалярное произведение:

Подставляя , , имеем:

откуда .

3. Координатное решение (рис. 9)

а) Перпендикулярность и

Введём прямоугольную систему координат: начало в точке ,
ось направим вдоль , ось — в плоскости перпендикулярно так, чтобы координата точки была положительной, ось направим вдоль . Тогда координаты:

Т очка — середина , значит

В

Рис. 9

ычислим направляющие векторы:

Значит, векторы направлений перпендикулярны, следовательно, прямые и взаимно перпендикулярны.

б) Угол между и плоскостью

Плоскость грани задаётся уравнением (так как все её точки имеют -координату 0), её нормальный вектор можно взять .

Направляющий вектор прямой : .

Угол между прямой и нормалью найдем по формуле

Но — угол между прямой и нормалью к плоскости; угол между прямой и самой плоскостью дополняет до :

Так как , то , следовательно,

Ответ: б) .

Другие задачи см приложение 2

Заключение

В данной работе изучен векторный метод как полезный инструмент решения планиметрических и стереометрических задач в геометрии. Рассмотрены основы векторной алгебры и выявлены плюсы этого подхода: он универсален, позволяет унифицировать подход к решению, избегать громоздких вспомогательных построений и свести доказательства к аккуратным алгебраическим вычислениям.

Практическая часть показала, что векторный метод помогает решать самые разнообразные задачи. На примерах задач о плоскостях и тетраэдрах, трёхгранных и двугранных углах, а также задач, связанных с зависимостью объёмов, продемонстрировано, что векторный метод хорошо согласуется с классическими геометрическими теоремами и даёт возможность компактно получать общие формулы.

Таким образом, векторный метод – это сильный, удобный и логичный инструмент для решения геометрии. Его применение расширяет круг решаемых задач и делает математический анализ реальных процессов более успешным.

Список использованных источников и литературы

1. Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2014.

2. Введение векторов или координат в планиметрии - Тема Векторы и координаты в планиметрии - Каталог заданий по Олимпиадной математике в Школково [Электронный ресурс] // Образовательная онлайн-платформа «Школково». — URL: https://3.shkolkovo.online/catalog/3674 (дата обращения: 20.02.2026).

3. Гусев В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Векторы в школьном курсе геометрии: Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1976. — 144 с.

4. ЕГЭ−2026, Математика профильного уровня: задания, ответы, решения [Электронный ресурс] // Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ». — URL: https://math-ege.sdamgia.ru/?redir (дата обращения: 20.01.2026).

5. Задачи на разложение вектора по трём некомпланарным векторам (более сложные случаи) 10 класс онлайн-подготовка [Электронный ресурс] // Образовательная онлайн-платформа «Ростелеком лицей» — URL: https://lc.rt.ru/classbook/matematika-10-klass/vektory-i-tela-vrascheniya-profilnyi-uroven/5955 (дата обращения: 08.02.2026).

6. Калинина Е.А. Решение задач элементарной геометрии векторным методом [Электронный ресурс] // Социальная сеть работников образования «Наша сеть». — 2021. — URL: https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2021/12/22/reshenie-zadach-elementarnoy-geometrii-vektornym-metodom (дата обращения: 10.12.2025).

7. Клековкин Г.А. Решение геометрических задач векторным методом: учебное пособие для учащихся 10-11 классов / Г.А. Клековкин. – Самара: СФ ГАОУ ВО МГПУ, 2016. – 180 с.

8. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения // Математика. — 2010. — № 13. — С. 4–47. (Рекомендуемый вариант для журнала «Математика в школе»).

9. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Задачи на многогранники: виды, свойства, методы решения. — М.: МЦНМО, 2012. — 240 с. (Рекомендуемый вариант для отдельного издания).

10. Кушнир А.И. Векторные методы решения задач. — Киев: Оберег, 1994. — 210 с.

11. Ольшевский А.Г. Векторы на плоскости и в пространстве, способы решения задач, примеры, формулы [Электронный ресурс] // Super-code.ru. — 2021. — URL: https://super-code.ru/vektor-1/vektor-1.html (дата обращения: 14.01.2026).

12. Понятие вектора — Теоретическая справка по ЕГЭ - Математика — Школково [Электронный ресурс] // Образовательная онлайн-платформа «Школково». — URL: https://3.shkolkovo.online/theory/517?SubjectId=1 (дата обращения: 27.11.2025).

13. Потоскуев Е.В. Векторный метод решения стереометрических задач // Математика в школе. — 1999. — № 5. — С. 35–42.

14. Примеры решения задач с векторами [Электронный ресурс] // WebMath.ru. — URL: https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_4_14.php (дата обращения: 15.12.2025).

Приложение

Глава 1. Решение классических задач векторным методом

Приложение 1.1 Деление отрезка и параллельные отрезки

Задача 1

П араллелепипед ,

, , (рис. 10).

Найти: и .

Решение:

1. Введём базис: , , . Векторы некомпланарны.

2. В

   Рис. 10

   ыразим нужные векторы:

• Диагональ:

• Точка на : Пусть . Тогда по лемме (1.2).

• Точка на : Пусть . = ​​ + ​

Тогда Здесь , .

Следовательно,

3. Вектор :

Упрощаем:

Заметим, что:

Таким образом,

4. Условие параллельности:

, значит, существует такое, что .
Получаем систему:

5. Решаем систему:

Из первого и третьего: .
Из второго и третьего:

.
Подставляем в : .
Корни: (отрицательный корень не подходит).
Тогда .

Ответ:

Задача 2

Задан произвольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, AC₁ — диагональ параллелепипеда (рис. 11). Из вершины А выходят рёбра: AB, AD, AA₁. Их концы образуют треугольник BA₁D. В этом треугольнике M₁ — точка пересечения медиан.

И з второго конца диагонали C₁ выходят три ребра: C₁D₁, C₁B₁, C₁C. Их концы образуют треугольник B₁D₁C. Точка M₂ — точка пересечения медиан этого треугольника.

Требуется доказать:

1. Прямая AC₁ содержит точки M₁ и M₂.

2. П

   Рис. 11

   лоскости треугольников делят диагональ AC₁ параллелепипеда в отношении: AM₁ = M₁M₂ = M₂C₁.

Введем векторы ₁​​, , , ₁​​, ₁

₁​​ = ​( + + ₁​​).

По правилу параллелепипеда:

₁ ​​= + + ₁​​.

₁​​ = ​ ₁​​.

Векторы коллинеарны, и все три точки (A, M₁ и C₁) лежат на одной прямой. Имеем отношение:

​​= ​.

​​= ​.

Таким образом, доказано, что:

• прямая AC₁ содержит точки M₁ и M₂;

• ₁ = M₁M₂ = M₂C₁ = AC₁.

Задача 3

Прямые и пересечены тремя параллельными прямыми в точках и соответственно. Докажите, что (рис. 12).

Р ешение:
Из условия параллельности следует, что

Пусть

Т

Рис. 12

ребуется доказать, что .

Рассмотрим случай, когда точки и не совпадают (векторы и не коллинеарны). Из следует:

Выразим векторы и через неколлинеарные векторы и :

Подставим эти выражения в равенство :

По теореме о единственности разложения по неколлинеарным векторам приравниваем коэффициенты:

Из первого равенства следует , что и требовалось.

Случай совпадения точек и доказывается через подобие треугольников и и приводит к тому же выводу.

Задача 4

Треугольник и точка в его плоскости.
Докажите: Точки , симметричные относительно середин сторон , , , являются вершинами треугольника, центрально-симметричного (рис. 13).

Р

Рис. 13

ешение:
Обозначим середины: — , — , — . Тогда

Середины отрезков , , :

Они совпадают, значит треугольники и центрально-симметричны с центром симметрии в этой точке.

Задача 5

Параллелограммы и , где на , на . Прямые и пересекаются в (рис. 14).

Д оказать: лежат на одной прямой. Найти отношение деления : (от ). Когда — середина ?

Решение:
, .

Т

Рис. 14

огда

Точка на : , .
На : , .

Подстановка даёт систему:

Решение: , . Тогда

Теперь

Отсюда . Таким образом, лежат на одной прямой, и (от ).

— середина , когда , то есть .

Приложение 1.2 Медианы треугольника и тетраэдра

Задача 1

В △ проведены медианы и ,