XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Логарифмы. Применение в экономике

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Смирнов Е.А. 1

---

1МАОУ "Гимназия №17" г. Пермь

Лепихина Е.А. 1

---

1МАОУ "Гимназия №17" г.Пермь

Работа в формате PDF

0.9 MB

Введение

Гипотезой данного исследования является предположение, что в современном мире логарифмы имеют практическое применение.

Целью моего исследования является изучение логарифмов, их свойств, практическое применение в различных сферах жизни и деятельности.

Для достижения поставленной цели и доказательства гипотезы были определены следующие задачи:

1. Собрать, обобщить и систематизировать имеющийся в литературе материал по теме исследования;

2. Произвести расчет периода времени, необходимого для увеличения размещенной на банковских вкладах суммы под процент в Н-раз, используя логарифмы и программный продукт Python 3.8.10.

3. Произвести построение и анализ логарифмического и линейного графиков на примере анализа стоимости золота за 2024год (руб/грамм).

4. Обобщить полученные данные и сделать выводы.

Структура исследовательской работы включает в себя введение, две главы, заключение и список литературы.

Глава 1. Теоретические основы

1. 1. История появления логарифмов

Логарифмы были созданы в 16 веке как средство для упрощения вычислений. В их основе лежит идея, которая приписывается еще Архимеду.

Рассмотрим две прогрессии, арифметическую и геометрическую ( при

b1 = 2, q = 2).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Оказывается, эти строки позволяют упрощать вычисления. Если мы хотим перемножить два числа нижнего ряда, например, 16 и 32 , нам достаточно сложить соответствующие числа верхнего ряда: над числом 16 стоит 4, над числом 32 стоит 5; сложим числа 4 и 5 (будет 9) и опустимся вниз – под 9 стоит 512. Значит, 16·32 = 512. (Аналогично выполняется и деление, только числа первого ряда нужно вычитать). С помощью указанных двух строк действие возведения в степень заменяется умножением, а извлечение корня – делением.

Таким образом, каждый раз, когда мы хотим выполнить действия с числами нижнего ряда, мы выполняем более простые операции с числами верхнего ряда. А числа верхнего ряда- это показатели выписанных в нижнем ряду степеней с основанием 2. Действительно, снизу у нас стоят степени 21, 22, 23, 24 и т. д., а вверху только показатели этих степеней 1, 2, 3, 4 и т.д. Так вот показатели степеней и называются логарифмами.

Идея Архимеда получила развитие не сразу. Пока математикам было достаточно уже имевшихся средств вычислений, они проходили мимо этого свойства прогрессий. Но в эпоху Возрождения ситуация изменилась. Крупнейшие европейские державы стремились к владычеству на море. Для дальних плаваний, для определения положения морских судов по звездам и по солнцу необходимо было всё более развивать астрономию, а значит, и тригонометрию. И, в частности, понадобились более совершенные тригонометрические таблицы. В связи с нарастающими запросами практики продолжали совершенствоваться астрономические инструменты, увеличивалась точность наблюдений, исследовались планетные движения. Обработка полученных данных требовала колоссальных расчетов, и, следовательно, стали необходимы новые средства упрощения вычислений. Такими средствами в 15 – 16 веках явились в первую очередь логарифмы и десятичные дроби.

Сам термин «ЛОГАРИФМ» предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь — отношение) и arithmos (число), которое означало “число отношений”.

Логарифмы с основанием ввел учитель математики Спейдел. Слово основание заимствовано из теории о степенях и перенесено в теорию логарифмов Эйлером. Глагол “логарифмировать” появился в 19 веке у Коппе. Коши первый предложил ввести различные знаки для десятичных и натуральных логарифмов. Обозначения, близкие к современным, ввел немецкий математик Прингсхейм в 1893 году. Именно он обозначал логарифм натурального числа через ln.

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

1. 2. Понятие логарифмов, их виды.

Для полного понимания концепции логарифмов и всего с ними связанного следует начать с элементарных основ. Два математических действия имеют по одному обратному. Речь идет о сложении и умножении. Обратное сложению – вычитание. Обратное умножению – деление. Это очень простые действия, с помощью которых математика в самом широком ее понимании не может справиться без дополнительных "инструментов". Возвышение в степень – пятое математическое действие. Оно имеет два обратных. Первое – извлечение корня, т.е. нахождение основания. Второе – логарифмирование, т.е. нахождение показателя.

Логарифмом положительного числа   по основанию  ,  называется показатель степени, в которую надо возвести  чтобы получить  .[1]

То есть логарифм числа   по основанию  ,    есть некоторое число  такое, что  .

У логарифма есть условие: основание должно быть больше нуля и не равно одному, а итоговое число должно быть больше нуля.

Существует несколько видов логарифмов:

Натуральный. Логарифм по основанию а, где а — число, равное примерно 2,72. Обозначается как ln b, loga b, иногда просто log b, если основание а подразумевается.

Натуральные логарифмы полезны для решения алгебраических уравнений, в которых неизвестная присутствует в качестве показателя степени, они незаменимы в математическом анализе.

В приложениях натуральный логарифм участвует в математическом описании таких процессов, в которых скорость изменения некоторого количества в каждый момент обратно пропорциональна самому количеству.

Десятичный. Логарифм, основание которого равно 10. Записывается как log(a) или lg(a). С ним легко вычислять круглые числа.

Цель десятичного логарифма— найти, в какую степень нужно возвести число 10, чтобы получить желаемое число.

Двоичный. Логарифм по основанию 2. Для нахождения двоичного логарифма числа а необходимо решить уравнение . Часто используется программистами, потому что компьютеры думают и считают в двоичной системе.

С созданием информатики выяснилось, что двоичные логарифмы

необходимы для определения количества битов, требующихся для кодирования сообщения. Другие области, в которых часто используется двоичный логарифм, включают комбинаторику, биоинформатику, криптографию, проведение спортивных турниров и фотографию.

1. 3. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов.

Логарифмическое уравнение вида  не будет иметь решения при условии, что значение числа a>0 и a≠1. Также решение невозможно, если число b отрицательное значение.

При положительном значении b, заданное уравнение будет иметь только один единственный корень. Данный корень имеет название логарифм числа b по основанию значения a. Его можно записать следующим образом:  .

Данную запись называют - основное логарифмическое тождество при следующих условиях: a, b>0 и a≠1.

Свойства логарифмов. При  ,   справедливы равенства:

1. Логарифм единицы равен нулю. log_a1 = 0

так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна 1: a⁰ = 1

2. Логарифм числа, равного основанию, равен единице. log_aa = 1, так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:a¹ = a

3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей log_aMN = log_aM + log_aN,где  M > 0,  N > 0.

4. Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя),

где  M > 0,  N > 0.

5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени. log_a(N^α) = α log_aN , где  N > 0.

6. Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания.

, где  N > 0,  x ≠ 0.

7. Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

8. Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.

, где N > 0.

Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.

9. Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице.

log_ba · log_ab = 1.

Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами.

10. Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень. log_aN = log_a^xN^x, где  N > 0,  x ≠ 0.

1.4. Применение логарифмов в настоящее время.

Если в 16 веке логарифмы появились как средство для упрощения вычислений, то нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложными расчетами?

Во-первых, логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.

Во-вторых, целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны.

В быту мы встречаем гораздо больше логарифмов, чем кажется. Вот несколько примеров.

Децибелы, в которых измеряется относительная громкость любых звуков, считаются по десятичному логарифму. Интенсивность звука (децибелы), оценивается уровнем интенсивности по шкале децибел; число децибел N=10lg(I/I0), где I — интенсивность данного звука.

В химии активность водородных ионов тоже считается по логарифмической шкале. Водородный показатель, "pH ", — это мера активности ионов водорода в растворе, количественно выражающая его кислотность, вычисляется как отрицательный десятичный логарифм концентрации водородных ионов, выраженной в молях на литр.

Логарифмы широко используются в научных формулах и при измерении сложности алгоритмов и геометрических объектов, называемых фракталами. Они помогают описать частотные соотношения музыкальных интервалов, появляются в формулах подсчета простых чисел или аппроксимации факториалов, информируют некоторые модели в психофизике и могут помочь в криминалистическом учете.

Выдержки и диафрагмы в фотографии тоже меняются логарифмически — каждое новое значение больше или меньше предыдущего в определённое число раз.

В ракетостроении для вычисления скорости ракеты используется уравнение Циолковского. В основе этого уравнения — логарифмическая зависимость от массы ракеты с топливом и без него.

Больше всего логарифмов можно встретить в природе в виде логарифмической спирали. Математическая формула спирали выглядит так:

График этого уравнения выглядит так:

У логарифмической спирали все время выдерживается постоянный угол относительно оси. Первым ученым, который открыл эту удивительную кривую, был Рене Декарт.

Спирали, встречающиеся в природе, чаще всего бывают логарифмическими. Раковины наутилуса и улитки, соцветия маргаритки и подсолнечника, шишки сосны и паутина, сплетаемая одним из наиболее распространенных пауков, эпейра. Наиболее впечатляющим примером является спиральная структура галактик. Галактики состоят из горячих звезд и скоплений газа, которые в результате вращения галактика распределяются вдоль ветвей логарифмической спирали. У центра галактики ветви спирали вращаются быстрее, чем на границе, то есть они должны были бы быстро раскручиваться, и даже уничтожиться.

1.5. Применение логарифмов в экономике.

Логарифмы широко используются в экономике. Вот некоторые области их применения:

1.Финансовая : логарифмы помогают анализировать данные о росте цен, инфляции и инвестициях, а также рассчитывать сложные проценты. Например, для вычисления промежутка времени, за которое сумма вклада увеличится в определённое количество раз.

Увеличение суммы для сложных процентов находится по формуле:

P- первоначальная сумма вклада

i-годовая процентная ставка

n-период времени, на который положили деньги в банк(в годах)

Для того, чтоб найти n, прологарифмируем обе части уравнения ,предварительно разделив обе части на P.

Формула для вычисления промежутка времени, за которое сумма вклада увеличится в определенное количество раз.

2.Построение экономических графиков. Логарифмические шкалы делают графики более удобными для анализа, позволяя лучше видеть долгосрочные тренды. Логарифмическая шкала — шкала, длина отрезка которой пропорциональна логарифму отношения величин, отмеченных на концах этого отрезка, в то время как на шкале в линейном масштабе длина отрезка пропорциональна разности величин на его концах. [6, с. 1]

Есть два вида графиков: линейный и логарифмический.

У линейного- вертикальная шкала растет линейно, например, 0, 10, 20, 30, 40 и т.д. Т.е. шкалу задает величина между нулем и первым значением (абсолютный прирост в единицах, в примере – 10 единиц).

У логарифмического - рост нелинейный (геометрический), например, 0, 10, 20, 40, 80 и т.д. Тут шкалу задает относительный (процентный) прирост. В примере это рост в каждом периоде на 100%.

Разница в том, что логарифмический график более адекватно показывает относительный прирост. То есть с логарифмическим графиком каждый год (пусть 0 — цена в первый год, 10 — во второй, 20 — в третий и т.д.) цена росла на 100%. И на графике это будет прямой трендовой линией.

Если этот же актив поместить на линейный график, то сначала будет казаться, что он почти не растет, а к концу мы увидим невероятный рост. Для наглядности приведены линейный и логарифмический графики стоимости одних и тех же активов McDonald’s за длительный период времени. [8]

Рис1. Линейный график стоимости активов Рис 2. Логарифмический график

стоимости активов

На линейном графике кажется, что раньше активы McDonald’s вообще не росли и не представляли инвестиционной привлекательности (до 1990 года).

Если же посмотреть на логарифмический график McDonald’s, то мы увидим, что сейчас темп роста, наоборот, замедлился в процентном отношении. Именно этот график показывает правдивую картину. McDonald’s давно уже стал зрелой компанией, и он физически не может расти быстрее, потому что и так занимает огромную долю рынка. Он может только поддерживать стабильный, устойчивый рост.

Поэтому при анализе долгосрочных инвестиций обязательно нужно строить и изучать логарифмический график, чтобы объективно оценить тренд и темпы роста цен на активы на длинных периодах времени.

Принцип построения логарифмической шкалы: равным отрезкам соответствует одинаковое процентное изменение показателя. Например, отрезок шкалы 10–20 будет равен отрезкам 20–40 и 40–80, то есть изменение показателя во всех случаях составит 2 раза.

Техника построения логарифмической шкалы: необходимо найти логарифмы исходных чисел, начертить ординату и разделить её на несколько равных частей. Затем нанести на ординату (или равную ей параллельную линию) отрезки, пропорциональные абсолютным приростам этих логарифмов. Далее записать соответствующие логарифмы чисел и их антилогарифмы.

Логарифмическая шкала используется, если данные на графике представляют собой большой диапазон, например, экспоненциальный рост.

Для построения логарифмического графика понадобятся следующие шаги:

1.Собрать данные. Важно иметь набор данных, который подходит для логарифмического графика. Например, данные, которые имеют экспоненциальный рост или спад, или данные, которые имеют широкий диапазон значений.

2. Выбрать базу логарифма. В зависимости от данных и требований анализа, выбирают подходящую базу логарифма. Наиболее распространенными базами логарифма являются 10 и е.

3. Применить логарифмическую функцию к данным. Для каждого значения в наборе данных примените логарифмическую функцию с выбранной базой логарифма. Это превратит исходные значения в новые значения на логарифмической шкале.

4. Построить график. Используя полученные логарифмические значения, строят график. Обычно на графике используются две оси: горизонтальная ось, которая представляет исходные значения, и вертикальная ось, которая представляет логарифмические значения.

Глава 2. Практическая часть

2.1. Расчет периода времени, необходимого для увеличения размещенной на банковских вкладах суммы под процент в Н-раз, используя логарифмы и программный продуктPython 3.8.10 .

Как я отметил выше, логарифмы используются для вычисления

промежутка времени, за которое сумма вклада увеличится в определённое количество раз по следующей формуле: .

Например, используя данную формулу, можно определить через какой период времени вложенная сумма в размере 100 000 руб. под 20% годовых утроится и станет равна 300 000 руб.

n=ln(300 000/100000)/ln(0,2+1)= 1,0986/ 0,1823=6 лет

Таким образом, через 6 лет вложенные средства в размере 100 000 руб. при годовой процентной ставке 20% утроятся, и на счете будет около 300 000руб.

Для быстрого расчета я написал программу в Python 3.8.10 , с использованием в расчетах натурального логарифма, которая позволяет узнать период времени, за который вклад увеличится с начальной суммы вложения до определённой суммы с определённой процентной ставкой.