XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Китайское умножение
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Китайское умножение – это древний метод вычисления, основанный на визуализации чисел с помощью линий и их пересечений. Этот способ позволяет выполнять умножение без традиционных алгоритмов, что делает его интересным объектом для изучения как с исторической, так и с педагогической точки зрения.
Исходя из вышесказанного передо мной встала проблема: в настоящее время многие ученики не умеют выполнять умножение в столбик и не знают таблицу умножения.
Цель: Целью исследования китайского умножения является изучение данного математического метода, изучения принципов и механизмов работы и показать его практическое применение.
Для достижения цели необходимо выполнить следующие задачи, а именно:
-
Изучить китайский способ умножения и научиться его применять;
-
Выяснить, какой способ лучше, китайский или наш традиционный (умножение в столбик);
-
Поделиться своими знаниями с учащимися школы и узнать их мнение;
-
Создать буклет с учебным пособием о выполнении данного метода.
Развитие логического мышления и визуального восприятия школьников, а также на применение нестандартных методов решения арифметических задач с помощью метода китайского умножения актуальностью для моего проекта, так как китайский метод умножения подходит как наглядное пособие, помогающее понять суть разрядов и структуры десятичной системы.
В рамках реализации проекта по китайскому умножению были использованы источники литературы XX века, позволяющие подробно изучить способ китайского умножения.
Поэтому я попробую создать буклет для школьников, которым это могло быть интересно.
Ожидаемый результат: буклет с алгоритмом китайского умножения.
1 ИСТОРИЯ КИТАЙСКОГО УМНОЖЕНИЯ
Китайское умножение – уникальный метод вычисления произведений, корнями уходящий в древнекитайскую математику. История китайского умножения насчитывает несколько тысяч лет и отражает богатое математическое наследие Китая.
Китайское умножение характеризуется тем, что вместо традиционного алгебраического подхода используется графическое представление чисел через линии, которые пересекаются и образуют точки подсчёта. Эта техника оказалась чрезвычайно эффективной и наглядной, особенно в эпоху, когда письменность и абстрактная символика только развивались, а вычисления выполнялись преимущественно вручную на специальных устройствах, таких как счеты (суаньпань).
С течением времени китайское умножение привлекло внимание и исследователей из других частей мира. В европейской математике этот способ был мало известен вплоть до XX века, когда исследователи стали изучать восточные рукописи и обращать внимание на уникальные методы вычислений различных культур.
В современных условиях, несмотря на доминирование цифровых технологий, изучение китайского умножения продолжает оставаться важным как с исторической, так и с педагогической точки зрения, поскольку позволяет лучше понять развитие математической мысли и расширить представления о возможных способах решения элементарных арифметических задач.
Таким образом, изучение китайского умножения в историческом контексте не только раскрывает древние вычислительные практики, но и показывает, каким образом культура, технология и понимание чисел переплетаются в процессе формирования математических знаний. Этот метод служит примером того, как традиционные знания могут сохраняться и передаваться сквозь века, а также подчеркивает важность межкультурного диалога в развитии науки.
2 ВЫПОЛНЕНИЕ КИТАЙСКОГО УМНОЖЕНИЯ
2.1 Умножение однозначных чисел
Мы рассмотрим несколько примеров помощью данного метода, начиная от самого простого к самому сложному.
Для начала выполним умножение однозначных чисел, возьмем пример 7*5.
Для того, чтобы умножить 7 на 5 методом китайского умножения, мы нарисуем семь вертикальных параллельных линий, а затем поверх них – пять горизонтальных параллельных линий, рисунок 1.
Рисунок 1 – Пример умножения однозначных чисел.
Каждое пересечение линий – это определённое представление числа один. Количество пересечений в целом и будет нашим результатом произведения чисел 7 и 5.
Посчитаем количество точек пересечения. Семь вертикальных линий пересекаются с пятью горизонтальными. Поскольку каждая вертикальная линия пересекается с каждой горизонтальной, общее количество точек определяется произведением степени обеих групп, то есть 7 × 5 = 35. Именно столько точек мы получим, и это означает, что произведение чисел 7 и 5 равно 35
2.2 Умножение двузначного числа на однозначное
Следующий пример для выполнения будет умножение двузначного числа на однозначное, например: 42*3
Для начала разложим число 42 на разряды: 40 и 2. Китайский алгоритм умножения предполагает представление каждого разряда в виде палочек или линий. В нашем случае число 42 можно представить как две группы линий: одна группа из 4 линий (что соответствует 40) и другая из 2 линий.
Затем для второго множителя, равного 3, также нарисуем три линии. Таким образом, для 40 (4 линии) мы чертим 4 линии горизонтально, а для 3 – 3 линии вертикально, причем эти группы линий пересекаются. Аналогично для 2 линий горизонтально чертим пересечения с теми же 3 вертикальными линиями.
Далее нужно посчитать количество точек пересечения линий для каждой группы и сложить результаты, учитывая разряды. В первой группе 4 линии пересекаются с 3 линиями, что даёт 4 × 3 = 12 точек пересечения. Поскольку эти линии соответствуют разряду десятков, этот результат умножается на 10 и становится 120.
Во второй группе 2 линии горизонтальных пересекаются с 3 вертикальными линиями, что даёт 2 × 3 = 6 точек пересечения. Эти линии соответствуют разряду единиц, то есть количество пересечений считается как 6 единиц.
После этого складываем полученные результаты: 120 + 6 = 126. Таким образом, умножение 42 на 3 методом китайского умножения даёт ответ 126, рисунок 2.
Рисунок 2 - Пример умножения двузначного числа на однозначное
2.3 Умножение двузначных чисел
Для показа умножения двузначных чисел возьмем за пример: 15*11
Как и говорилось ранее, для начала необходимо представить каждое число в виде отдельных цифр. Число 15 состоит из цифр 1 и 5, а число 11 — из цифр 1 и 1. Затем для каждого числа мы рисуем набор параллельных линий: для 15 – одна линия, соответствующая первой цифре (1), затем после небольшого промежутка – пять линий для второй цифры (5). Аналогично для числа 11: сначала одна линия для первой цифры (1), затем, с некоторым интервалом, одна линия для второй цифры (1).
В результате пересечений мы получаем визуальное представление промежуточных сумм, которые потом необходимо правильно сложить, чтобы получить итоговое произведение.
Для числа 15 (цифры 1 и 5) рисунок включает в себя всего 1 горизонтальную линию (первая цифра) и 5 горизонтальных линий (вторая цифра). Для числа 11 (цифры 1 и 1) – 1 вертикальная линия и ещё 1 вертикальная линия с некоторым интервалом.
Следуя алгоритму, нужно посчитать количество точек пересечения линий в разных областях, которые образуют три группы:
1. Пересечения линий единиц первого и первого числа (которые соответствуют старшим разрядам) — это количество точек в верхнем левом углу. Обозначим их как: 1.1 и 2.1.
2. Пересечения линий первой цифры первого числа со второй цифрой второго числа и второй цифры первого числа с первой цифрой второго числа — это точки в средней диагональной области, обозначим как: 2.2 и 1.1, 1.2. и 2.1.
3. Пересечения линий, соответствующих младшим разрядам обоих чисел — в нижнем правом углу, обозначение: 2.2 и 1.2.
Подсчитываем:
-
Верхний левый угол: линии первой цифры 15 (1 линия) пересекаются с первой цифрой 11 (1 линия) → 1×1=1 точка;
-
Средняя область: линии первой цифры 15 (1 линия) пересекаются со второй цифрой 11 (1 линия), плюс линии второй цифры 15 (5 линий) пересекаются с первой цифрой 11 (1 линия). Это 1×1 + 5×1 = 1+5=6 точек;
-
Нижний правый угол: линии второй цифры 15 (5 линий) пересекаются со второй цифрой 11 (1 линия) → 5×1=5 точек.
Теперь получаем три суммы: 1, 6 и 5, которые соответствуют разрядам сотен, десятков и единиц соответственно.
Теперь соединяем эти цифры: сотни (1), десятки (6), единицы (5), получаем число 165.
Это и есть произведение чисел 15 и 11, рисунок 3.
Рисунок 3 – Пример умножения двузначных чисел
2.4 Умножение трехзначных чисел
Для выполнения умножения трехзначных чисел возьмем пример 131*216.
Как и ранее мы раскладываем каждый из множителей на разряды. Число 131 представим как сумму разрядов: 100 + 30 + 1. Аналогично, 216 распишем как 200 + 10 + 6.
Для числа 131 рисуем три группы линий: одна линия для сотен (1), три линии для десятков (3) и одну линию для единиц (1). Эти линии располагаем параллельно друг другу по горизонтали. Под ними, вертикально и также группами, рисуем линии для числа 216: две для сотен (2), одну для десятков (1) и шесть для единиц (6), рисунок 4.
Рисунок 4 – Пример умножение трехзначных чисел
На пересечениях линий появляются точки — каждая точка обозначает произведение единичных разрядных единиц между двумя множителями. То есть, перекрестье одной линии из первой группы и одной из второй дает одну точку. Таким образом, общее количество точек на пересечении конкретных групп линий отражает произведение соответствующих цифр. К примеру, пересечение линий сотен числа 131 (1 линия) и сотен числа 216 (2 линии) дает 2 точки — 1 × 2 = 2 сотни, то есть 20000. Пересечение линий десятков (3 линии) и единиц (6 линий) даст 18 точек — 3 × 6 =18, соответствующее 180.
Для удобства разберем все пересечения по парам:
1. Пересечение 1.1 и 2.1;
2. Пересечение 1.1 и 2.2, 1.2 и 2.1;
3. Пересечение 1.1 и 2.3, 1.2 и 2.2, 1.3 и 2.1;
4. Пересечение 1.2 и 2.3, 1.3 и 2.2;
5. Пересечение 1.3 и 2.3.
Следующий этап — суммирование этих результатов с учетом их места в числе. Этот шаг схож с объединением произведений в столбиковом умножении, но выражен через сумму всех точек, учитывая множители разрядов.
Записываем промежуточные значения:
-
1×2 сотен: 20000;
-
1×1 десяток: 1000;
-
1×6 единиц: 600;
-
3×2 сотен: 6000;
-
3×1 десяток: 300;
-
3×6 единиц: 180;
-
1×2 сотен: 200;
-
1×1 десяток: 10;
-
1×6 единиц: 6.
Складываем все значения:
20000 + 1000 + 600 + 6000 +300 +180 + 200 +10 +6
Таким образом, произведение 131 и 216 равно 28296, что подтверждается классическим умножением.
Также рассмотрим пример умножения трехзначных чисел, где есть 0 в числе на примере 102*62, рисунок 5.
Как и было сказано ранее, мы чертим вертикальные линии и поверх них горизонтальные. Цифру 0 мы проведем пунктиром для удобства. Далее мы определяем пересечения, в данном примере их 4. При подсчете те пересечения, которые пересекаются с пунктирной линией мы не считаем.
Рисунок 5 – Пример умножения трехзначного числа с двузначным, где есть 0 в числе
3 ОПРОС ОБУЧАЮЩИХСЯ И ПЛАН РЕАЛИЗАЦИИ
В рамках подготовки к научно-практической конференции был проведен опрос в 5-7 классах. Был рассказан и показан китайский способ умножения и ученики ответили на два вопроса:
-
Понравился или нет этот способ умножения?
-
Будете ли вы применять его дома или на уроках?
Все ученики с интересом выслушали этот способ, многие пробовали решить самостоятельно на доске.
Также, некоторые ученики решили, что будут использовать его на уроках и дома, но больше учеников тех, которые указали, что не будут использовать способ, так как он не совсем удобен. Если в столбик, пример с трехзначными числами мы можем посчитать за минуту, то с помощью китайского метода на это уходит примерно 4 минуты. Результаты опроса приведены ниже, рисунок 6,7:
Рисунок 6 – Диаграмма 1
Рисунок 7 – Диаграмма 2
Также при подготовке к научно-практической конференции было принято решение сделать буклет с алгоритмом выполнения китайского умножения для учеников с последующим хранением в библиотеках школ Российской Федерации для полного доступа ученикам при их заинтересованности (приложение А).
Заключение
Учить таблицу умножения нужно и умножать на уроках и дома лучше в столбик. Многие учащиеся ознакомились с новым способом умножения и в очередной раз удивились возможностям математики.
В мире математики есть много интересного и совсем нескучного, как, например, китайский способ умножения. Кроме того, знание этого древнего восточного метода повышает эрудицию, не каждый может сказать то, что знает древнюю систему умножения, которой китайцы пользовались еще 3000 лет назад.
Мною была достигнута цель, а именно: изучение данного математического метода, изучения принципов и механизмов работы и его практическое применение.
Также мною были достигнуты поставленные задачи:
1. Изучен китайский способ умножения и его применение;
2. Было определено, какой способ лучше, китайский или наш традиционный (умножение в столбик);
3. Проведен опрос с учащимися школы;
4. Выполнен буклет с учебным пособием о выполнении данного метода.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Линь Ц. Древнекитайская математика. – М.: Мир, 1980. – 288 с.
2 Ма Ц. Китайская математика: краткий очерк. – М.: Иностранная литература, 1958. – 160 с.
3 Мэн С. История китайской математики. – М.: Наука, 1989. – 320 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
БУКЛЕТ С МЕТОДОМ КИТАЙСКОГО УМНОЖЕНИЯ
Рисунок А.1 – Внутренняя сторона буклета
Рисунок А.2 – Внешняя сторона буклета