XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ С ПОМОЩЬЮ ПРАВИЛА КРАМЕРА

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Нестеренко С.Р. 1Калашников А.В. 1

---

1МБОУ г.Шахты "Гимназия №10"

Удот А.А. 1

---

1МБОУ г.Шахты "Гимназия №10"

Работа в формате PDF

825.6 KB

Введение

«Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим тонким инструментом человеческого гения! В формулах увековечены ценнейшие достижения людского рода, в них заключено величие и могущества разума, его торжество над покоренной природой»
академик И. И. Артоболевский

С решением систем уравнений мы познакомились ещё в конце 7 класса, изучив понятие системы уравнений и основные методы решения систем: метод подстановки, метод сложения, графический метод. Кроме этого рассматривали решение задач с помощью систем уравнений.

Системы уравнений – одна из важнейших тем курса алгебры, которая традиционно входит в материалы итоговой аттестации по алгебре в 9 классе, в материалы единого государственного экзамена в 11 классе.

Цель исследования: познакомиться и научиться применять на практике новый способ решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными – правило Крамера.

Задачи исследования:

- изучить математическую литературу, периодические издания по математике (журнал «Математика в школе» и газета «Математика») по поиску материала выбранной темы;

- рассмотреть историю развития вопроса в математике;

- научиться вычислять определители второго порядка;

- научиться решать системы уравнений новым способом.

Глава I Формулы Крамера – один из способов

решения систем линейных уравнений

1.1. Историческая справка

Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В XVII - XVIII вв. приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж и др.

В современной записи система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:

Решение этой системы выражается формулами

Нижние индексы при буквах впервые употребил в 1675 г. немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц, что в большей мере способствовало созданию теории определителей.

Благодаря методу координат, созданному в XVII в. Ферма и Декартом, стало возможным геометрическое решение уравнений системы. Так называемый графический метод решения состоит в построении абсциссы х и ординаты у точки пересечения двух соответствующих прямых.

Задачи, решение которых соответствует современным задачам на составление и решение системы уравнений с несколькими неизвестными, встречаются как в вавилонских и египетских текстах II тысячелетия до н.э., так и в трудах древнегреческих, китайских и индийских ученых.

В VII – VIII книгах китайского трактата «Математика в девяти книгах» рассматриваются системы уравнений и даются краткие правила их решения, при этом все изложение ведется словесно. Коэффициенты системы уравнений располагались на счетной доске в виде таблицы. При повторных действиях на доске было замечено, что с коэффициентами следует систематически поступать по одному и тому же правилу для нахождения решения системы уравнений.

Рассмотрим пример из VII книги вышеназванного трактата, озаглавленной «Избыток – недостаток».

Задача. «Покупают сообща буйвола. Если каждые семь семей внесут по 190, то недостаток равен (т.е. не хватит) 330. Если же каждые 9 семей внесут по 270, то избыток равен (т.е. останется) 30. Сколько было семей и сколько стоит буйвол?».

В трактате коротко излагается прием решения задачи, который в современной символике сводится к следующему:

Если имеется система то надо составить из коэффициентов таблицу вида: , из которой находятся неизвестные величины, взяв:

; .

Обозначая через х количество семей, у – стоимость буйвола, составляем систему уравнений:

В данной системе , а₂=30, b₁=-330, b₂=30;

Таблица, составленная из коэффициентов будет иметь вид: , а решение системы будет записываться в следующем виде:

Таким образом, было 126 семей, а буйвол стоил 3750.

Две задачи Ал – Хорезми

1) «разность двух чисел равна двум, отношение их – числу, обратному двум. Найти числа».

2) Найти два числа, зная, что сумма их равна 10, а отношение 4.

Из «Греческой антологии»

В X – XIV вв пользовался успехом анонимный сборник, содержащий 48 задач, написанных в стихах, большей частью гекзаметром (стихотворный размер в античной поэзии), который получил название «Греческая антология» (от греческих слов «антос» - цветок и «лего» собираю – так назывались сборники избранных произведений древнегреческой поэзии).

Это одно из первых сочинений по занимательной математике.

Например, одна из задач сборника: «- Хроноса (по-гречески «время») вестник, скажи: какая часть дня миновала?- Дважды две трети осталось того, что прошло от начала». Эту задачи можно решить способом составления системы двух уравнений с двумя неизвестными, учитывая, что под «днем» древние подразумевали 12 часов.

Таким образом, рассматривая историю вопроса, можно сделать вывод что решение систем уравнений с помощью определителей по сути использовалось задолго до появления теории определителей.

1.2. Определитель второго порядка

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ – в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число («значение» определителя). Очень часто под понятием «определитель» имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи. Определители позволяют удобно записывать сложные выражения, возникающие, например, при решении линейных уравнений в аналитической геометрии и в математическом анализе. Открытие определителей приписывают японскому математику С.Кова (1683) и, независимо, Г.Лейбницу (1693). Современная теория восходит к работам Ж.Бине, О.Коши и К.Якоби в начале XIX в.

Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида

Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца. Например, а₁₂означает число, стоящее в первой строке и втором столбце; а₂₁– число, стоящее во второй строке и первом столбце.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Определителем второго порядка или детерминантом называют выражение вида: .

Числа а_{11, …,} а₂₂ называют элементами определителя.

Диагональ, образованная элементами а₁₁; а₂₂ называется главной, а диагональ, образованная элементами а₁₂; а₂₁ -побочной.

Определитель обозначается буквами D или Δ и записывается

На рисунке представлен схематический способ вычисления определителя.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком определителя.

Таким образом, из сказанного можно заключить, что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Заметим, что в ответе получается число.

ПРИМЕРЫ. Вычислить определитель второго порядка:

1.3. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью правила Крамера

Применим рассмотренную теорию определителей к решению систем линейных уравнений.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

(1)

Здесь х_1, х₂ – неизвестные;

а₁₁, …, а₂₂ – коэффициенты при неизвестных, занумерованные двумя индексами, где первый индекс означает номер уравнения, а второй индекс – номер неизвестного.

b₁, b₂– свободные члены.

Напомним, что под решением системы (1) понимается пара значений х_1, х₂, которые при подстановке в оба уравнения обращают их в верные равенства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

Обозначим определитель системы .

 = .

В столбцах определителя  стоят коэффициенты соответственно при х₁и прих₂.

Введем два дополнительных (вспомогательных) определителя,которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов: ₁ = ₂ = .

Рассмотрим без доказательства следующую теорему:

ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n=2)

Если определитель  системы (1) отличен от нуля (  0), то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

Данные формулы называются формулами Крамера.

ПРИМЕР. Решить систему по правилу Крамера.

Решение.

Найдем определитель системы:

Вычислим дополнительные определители системы:

Используя формулы Крамера, найдем решения системы уравнений.

.

Проверим найденные значения подстановкой в исходную систему:

Проверка показывает, что х₁ = 3; х₂ = -1 – решения искомой системы.

Ответ: х₁ = 3; х₂ = -1

Решение системы в случае, когда , с помощью определителей 2-го порядка можно представить в виде следующего алгоритма:

Шаг 1 Сосчитать главный определитель системы и убедиться, что он отличен от 0.

Шаг 2 Сосчитать два вспомогательных определителя ₁ =

₂ = .

Шаг 3 Найти значения неизвестных, используя формулы Крамера:

Шаг 4 Выполнить проверку, подставляя найденные значения в исходную систему уравнений.

Возможные случаи при решении систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными

ЗАМЕЧАНИЕ.

Крамер Габриель (31.7.1704-1752)- швейцарский математик. Родился в Женеве. Был учеником и другом Иоганна Бернулли. Издатель трудов Иоганна и Якова Бернулли, переписки Г. Лейбница с И. Бернулли. Учился и работал в Женеве.

Основные труды по высшей алгебре и аналитической геометрии. Установил и опубликовал (1750г.) правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными с буквенными коэффициентами (правило Крамера), заложил основы теории определителей, но при этом еще не пользовался удобным обозначением определителей.

Глава II Применение правила Крамера к решению систем

двух линейных уравнений с двумя неизвестными

2.1. Вычисление определителей второго порядка

1) Вычислить определители второго порядка:

Решение:

;

;

.

2) Решить уравнения:

Ответ: х=12.

,

Ответ: х=2, х=-2.

2.2. Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью формул Крамера

_{Примеры систем уравнений, решенных с помощью правила Крамера.}

Решение.

Решим по правилу Крамера.

1. Запишем и вычислим определитель системы:

=1∙1-5∙2=-9;

2. Запишем и вычислим дополнительные определители:

∆1= = 3∙1-(-4)∙5=23;

∆2= =1∙(-4)-3∙2=-10;

3. Используя формулы Крамера, найдём решения системы уравнений:

х=, y=

х=-=-2_;

_у==;

_{Ответ: х=-2 ; у=.}

Решение.

_{Решим по правилу Крамера.}

1. _{Запишем и вычислим определитель системы:}

_{=-5∙(-6)-15∙2=0;}

2. _{Запишем и вычислим дополнительные определители:}

_{∆1= =7∙(-6)-2∙(-21)=0;}

_{∆2= =-5∙21-7∙15=0.}

_{=>система имеет бесконечное множество решений.}

_{Ответ: бесконечное множество решений.}

Решение

Решим по правилу Крамера.

1. Запишем и вычислим определитель системы:

=3∙7+5∙2=31;

2. Запишем и вычислим дополнительные определители:

∆₁= =13∙7+5∙81=496;

∆₂= =3∙81-13∙2=217;

3. Используя формулы Крамера, найдём решения системы уравнений:

х=у=

х==16;

у==7.

Ответ: х=16; у=7.

Решение:

Решим по правилу Крамера:

1)Запишем и вычислим определитель системы:

=-0,5∙9+7,5∙3=-4,5+22,5=18;

2)Составим и решим дополнительные определители:

∆₁= =3,5∙9 - 15∙(-7,5)=31,5+112,5=144,

∆₂= =-0,5∙15-3,5∙3=-7,5-10,5=-18;

3)Используя формулы Крамера, найдём решения системы уравнений:

х= у= .

х= ; у= .

Ответ:х=8,у=-1.

Решение.

Решим по способу Крамера:

Составим и вычислим определитель системы:

∆= ;

Составим и решим дополнительные определители:

∆₁= =-50-25=-75,

∆₂= =-20-30=-50;

3)Используя формулы Крамера, найдём решения системы уравнений:

а= , b= ;

a= b=

Ответ: a = 15; b= 10.

Заключение

В данной работе мы изучили историю развития вопроса, познакомились с понятием определителя второго порядка и научились его вычислять. Рассмотренная теория определителей позволила на рассмотреть новый метод решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными – правило Крамера. Мы узнали, что в зависимости от того, чему равен определитель системы, можно судить о количестве решений системы.

Рассмотренную теорию мы учились применять при выполнении практических заданий, часть из которых представлена в работе.

При вычислении определителей второго порядка и решении систем линейных уравнений с двумя неизвестными, у нас возник вопрос: а существуют ли определители третьего, четвертого и т.д. порядков? бывают ли системы с тремя неизвестными? Надеемся, что при дальнейшей работе мы ответим на возникшие вопросы.

Список литературы

1) Глейзер Г.И. История математики в школе: IV – VI классы. –М.: Просвещение, 1981.

2) Алгебра и начала анализа. // Под ред. А.М Колмогорова. - М., 1999.
3) Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. - М., 2000.
4) Никольский С.М. Курс математического анализа. - М.: Наука, 1997. - Ч.1.
5) Повторяем и систематизируем курс алгебры и начал анализа. / Под ред. Крамора В.С.. - М.: Просвещение, 2005
6) Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Издательство МГУ, 1995