Почему параметры манят: сравнительный анализ методов решения задач с переменным коэффициентом

XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Почему параметры манят: сравнительный анализ методов решения задач с переменным коэффициентом

Санникова А.А. 1
1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Многопрофильный лицей №10»
Санникова Г.И. 1
1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Многопрофильный лицей №10»
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Задания с параметром в структуре профильного ЕГЭ по математике традиционно относятся к категории высокого уровня сложности. Статистика экзаменационных кампаний прошлых лет подтверждает, что данный блок является ключевым барьером для получения высоких баллов из-за многообразия типов задач и отсутствия единого алгоритма решения. Это подчеркивает необходимость глубокого изучения вариативных методов, таких как аналитический, графический и функциональный. Применение данных подходов позволяет учащимся выбирать наиболее рациональный путь решения в зависимости от специфики математической модели.

Проблема исследования. Основная проблема заключается в несоответствии между высоким уровнем сложности задач с параметром в профильном ЕГЭ и ограниченным количеством учебного времени, отведенного на эту тему в школьной программе. В результате выпускники часто не обладают навыками выбора оптимального метода решения и системного анализа условий задачи, что приводит к ошибкам при интерпретации полученных результатов.

Объект исследования: процесс решения задач с параметром в профильной части ЕГЭ по математике.

Предмет исследования: применение различных методов решения задач с параметром (графический, аналитический и функциональный).

Цель проекта: изучить вариативность методов решения задач с параметром и на основе разбора конкретных примеров выявить наиболее рациональные подходы для различных типов уравнений.

Задачи проекта:

  1. Рассмотреть различные виды параметров и их роль в математических задачах.

  2. Проанализировать основные методы решения задач с параметром: графический, аналитический, метод областей и функциональный.

  3. Продемонстрировать применение каждого метода на конкретных примерах из ЕГЭ.

  4. Сравнить эффективность разных методов и сделать выводы о практической значимости каждого подхода.

Методы исследования: анализ литературы и учебных материалов, разбор задач ЕГЭ, построение графиков функций, аналитические вычисления, числовой подбор решений.

Практическая значимость. Результаты проекта могут быть использованы учащимися для подготовки к ЕГЭ, преподавателями для наглядного объяснения сложных заданий с параметром, а также для разработки методических рекомендаций по изучению темы, недостаточно раскрытой в школьной программе.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СПЕЦИФИКИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ И МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ

    1. Понятие параметра и его роль в математических моделях

Параметр – это величина, которая присутствует в задаче и влияет на её решение, но сама по себе не является неизвестной. В отличие от переменной, параметр фиксируется на определённом этапе решения, чтобы определить, какие решения возможны. Например, рассмотрим уравнение вида , где  – неизвестная переменная, а – параметр.

В зависимости от значения уравнение может иметь два корня, один корень или не иметь корней вовсе. Понимание параметров важно, потому что именно они часто являются источником трудностей на ЕГЭ. Задачи с параметрами требуют системного анализа, умения рассматривать несколько случаев и аккуратного вычисления.

    1. Типы задач с параметрами в профильном ЕГЭ

Задания ЕГЭ включают в себя широкий спектр задач с параметрами, которые целесообразно классифицировать по частотности их появления в контрольно-измерительных материалах (КИМ). Можно выделить две основные группы: задачи, составляющие основу экзаменационных вариантов «основной волны», и менее распространенные типы, требующие специальных методов решения.

      1. Анализ доминирующих типов задач в ЕГЭ

Среди всего многообразия задач с параметрами можно выделить те, которые встречаются чаще всего:

  1. Задачи, решаемые графическим способом. Один из самых востребованных типов за всю историю экзамена. Решение строится на анализе взаимного расположения графиков функций, где параметр определяет положение или вид одной из фигур на координатной плоскости, а ответ зависит от количества точек пересечения.

  1. Задачи вида «дробь равна нулю». Данный тип заданий является базовым и регулярно встречается в КИМ ЕГЭ. Исследование уравнений такого вида сводится к поиску нулей числителя при строгом соблюдении условий допустимых значений (ОДЗ).

  1. Задачи на количество корней на заданном промежутке. Подобные задачи требуют глубокого аналитического или функционально-графического подхода. Несмотря на меньшую частоту по сравнению с базовыми типами, такие задания стабильно появляются в экзаменационных вариантах (например, в основной волне ЕГЭ 2021–2022 гг.). Ключевая стратегия здесь заключается в определении условий единственности решения без прямого вычисления всех корней уравнения.

      1. Альтернативные и менее распространённые типы задач

К числу задач, которые не являются типовыми для основной волны, но требуют особого внимания из-за своей специфики, относятся следующие виды:

  1. Задачи на исследование области значений функции. Тип заданий, основанный на анализе поведения функции. Стратегия решения заключается в изучении монотонности и поиске экстремумов, что позволяет определить границы области значений при различных значениях параметра.

  1. Задачи на использование свойств чётности и симметрии. Такие задачи основаны на инвариантности (неизменности) выражения при замене  на . Если условие сохраняется, то корни симметричны, что позволяет определить условия единственности решения, не прибегая к полному решению уравнения.

  1. Задачи на использование общей инвариантности. Метод основывается на поиске величин или свойств системы, которые остаются неизменными при определенных преобразованиях. В отличие от геометрической симметрии, данный подход позволяет выявить алгебраическую устойчивость модели, что часто является ключом к нахождению необходимых условий существования решений. Считается одним из самых изящных, но при этом трудоемких аналитических методов.

  1. Комбинированные задачи высокого уровня сложности. Данный вид заданий требует одновременного применения нескольких методов (например, аналитического и функционально-графического) и не имеет единого алгоритма решения. Стоит отметить, что комбинированный тип (получивший в среде абитуриентов неформальное название «корыто») был представлен в вариантах ЕГЭ 2025 года, что стало одной из причин признания данного экзамена одним из самых сложных за последние годы.

Таким образом, разнообразие задач с параметрами сводится к нескольким ключевым сценариям. В 2020–2024 гг. в КИМ преобладали графические методы, и даже в достаточно сложном 2023 году параметр оставался доступным, уравновешивая общую сложность работы. Однако в 2025 году эта закономерность была нарушена. Структура задачи № 18 претерпела качественные изменения, существенно повысив планку требований к подготовке выпускников. Количественное соотношение всех типов задач, основанное на анализе открытого банка заданий ФИПИ и вариантов профильного ЕГЭ за период 2018–2025 гг., наглядно представлено в Приложении А (рисунок А.1).

Статистика, представленная на диаграмме, наглядно демонстрирует cложившееся распределение типов задач. Лидирующее значение (35%) по-прежнему сохраняет графический метод, что на протяжении многих лет определяло стратегию подготовки к экзамену. Однако в 2025 году качественное усложнение структуры КИМ привело к резкому падению решаемости задач №18 до критических 3–5%, а процент работ, оценённых на максимальные 4 из 4 баллов, существенно снизился по сравнению с предыдущими годами. Такие показатели обусловлены ростом числа комбинированных задач (12%), требующих не только графических построений, но и строгого аналитического обоснования. В конечном итоге полученные данные свидетельствуют о трансформации экзамена от типовых алгоритмов к многошаговым задачам, что требует от абитуриента владения широким арсеналом методов решения.

    1. Основные методы решения задач с параметрами

  1. Аналитический метод. Классический подход, основанный на прямом решении через равносильные преобразования. Основной принцип метода состоит в работе с параметром как с фиксированным числом, но с учётом «контрольных» значений, при которых меняется количество корней или вид уравнения.

  2. Графический метод. Данный способ основан на визуализации условий задачи. Для этого уравнение приводится к виду , где одна из функций зависит от параметра. В плоскости параметр отвечает за движение графика относительно неподвижных осей. В плоскости параметр рассматривается как полноценная переменная, что позволяет построить единую геометрическую область. Оба варианта наглядно иллюстрируют зависимость количества решений от значения параметра.

  3. Функциональный метод. Базируется на изучении свойств функций: монотонности, чётности и ограниченности. Если одна часть уравнения представляет собой постоянно возрастающую функцию, а вторая – убывающую, то точка их пересечения будет единственной. Часто решение находится через оценку границ области значений, а также через поиск максимумов и минимумов.

  4. Метод областей. Представляет собой расширение метода интервалов для плоскости. Применяется при решении сложных неравенств через построение границ, где для получения ответа достаточно проверить одну контрольную точку внутри каждой области.

Описанные стратегии составляют теоретическую базу, однако на практике методы часто комбинируются. Выбор оптимального пути зависит от структуры задачи и будет детально разобран в практической части. Вместе с тем, успешное решение невозможно без учёта специфических нюансов и типичных ошибок, анализу которых посвящён следующий параграф.

1.4. Типичные ошибки при решении задач с параметрами

Задания с параметром относятся к категории задач высокого уровня сложности. Успешное выполнение данной части приносит 4 первичных балла, что в пересчете на тестовую систему может составить до 8–10 баллов к итоговому результату. Однако во второй части экзамена баллы выставляются не только за итоговый ответ, но и за логическую полноту обоснования. На основе анализа типичных ошибок выпускников выделю основные «ловушки», требующие особого внимания.

ОШИБКА № 1. ИГНОРИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ВИДА УРАВНЕНИЯ ПРИ НУЛЕВОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ

В задачах, где параметр стоит при старшей степени неизвестного, часто допускается ошибка в том, что уравнение изначально воспринимается как квадратное, без учёта возможных изменений его вида. Однако если коэффициент при содержит параметр, необходимо отдельно рассматривать случай, когда он обращается в нуль. В этой ситуации уравнение становится линейным, что полностью меняет алгоритм поиска корней и их количество.

ОШИБКА № 2. ОТСУТСТВИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПОДТВЕРЖДЕНИЯ ГРАФИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ

Распространенной ошибкой является поиск значений параметра «на глаз», основываясь исключительно на чертеже. Каждая ключевая точка должна быть подтверждена аналитическим расчётом. При наличии верного ответа, но отсутствии процесса вычисления точек пересечения, итоговая оценка за задание снижается до 1 балла из 4. Пример такой ошибки представлен в Приложении А (рисунок А.2).

ОШИБКА № 3. ПОТЕРЯ ИНТЕРВАЛОВ ПРИ СЧИТЫВАНИИ ОТВЕТА С ГРАФИКА

При использовании функционально-графического метода построение верного чертежа является лишь промежуточным этапом. Распространенная ошибка заключается в фиксации только граничных точек, когда прямая проходит через вершины или узлы графиков. При этом учащиеся часто игнорируют интервалы движения подвижного элемента между этими положениями. В результате из итогового ответа выпадают целые множества значений параметра, что ведет к снижению оценки до 1–2 баллов из 4, даже при наличии безупречного графического обоснования.

ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ

Проведенный теоретический анализ специфики задания № 18 позволяет сделать ряд ключевых выводов. Успешное решение задач с параметром базируется не только на владении методами, но и на строгом соблюдении логики изложения. Любой графический этап требует аналитического подтверждения, что исключает риск субъективной интерпретации и ошибок при считывании координат.

Разбор типичных ошибок показал, что наиболее критическими факторами являются игнорирование изменения вида уравнения и отсутствие обоснования граничных положений графиков. Понимание этих «ловушек» позволяет минимизировать риски потери баллов при верном ходе решения.

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

В практической части работы представлены решения задач, отобранных из открытого банка заданий ФИПИ, а также из типовых вариантов под редакцией И.В. Ященко. Данные источники содержат актуальные формулировки, которые встречаются в экзаменационных КИМ. Разбор этих примеров позволяет закрепить изученные методы и отработать навыки оформления, необходимые для получения максимального балла.

Задача № 1 (Источник: основная волна ЕГЭ, резервный день 2017 г.)

Условие. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке .

Решение.

Для решения данной задачи применен графический метод в системе координат . Было исследовано взаимное расположение окружности и областей допустимых значений. Анализ графической модели позволил определить промежутки, при которых уравнение имеет единственное решение.

Подробные вычисления и графическая модель приведены в Приложении Б.

Ответ:

Анализ рациональности метода. Для данной задачи графический метод в системе координат является наиболее эффективным. Аналитическое решение потребовало бы громоздкого исследования знаков подкоренного выражения и взаимного расположения четырех корней. Геометрическая интерпретация позволила наглядно увидеть точки на дугах окружности и быстро определить искомые промежутки, что минимизирует вероятность потери интервалов при записи ответа.

Задача № 2 (Источник: основная волна ЕГЭ 2017 г.)

Условие. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке .

Решение.

Для решения задачи использовался аналитический метод с применением тригонометрических преобразований. После вынесения общего множителя исходное уравнение было сведено к совокупности двух более простых уравнений. Одно из полученных уравнений исследовалось с помощью основного тригонометрического тождества и свойства функции тангенса на заданном промежутке. Далее был выполнен анализ существования корней в зависимости от параметра .

Для наглядности использовался метод «убийцы параметров», позволяющий проследить изменение количества решений при движении параметра.

Подробные вычисления и графическая модель приведены в Приложении Б.

Ответ: .

Анализ рациональности метода. В данном примере наиболее эффективным оказалось сочетание аналитического поиска корней с финальной графической интерпретацией на оси параметра. Это позволило избежать построения сложных тригонометрических графиков с переменной областью определения, наглядно продемонстрировав моменты «входа» и «выхода» корней из области допустимых значений.

Задача № 3 (Источник: досрочная волна ЕГЭ 2026 г.)

Условие. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Решение.

Для решения задачи использовалось свойство чётности системы. Переменная x входила в уравнения только в чётных степенях и под знаком модуля, поэтому если точка является решением системы, то точка также будет являться решением. Следовательно, система может иметь единственное решение только при .

После подстановки данного условия было выполнено исследование. Системы относительно параметра .
Анализ показал, что условию задачи удовлетворяют только определённые значения параметра.

Подробные вычисления приведены в Приложении Б.

Ответ: .

Анализ рациональности метода. Применение свойства инвариантности в данной задаче является единственно рациональным подходом. Попытка прямого аналитического решения или построения графиков привела бы к исследованию комбинированных функций (показательных и квадратичных), что крайне трудоемко в рамках экзамена. Метод симметрии позволил мгновенно сузить область поиска до двух значений параметра.

Задача № 4 (Источник: основная волна ЕГЭ 2025 г.)

Условие. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Решение.

Для решения задачи был использован метод введения новой переменной. Исходное выражение с модулями было заменено функцией , что позволило свести задачу к исследованию квадратного уравнения относительно новой переменной.

Далее были исследованы свойства функции , то есть область её значений и количество решений при различных значениях параметра. Анализ показал, что условие задачи выполняется только при определённых значениях параметра .

Подробные вычисления и графическая модель приведены в Приложении Б.

Ответ:

Анализ рациональности метода. Данная задача наглядно иллюстрирует преимущество метода введения новой переменной. Попытка решить уравнение через раскрытие модулей привела бы к анализу восьми систем неравенств, что нерационально в условиях экзамена. Использование функционального подхода позволило свести задачу к исследованию квадратного трехчлена, а аналитическое сравнение иррациональных чисел обеспечило точность итогового ответа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения данной работы было проведено комплексное исследование задач с параметрами, входящих в профильный уровень Единого государственного экзамена по математике. В качестве практического материала были отобраны и проанализированы 4 задачи из реальных вариантов КИМ ЕГЭ прошлых лет, включая задания основных волн, досрочного периода и резервных дней.

На основе проведённого исследования можно сделать следующие выводы:

  1. Систематизация методов решения. В работе доказана эффективность использования различных подходов в зависимости от типа функции (логарифмической, тригонометрической или модульной). Мною были освоены и применены:

  • Аналитический метод (условия расположения корней параболы, ОДЗ);

  • Графический метод в среде Desmos (анализ взаимного расположения графиков);

  • Использование свойств чётности и симметрии функций для упрощения аналитических выражений;

  • Метод замены переменной и исследование расположения корней параболы.

  1. Применение современных стратегий решения. Особое внимание в проекте уделено подходу, известному в профильной среде как «Убийца параметров» (по материалам «Школы Пифагора»). Данная методика позволила систематизировать алгоритмы поиска решений и существенно упростить работу с наиболее сложными аналитическими конструкциями.

  1. Интеграция информационных технологий. Использование графического калькулятора Desmos позволило построить динамические модели для наиболее сложных и наглядных задач проекта. Визуализация послужила эффективным инструментом контроля: построение графиков помогло подтвердить аналитические расчёты, наглядно увидеть «движение» функций и точно определить моменты касания или прохождения через критические точки.

  2. Практическая значимость. Исследование разноплановых задач из реальных экзаменационных материалов подтвердило, что предложенная комбинация аналитики и графики является универсальным ключом к решению заданий № 18 профильного уровня. Материалы данного проекта могут быть использованы учащимися для эффективной подготовки к экзамену и систематизации знаний по теме «Задачи с параметрами».

Цель работы достигнута, все поставленные задачи выполнены в полном объёме.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. — М.: Айрис-пресс. — (Часть 1).

  2. Горнштейн, П. И. Задачи с параметрами / П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Илекса.

  3. Козко, А. И., Чирский, В. Г. Задачи с параметром и методы их решения. / А. И. Козко, В. Г. Чирский. — М.: МЦНМО.

  4. Образовательный проект «Школа Пифагора». Видеокурс «Задачи с параметрами». — URL: https://vk.com (дата обращения: 27.04.2026).

  5. Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ). Открытый банк заданий ЕГЭ [Электронный ресурс]. — URL: https://fipi.ru (дата обращения: 27.04.2026).

  6. Графический калькулятор Desmos. [Электронный ресурс]. — URL: https://www.desmos.com (дата обращения: 27.04.2026).

ПРИЛОЖЕНИЕ A

Графические материалы

Рисунок A.1 – Распределение типов заданий с параметром в ЕГЭ

Рисунок A.2 – Пример ошибки обоснования значения параметра

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Подробные решения задач

Задача Б. 1

Условие. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке .

Решение.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю. Уравнение равносильно системе:

Преобразуем уравнение

Графиком данного уравнение является окружность с центром в точке и радиусом R=5.

  1. Анализ ограничений

Знаменатель определен и не равен нулю, если подкоренное выражение положительно: . Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Ограничение знаменателя определяет на плоскости внутренние области вертикальных углов, образованных прямыми и .

Рисунок 3. Графическая модель в системе

  1. Аналитический расчёт и исследование модели

Для определения точных границ интервалов вычислим ординаты точек пересечения дуг окружности с границами отрезка и . Подставим эти значения в уравнение :

  • При

  • При

Для получения точного ответа недостаточно визуального анализа графической модели. Необходимо аналитически подтвердить наличие или отсутствие точек пересечения дуг окружностей с граничными прямыми.

Найдем точки пересечения окружности с прямыми , подставив выражение для параметра в уравнение окружности:

  • Для прямой

Найдём дискриминант: D

Оценим значение :

не принадлежит отрезку .

Оценим значение :

не принадлежит отрезку .

Следовательно, данная прямая не пересекает окружность на отрезке  .

  • Для прямой :

Найдём дискриминант:

 

Оценим значение :

не принадлежит отрезку .

Оценим значение :

принадлежит отрезку .

Найдём значение параметра в точке :

⇒ ⇒

  1. Анализ полученных результатов

Методом «движения горизонтальной прямой» определим количество точек пересечения прямой с дугами окружности с учетом выявленных ограничений:

    • При – нет решений;

  • При , одно решение (точка касания);

  • При – два решения;

  • При – два решения;

  • При – одно решение;

  • При – нет решений;

  • При – нет решений;

  • При – одно решение;

  • При – одно решение;

  • При – два решения;

  • При – два решения;

  • При – одно решение;

  • При – нет решений.

Ответ:

Задача Б. 2

Условие. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке .

Решение.

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель:

Данное уравнение равносильно совокупности:

  1. Рассмотрим первое уравнение из совокупности:

  1. Рассмотрим второе уравнение из совокупности:

– однородное уравнение. По основному тригонометрическому тождеству, не является корнями данного уравнения, поскольку тогда должен был бы тоже равняться нулю, что невозможно.

Разделим обе части на : ;

Заметим, что по условию: . Значит, на заданном отрезке корень данного уравнения: .

Вернёмся к системе после преобразований:

  1. Узнаем при каких а, корни будут являться решение

  • Если является корнем уравнения:

При , является корнем уравнения на отрезке.

  • Если является корнем уравнения:

При , является корнем уравнения на отрезке.

  • Если , то при корни будут совпадать и давать одно решение.

  1. Для отбора значений параметра , удовлетворяющих условию задачи, воспользуемся методом «убийцы параметров».

Рисунок 5. Графическая модель отбора корней в зависимости от параметра a

  1. Анализ существования найденных корней при различных значениях параметра  :

  • : одно решение – ;

  • два решения – и ;

  • одно решение – ;

  • : одно решение –   ;

  • : решений нет (оба корня вне области).

Ответ: .

Задача Б. 3

Условие. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Решение.

Заметим, что переменная  входит в оба уравнения системы только в чётных степенях или под знаком модуля. Следовательно, если пара чисел является решением системы, то и пара также будет являться её решением. Для того чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы , то есть .

  1. Подставим в систему уравнений:

Рассмотрим 2 случая:

  • Если ,  то: , тогда – решение системы.

  • Если ,  то: , тогда  –  решение системы.

  1. Проверим будет ли это решение единственное при

Учитывая уравнение окружности  , значения переменной ограничены отрезком . Для анализа системы, раскроем модуль в первом уравнение, рассмотрев случаи в зависимости от знака :

  • Случай 1. :

Таким образом, при и система имеет единственное решение – (0; 1).

  • Случай 2. :

Заметим, что и при . Получаем, что в первом уравнение , то есть при – нет решений.

  • Случай 3. :

Оценка функций на промежутке показывает, что , a выражение  при . Из этого следует, что , следовательно при – нет решений.

В конечном итоге, при будет единственное решение системы – (0; 1).

  1. Проверим будет ли это решение единственное при

Аналогично случаю при , уравнение окружности  ограничивает область поиска значений   отрезком .

  • Случай 1. :

Следовательно, пара чисел представляет собой единственное решение данной системы.

  • Случай 2. :

Проверка показывает, что при пара является решением системы. В силу чётности системы, точка также удовлетворяет обоим уравнениям, что нарушает требование о единственности решения.

Таким образом, при система имеет как минимум два различных решения, что противоречит условию задачи.

Ответ: .

Задача Б. 4

Условие. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Решение.

Введём новую переменную :

Тогда исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно :

  1. Исследование свойств переменной

Раскроем модули в выражении в зависимости от положения точки на числовой прямой относительно критических точек и .

  • Если , то оба подмодульных выражения положительны:

  • Если , тогда первое выражение положительно, а второе – отрицательно:

  • Если , то оба подмодульных выражения отрицательны:

Для наглядного представления полученных результатов и анализа количества корней переменной при различных значениях , построим график функции .

Рисунок 8.График функции

Опираясь на свойства функции установим соответствие между количеством корней исходного уравнения и значениями вспомогательной переменной :

  • Если : yравнение не имеет решений. Сумма расстояний от точки до двух точек не может быть меньше расстояния между ними.

  • Если : yравнение имеет бесконечное множество решений. Этому значению соответствует весь отрезок .

  • Если : для каждого такого значения горизонтальная прямая пересекает график ровно в двух точках. Следовательно, каждому соответствуют ровно два различных корня   .

  1. Анализ количества корней уравнения относительно

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы полученное квадратное уравнение:

имело ровно один корень на интервале .

Важно отметить, что если квадратное уравнение будет иметь два различных корня и оба они окажутся больше 2, то каждому из них будут соответствовать два значения . В таком случае исходное уравнение будет иметь 4 корня, что противоречит условию задачи.

Следовательно, нас интересует ситуация, когда один корень  строго больше 2, а второй корень меньше или равен 2.

Случай 1. Дискриминант равен нулю (

Для единственного корня:

.

  • Если , то (подходит).

  • Если , то (не подходит).

Случай 2. Дискриминант больше нуля (

Рассмотрим функцию . Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Уравнение будет иметь два корня, один из которых больше 2, а другой меньше или равен 2, если значение функции в точку 2 отрицательно: .

Получим неравенство:

Используем формулу дискриминанта:

Находим корни уравнения:

Следовательно, решением неравенства является интервал, где .

  1. Сравнительный анализ границ

Для корректной записи ответа необходимо сравнить полученные значения  и . Проведем оценку:

  • Умножим обе части , изменив знак сравнения:

  • Возведем обе части в квадрат: ;

  • Вычтем 14:

  • Возведем в квадрат повторно: .

Значит, исходное число На основе проведенного исследования получаем итоговый результат.

Ответ: .

Просмотров работы: 17