XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Квадратные уравнения с параметром (применение теорем Виета для выяснения знаков корней, расположение корней квадратного трехчлена)

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Асаинова Р.Р. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Многопрофильный лицей №10» Елабужского муниципального района Республики Татарстан

Санникова Г.И. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Многопрофильный лицей №10» Елабужского муниципального района Республики Татарстан

Работа в формате PDF

295.1 KB

Введение

Я выбрала эту тему для своей исследовательской работы, потому что она меня заинтересовала. Мне было интересно исследовать и решать квадратные уравнения с параметром. Квадратные уравнения с параметром — один из наиболее сложных и интересных разделов школьного курса математики. В школьном курсе математики мы изучили квадратные уравнения, узнали различные способы решения уравнений. . Мне пришла идея рассмотреть те способы решения квадратных уравнений, на которые недостаточно времени уделено на уроках или совсем не рассматриваются в школьном курсе. Цель исследования: научиться применять теоремы для решения задач с квадратными параметрами. Объект исследования: квадратные уравнения. Предмет исследования: методы решения квадратных уравнений. Практическая значимость работы состоит в приобретении навыка решения квадратных уравнений различными способами. Задачи: 1. Изучить учебно–методическую литературу по решению квадратных уравнений. 2. Провести анализ различных способов решения квадратных уравнений. 3. Опробовать методы решения квадратных уравнений на практике Методы: наблюдение, поиск, отбор, анализ, исследование. Актуальность Исследовательская работа посвящена одному из наиболее трудных разделов элементарной математики: квадратным уровнениям с параметрами. Решение задач с квадратным уравнением с параметрами носит учебно-исследовательский характер, они играют важную роль в формировании логического мышления, развитии творческих способностей учащихся, и формируют научно- исследовательские умения.

Теоретический обзор материала по теме исследования

Квадратные уравнения с параметром – один из наиболее сложных и интересных разделов школьного курса математики. Умение решать такие уравнения необходимо при сдаче ЕГЭ, олимпиадах и в дальнейшем изучении высшей математики.

Квадратным называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (коэффициенты), а x – неизвестная величина, причём a ≠ 0. Коэффициент a называется старшим коэффициентом, b – средним коэффициентом, c – свободным членом.

Задачи с параметрами – один из наиболее трудных разделов школьного

курса математики. Специфика данных задач заключается, прежде всего, в их

творческом и исследовательском характере. Для выполнения этих заданий

недостаточно прочного усвоения теоретического содержания школьного курса математики, необходимо также иметь развитое логическое мышление, умение ориентироваться в нестандартных ситуациях, определенные навыки

исследовательской работы, достаточно высокий уровень общей

математической культуры

Практическая значимость таких исследований заключается в углублении знаний по алгебре, развитии логического мышления, навыков анализа и поиска нестандартных подходов к решению задач. Результаты таких работ могут быть использованы в учебном процессе, при подготовке к экзаменам или в научных исследованиях.

Применение теоремы Виета для выяснения знаков корней y=ax²+bx+c.

Если ax²+bx+c=0 при a≠0, то

1. если Представлю графически:

2. если Представлю графически:

3. , если . Представлю графически:

4. , если . Представлю графически:

Расположение корней квадратного трехчлена

Рассмотрю некоторые теоремы, связанные с расположением корней квадратного трехчлена y=ax²+bx+c относительно точек M и N таких, что M<N.

1. что возможно при

2. , то есть M∈ (x₂; x₁), что возможно при a*f(M)<0.

3. что возможно при

4. M<x₂<x₁<N , то есть (x₂;x₁) ⊂ ( M; N),

что возможно при

5. что возможно при или

6. что возможно при или

7. x₂<M<N<x₁, что возможно при

Историческая справка

История квадратных уравнений уходит корнями в глубокую древность. Первые свидетельства умения решать задачи, приводящие к квадратным уравнениям, относятся к математике Древнего Вавилона. Вавилонские математики записывали задачи клинописью на глиняных табличках. Франсуа Виет (1540–1603)-создатель буквенной алгебры. Франсуа Виет родился 1 января 1540 года в Фонтене-ле-Конт (Франция) в семье адвоката. Получив юридическое образование, он всю жизнь работал чиновником и математика была для него лишь страстным увлечением, которому он посвящал свободное время. В 1591 году вышел главный математический труд Виета-«Введение в аналитическое искусство» (In artem analyticem isagoge). В нём он впервые ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных, но и для известных величин- параметров и коэффициентов. Гласные буквы A, E, I, O, U обозначали неизвестные, согласные B, C, D, F-известные данные. Это был колоссальный шаг: алгебра превратилась в науку об общих закономерностях, а не о конкретных числах. Теперь одна формула заменяла бесчисленные частные случаи. Исследуя уравнения, Виет установил связь между корнями и коэффициентами. Скончался Франсуа Виет в Париже в 1603 году. При жизни он публиковал свои работы за собственный счёт и нередко раздавал их бесплатно-широкое признание пришло к нему уже после смерти. Сегодня его имя носит теорема, которую школьники изучают во всём мире. Итог: от глиняных табличек до ЕГЭ. Четыре тысячелетия отделяют нас от первых решений квадратных уравнений на вавилонских табличках. За это время над теорией трудились учёные Вавилона, Египта, Греции, Индии, арабского мира и Европы. Каждый внёс свой вклад-и в итоге возникла стройная, красивая теория. Сегодня формула дискриминанта и теорема Виета- обязательная часть школьной программы во всём мире, а задачи с параметром на ЕГЭ ежегодно проверяют умение применять эти знания творчески.

Практическая часть

1. Иследовать и решить уравнение с параметром

x² – (m –­­­ 2) * x –(m–2) =0.

x²+ px+q=0 –– канонический вид приведенного квадратного уравнения с параметром, где p= –(m–2), а q= –(m–2).

Квадратное уравнение имеет решение, если дискриминант больше или равен нулю, то есть D=( m–2)² + 4(m–2)=(m–2)(m+2)≥0.

Ответ: 1) При m∈ (-∞ ;-2) (2; ∞) Ǝ x₁ ≠ x₂ | x_1,2 =

2) При m∈ (–2 ;2) x ∉ R, т.е. x∈ ∅ .

3) При m= –2 x= – 2 (единственное решение).

4) При m= 2 x= 0 (единственное решение).

2. Исследовать и решить уравнение с параметром

(n+20)*x² + (n+5)*x +1=0.

Канонический вид квадратного уравнения общего вида с параметром ax²+ bx+c=0, где

а) Если n≠ –20, то

D=(n+5)² –4(n+20) = (n–5)(n+11)≥0.

При n∈ (– ∞; –20) (–20; –11) (5;∞) Ǝ x₁ ≠ x₂ | x_1,2 =

б) D=0 при

1) n=5 ; x₁=x₂= – .

2) n= –11; x₁=x₂= .

в) Если n= –20; 0*x² +(-15)*x +1=0; x= (уравнение является линейным).

ОтветЖ1) При n∈ (– ∞;–20) (–20;–11) (5;∞) Ǝ x₁ ≠x₂ x_1,2=

2) При n=5 существует единственный корень ( двойной кратности) x= .

3) При n= –11 существует единственный корень (двойной кратности) x= .

4) При n= –20 существует единственный корень x= .

5) При n∈ ( –11; 5) x∈∅ .

Примечание. В дальнейшем мы не будем уточнять кратность корней.

3.Исследовать и решить уравнение с параметром (m+3)x² –(3m+1) + m=0.

Уравнение уже канонического вида.

а) Если m –3, то D=(3m+1)² –4m( m+3)=5(m–1)( m– )>0,

тогда при

Графическая иллюстрация:

б) Рассмотрим условия существования единственности решение. D=0 при , тогда

1) Пусть m= ; значит x₁=x₂= .

2) Пусть m=1; значит x₁=x₂= .

в) Если m= –3, то 0 * x² –(–8)x –3=0 ; x= ( уравнение линейное).

Ответ: 1) При m∈ (–∞; –3) (–3; ) (1; = _.

2) При m=0,2 x= .

3) При m=1 x= .

4) При m= –3 x= .

5) При m∈(0,2;1) x∉ R (R-множество действительных чисел).

4. Исследовать и решить уравнение с параметром

D(y): .

После преобразований приведем уравнение к каноничному виду.

(x+2)(x+4) –2(a–1)(x+3)=2–a² +2a;

x² –2(a–4) *x +a² –8a +12=0 –– значит, данное уравнение всегда квадратное.

D=(a–4)² –a² +8a –12 =4, тогда x₁=a–2 ; x₂= a–6.

Выясняю при каких значениях параметра a x∉D(y)?

а) Если x₁= a –2 = –3, то a= –1, тогда x₂ = a–6; x₂= –7.

Б) Если x₁= a –2 = –4, то a= –2, тогда x₂ = a–6; x₂= –8.

в) Если x₂ = a–6= –3, то a=3, тогда x₁= a–2; x₁ =1.

г) Если x₂ = a–6= –4, то a=2, тогда x₁= a–2; x₁ =0.

Ответ: 1) При различные корни ,

такие что x₁= a –2; x₂ = a–6.

2) При a=1 уравнение не определено.

3) При a= –1 x= –7.

4)При a= –2 x= –8.

5) При a=3 x=1.

6) При a=2 x=0.

5. Исследовать и решить уравнение с параметром .

D(y): .

x(x–4)=(m–6)(m–1);

Приведем уравнение к каноническому виду:

x² –4x –m²+ 7m –6=0.

D= 4+m² –7m +6=(m–2)(m–5).

Если D>0, тогда x₁ = 2+ ,

(при

x₂=2– .

Выясняю при каких значениях параметра mx∉D(y)?

а) Если x=0, то –m²+7m–6=0. Тогда

Но m₁=1∉D(y).

б) Пусть m=6, тогда x₁=4, x₂=0∉D(y).

в) Если m=2, то x₁=x₂=2 (D=0).

Г) Если m=5, то x₁=x₂=2 (D=0).

Ответ: 1) При m∈(–∞; 1) (1;2) (5;6) (6;∞) x₁≠x₂ x_1,2=2± .

2) При m=1 уравнение не определено.

3) При m=2 x=2.

4) При m∈(2;5) x∉ R.

5) При m=5 x=2.

6) При m=6 x=4.

6. Исследовать и решить уравнение с параметром

D(y): .

После приведения к общему знаменателю получаю

(m+1)(m–2)(z+1)² –2m(m–1)(z+1)=5(z–1)+12+m–m² .

После преобразований исходное уравнение запишу в виде:

(m+1)(m–2)z²–9z–9=0

а) При

D=81+36(m+1)(m–2)=9(2m–1)² ≥0.

D>0 (m ≠ ), z_1,2=

Значит, z₁= z₂ = .

б) Выясняю при каком значении параметра mz∉ D(y)

Если z=1, то (m+1)(m–2)–9 –9=0, m²–m –20=0; .

в) Если D=0, то m= , тогда z₁=z₂= –2.

г) Если m= –1, то 0×z² –9z–9=0, т.е. z= –1.

д) Если m=5, то z₁=1∉ D(y); z₂ = .

е) Если m= –4, то z₁= – ; z₂=1∉ D(y).

Ответ: 1) При существуют два различных корня

2) При m=2 уравнение не определено.

3) При m= –1 z= –1.

4) При m=0 уравнение не определено.

5) При m= z= –2.

6) При m=5 z= – .

7) При m= –4 z= – .

7. Исследовать и решить уравнение с параметром

D(y):

(x–k)²=(k–4)(k+3); x² –2kx +k+12=0 (квадратное уравнение).

D= k²–k–12=(k–4)(k+3)>0, тогда x_1,2=k± (при

Выясняю при каких значениях параметра kx∉ D(y)

а) Пусть k=x, тогда (k–k)²=(k–4)(k+3),

т.е.

б) Если k=4, то x_1,2=4 ∉ D(y).

в) При k= –3 уравнение не определено, так как –3∉ D(y).

Ответ: 1)При k∈(–∞ ;–3) (4;∞) существуют x₁≠x₂ x_1,2=k±

2) При k= –3 уравнение не определено.

3) При k=4 x∈∅.

4) При k∈(–3;4) x∈∅, так как x∉ R

8. Исследовать уравнение на знаки корней в зависимости от значений параметра a.

(a–2)x²+2(a–3)x+a–5=0.

D=(a–3)²–(a–2)(a–5)=a–1.

а) , если .

Графическая иллюстрацию:

∅

б) , если .

Графическая иллюстрацию:

(1;2) (5;∞)

в) , если .

(2;3)

г) , если .

(3;5)

Ответ: 1) При a∈ (1;2) (5;∞) .

2) При a∈ (3;5) .

3) При a∈ (2;3) .

4) При a∈∅ .

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать и решить уравнения с параметром:

1. 4(b–2)² *x+4b(b–2)+

2. Исследуйте уравнение (a+2)x² –2(a+3)x+a+5=0 на знаки корней в зависимости от значений параметра a.

3. Для уравнения 2ax²–3(a–1)x+a+1=0, где x₁, x₂ –– корни, составьте квадратное уравнение с корнями, равными x₁^| = , x₂^|= .

4. При каком значение параметра m сумма квадратов корней уравнения x²+(m+1)x+2m–2=0 будет наименьшей?

5. Найти области изменения наибольших и наименьших значений функции y=(1+a)x²+(3a–7)x+2(a–3) (то есть какие значения может принимать ордината вершины параболы).

6. Выяснить, при каких значениях параметра a оба корня уравнения (a+1)x²+(2a+1)x+a–1=0 (x₁≠x₂) меньше единицы?

7. Выяснить, при каких значениях параметра k 1∈ (x₂;x₁), где x₁, x₂ –– корни уравнения (k–2)x² +(k+3)x+k+6=0?

8. Выяснить, при каких значениях параметра m оба корня уравнения (m+3)x² +3(m+1)x–2(m+1)=0 больше

9. Выяснить, при каких значениях параметра k

Где x₁ , x₂ –– корни уравнения (k+2)x²+(k–3)x+k–6=0.

Заключение

В результате исследовательской работы по выбранной теме мы решили поставленные задачи. Исследовали применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Нами составлена оптимальная и наиболее эффективная схема исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax 2 + bx + c. Приведены подробные решения квадратных уравнений с параметрами с методическими рекомендациями. Решение квадратных уравнений с параметрами открывает перед нами значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале.Мы убедились в том, что огромную роль играют задачи с параметрами, в которых фигурирует квадратный трехчлен в формировании логического мышления, математической культуры, развития исследовательских навыков. В процессе работы над данным проектом у нас повысился интерес к предмету.Наша творческая и исследовательская работа по данной теме помогла нам в подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.

Использованная литература

1.Вавилов, В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Алгебра/В.В.Вавилов, И.И.Мельников, С.Н.Олехник, П.И.Пасиченко// М.: «Наука», 1988. – 432 с.23

2.Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. / В.В.Вавилов, И.И.Мельников, С.Н.Олехник, П.И.Пасиченко// М.: «Наука», 1988. –240 с.

3.Горштейн П.И., Полонский В.Б.,Якир М.С. Задачи с параметрами/П.И. Горштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир// М.:«Илекса», Харьков.:«Гимназия», 2002. – 336 с.

4.Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы. /Г.В.Дорофеев., М.К.Потапов., Н.Х.Розов//Москва. «Наука», 1976.

5.Жаржевский А.Я., Фельдман Я.С. Решение задач с параметрами/ А.Я. Жаржевский, Я.С. Фельдман// Санкт-Петербург. «Агентство ИГРЕК», 1996.

6.Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа 8-11. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики/ Л.И. Звавич Л.Я. Шляпочник, М.В. Чинкина//«Дрофа», Москва, 2001.

7.Козко А.И., Чирский В.Г. Задачи с параметрами и другие сложные задачи/ А.И. Козко, В.Г. Чирский// М.: МЦНОМО, 2007, - 296 стр.

8.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике 7-9 классы/ И.Л. Никольская// Москва, «Просвещение»,1991. – 383с.

9.Прокофьев А.А. Задачи с параметрами/ А.А. Прокофьев// М.: МИЭТ,2004, - 258С.

10.Рязановский А.Р. 500 способов и методов решения задач по математике для школьников и

поступающих в вузы/ А.Р. Рязановский//Москва, «Дрофа», 2001. – 480 с.

11.Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы/ О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев// Москва, .«АСТ – Пресс. Школа» 2002.

12.Шабунин М.И. Математика для поступающих в ВУЗы/ М.И. Шабунин// Москва, .«Аквариум», 1997. – 272 с.

13.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: решение задач. 10 класс/ И.Ф. Шарыгин// Москва. «Просвещение»,1989. – 252с.

14.Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. 11 класс/ И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев// Москва. «Просвещение», 1991. – 384с.