XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Математика в шифровании и криптографии

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Сызранцев М.А. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Основная общеобразовательная школа №5" МО "город Бугуруслан"

Наумова Л.Г. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Основная общеобразовательная школа №5" МО "город Бугуруслан"

Работа в формате PDF

2.4 MB

ВВЕДЕНИЕ

«Почему мы говорим шепотом, когда хотим сохранить какую-то важную новость? Потому что иногда важно держать что-то в тайне. Но как поступить, если надо передать важное сообщение на расстоянии?»

С момента зарождения человеческой цивилизации информация была одним из наших самых ценных активов. Уже много тысячелетий назад наши предки столкнулись с необходимостью передавать информацию в пространстве (из точки А в точку Б) или во времени (например, от учителя к ученикам). Письменность помогла решить эту задачу, однако следом возникла следующая: как сохранить передаваемую информацию от глаз тех, к кому она попасть не должна?

Именно здесь на помощь приходит шифрование — специальная техника превращения обычного текста в секретный код, понятный только получателю. Эта проблема привела к возникновению особой науки — криптографии, изучающей методы защиты информации от несанкционированного доступа. Но в то время использовали примитивные системы кодирования информации, которые служили преимущественно для передачи сообщений, фиксации событий или навигации. Но со временем, с развитием математики, появились более сложные и надежные методы шифрования. Важнейшими этапами стали открытия великих ученых-математиков.

Я решил более подробно изучить применение основ математики в шифровании и криптографии.

Актуальность выбранной темы заключается в том,что сегодня, когда компьютеры, смартфоны и интернет прочно вошли в нашу жизнь, информация играет огромную роль. Очень часто нам приходится сталкиваться с ситуацией, когда нужно защитить личные данные, пароли или важные сообщения от чужих глаз. Чтобы сделать это надежно, используются специальные приемы — шифрование и криптография. Важно понимать, как работают эти методы, ведь они помогают сохранять тайны и обеспечивают безопасность в повседневной жизни. Именно поэтому знание основ математики, необходимых для понимания принципов шифрования.

Цель:познакомиться с основными методами шифрования и разобраться, как математика помогает скрывать и защищать информацию.

Из поставленной цели следуют следующие задачи:

• узнать историю появления шифрования и простых способов защиты информации;

• понять, зачем нужны шифры и как они связаны с математическими операциями;

• научиться применять элементарные математические операции (сложение, умножение, перестановку чисел) для шифровки и дешифровки сообщений;

• попробовать самостоятельно зашифровать простое предложение;

• провести анкетирование учащихся 6б класса МБОУ ООШ №5;

• создать и оформить журнал.

Методы исследования:

• поисковый анализ (поиск информации в сети Internet, энциклопедиях, справочниках, журналах, газетах);

• анкетирование – для выявления степени знаний об истории своего города;

• наблюдение, фотофиксация – подбор материала по теме исследования;

• практический: создание журнала.

Объект исследования: математика.

Предмет исследования:математические операции в области шифрования.

Гипотеза: предположим, что применение базовых математических операций (таких как сложение, вычитание, перестановка цифр) позволяет эффективно создавать простые, но действенные шифры, обеспечивающие защиту информации.

Новизна исследования состоит в том, что оно направлено на привлечение широкого круга молодых обучающихся к пониманию фундаментального значения математики в реальных жизненных ситуациях, укрепляя мотивацию к изучению предмета и расширяя кругозор будущих поколений пользователей сети Интернет.

Данная работа имеет высокую практическую значимость, так как знакомит учащихся с базовыми принципами шифрования, необходимыми для сохранения важной информации в безопасной форме. Освоив эти элементы, школьники смогут применять полученные знания на практике:

- создавать собственные шифры и игры, повышая внимательность и концентрацию;

- понимать основы сетевой безопасности и избегать распространенных ошибок при хранении и передаче личных данных;

- повышать мотивацию к изучению математики, видя реальные сферы ее применения.

Глава I. История и виды шифров

1. 1. Криптография. Зашифрованные послания

Люди уже давно поняли, что информация может быть настоящим сокровищем, и поэтому часто много усилий затрачивалось как на ее охрану, так и на ее добывание. Информация, которая нуждается в защите, возникает в самых разных жизненных ситуациях. Обычно в таких случаях говорят, что информация содержит тайну или является защищаемой, приватной, конфиденциальной, секретной.

Сейчас жизнь устроена так, что между людьми происходит интенсивный обмен информацией, причем часто на громадные расстояния. Для этого земной шар опутали различными видами технических средств связи: телеграф, телефон, радио, телевидение и др. Но часто возникает необходимость в обмене между удаленными законными пользователями не просто информацией, а защищаемой информацией. В этом случае незаконный пользователь может попытаться перехватить информацию из общедоступного технического канала связи. Опасаясь этого, законные пользователи должны принять дополнительные меры для защиты своей информации. Разработкой таких мер защиты занимается криптография.

Криптография стара как мир. История этой науки насчитывает десятки тысячелетий. Собственно, она ровесница письменности. Как только человек начал писать сообщения, он захотел скрыть их от чужих глаз, зашифровать. Всего в мире существует три варианта защиты данных (Приложение 1): физическая; стенографическая; криптографическая.

Первые два способа связаны с физической маскировкой, попыткой скрыть источник и носитель информации или саму информацию. К этим способам относятся, например, такие шаги, как организация голубиной почты или секретной курьерской пересылки сообщений, сокрытие важной информации в книгах, каблуках и в пуговицах. В общем, это всё, что мы видим в шпионских романах и фильмах.

1.2. Шифрование в годы Великой Отечественной войны

Защита информации была очень важна во время войны. Нужно было передавать секретные приказы, планы и сообщения так, чтобы их не могли прочитать враги. Кодовые таблицы: специальные книжки-словари, где обычным словам соответствовали секретные обозначения

Для разных уровней командования использовались разные коды:

• двузначные числа — для простых солдат;

• трёхзначные — для командиров бригад;

• четырёхзначные — для фронтов;

• пятизначные — для высшего командования.

Разведчиками и партизанамииспользовалисьшифры на замене букв и перестановке символов (Приложение 3).

С недавних пор благодаря сайту «Память народа» появилась возможность ознакомиться с документами, запечатлевшими напряжённую борьбу в эфире в годы Великой Отечественной войны, а также проблемы Криптографической службы, возникавшие в незримом противоборстве с могучим противником.

В ходе войны наши криптографы предоставили политическому и военному руководству СССР большое количество важнейшей секретной информации противника. Эта информация, добытая героями невидимого криптографического фронта, позволила сохранить жизни тысяч и тысяч наших солдат и офицеров, сыграла значительную роль в победе над врагом.

Вот как оценивают работу наших шифровальщиков прославленные полководцы Великой Отечественной войны.

Г.К. Жуков: «Хорошая работа шифровальщиков помогла выиграть не одно сражение»[1, 10].

А.М. Василевский: «Ни одно донесение о готовящихся военно-стратегических операциях нашей армии не стало достоянием фашистских разведок»[1, 11].

Высоко оценил работу советской шифровальной службы и противник. Вот выдержка из допроса начальника штаба при Ставке верховного главнокомандования немецких вооружённых сил генерал-полковника А. Йодля от 17 июня 1945 года: «... нам никогда не удавалось перехватить и расшифровать радиограммы вашей Ставки, штабов фронтов и армий».

Впрочем, в начале войны сам Гитлер обещал, что тот, кто возьмёт в плен русского шифровальщика либо захватит русскую шифровальную машину, будет награждён Железным крестом, отпуском на родину и будет обеспечен работой в Берлине, а после победы – поместьем в Крыму. Однако, с 1942 года сообщения русской шифровальной техники немцы перестали перехватывать.

Так же стоит привести современную оценку. Бывший Генеральный директор ФАПСИ генерал армии А.В. Старовойтовым: "Нам была доступна информация, циркулирующая в структурах Вермахта. Я полагаю, нашим маршалам была оказана существенная помощь в достижении перелома в ходе войны и, наконец, окончательной победы. Наши полевые центры дешифрования работали весьма успешно. Войну в эфире мы выиграли".

По мнению западных историков, если бы не работа службы криптографии и шифрования, Вторая мировая война длилась бы на два года дольше.

Подводя итог, можно сказать, что благодаря четкой работе криптографов, и их высокой степени организации в годы Великой Отечественной Войны наша страна строго хранила свои военные и государственные секреты, а также могла вовремя узнавать планы фашистов, что позволило одержать Великую Победу и значительно сократить наши людские потери в этой войне. Ведь секретность даже самой необходимой армейской операции зависела от соблюдения режима скрытности и внезапности его проведения. А главную роль в этом играет именно служба шифрования.

Была создана инструкция по составлению шифров (Приложение 4).

Примеры криптографии.

«ИНФОРМАЦИЯ ДЛЯ СОСЕДА СЛЕВА»

Очень редкий документ (Приложение 4)— кодограмма с её раскодировкой. Такие документы обычно не сохранялись. Здесь наглядно продемонстрировано существо применяемого кодирования (цифровые замены слов и обозначений воинских частей). Обратим внимание на дату — 8 декабря 1941 г. Это один из первых дней советского контрнаступления под Москвой. Кодограмма живо передаёт напряжение обстановки и содержит такие долгожданные признаки грядущей победы. Вероятно, это объясняет и сохранение документа.

1.3. Роль математики в шифровании

Одной из важнейших областей применений математики является криптография — наука о шифрах, т. е. способах преобразования информации, позволяющих скрывать её содержание от посторонних. Государство, не имеющее возможности защищать дипломатическую, военную и иную секретную переписку, неизбежно проиграет в борьбе с конкурентами.

С развитием электронных коммуникаций криптография стала предметом интереса более широкого круга потребителей: возникла необходимость защиты технических, коммерческих, персональных и других данных, передаваемых негосударственными организациями по общедоступным каналам связи.

Допустим, что есть сообщение, которое надо зашифровать и передать получателю. Сначала исходное сообщение «оцифровывают», записав его в виде двоичной последовательности, состоящей из нулей и единиц. Способы преобразования сообщения (и шифрование, и расшифрование) можно подготовить заранее, если условиться, что сообщение в виде двоичной последовательности должно иметь не более знаков. Строится секретная случайная двоичная последовательность длины (например, её можно получить, подбрасывая раз идеальную монету и полагая очередной знак равным 1, если выпал «орёл», и 0, если выпала «решка»). Эту секретную последовательность («ключ») необходимо доставить отправителю и получателю так, чтобы никому, кроме них, она не была известна. Когда придёт время передачи, отправитель воспользуется ключом: «сложит по модулю 2» (т. е. по правилу , , ) каждый знак передаваемого сообщения с соответствующим знаком ключа. Полученная последовательность и будет зашифрованным сообщением. Приняв зашифрованное сообщение, получатель также воспользуется секретным ключом: прибавит (по модулю 2) к каждому знаку зашифрованного сообщения соответствующий знак ключа и восстановит исходное сообщение.

Описанный шифр является совершенным, так как прибавление к шифрованному сообщению всех возможных двоичных последовательностей длины даёт все возможные двоичные последовательности, и выделить из них истинное сообщение без знания ключа будет невозможно. Однако если использовать ту же секретную последовательность ещё хотя бы раз, то шифр перестанет быть совершенным.

Понятно, что применять подобные шифры при больших объёмах переписки неудобно. Как правило, для шифрования используют электронные устройства или компьютерные программы, реализующие сложные алгоритмы преобразования сколь угодно длинных сообщений с помощью секретных ключей. Таким образом, при выбранном алгоритме зашифрованное сообщение является функцией от исходного сообщения и ключа. Эту связь можно рассматривать как уравнение относительно ключа, если известны алгоритм, исходное и зашифрованное сообщения. Чтобы обеспечить практическую невозможность решения таких уравнений перебором всех возможных ключей, множество этих ключей должно быть астрономически велико.

В последние десятилетия в криптографии стали появляться шифры, стойкость которых обосновывается сложностью решения чисто математических задач: разложения больших чисел на множители, решения показательных сравнений в целых числах и других. Стойкость шифров зависит также и от качества генераторов случайных чисел, порождающих ключи.

Методы и результаты различных разделов математики (в частности, алгебры, комбинаторики, теории чисел, теории алгоритмов, теории вероятностей и математической статистики) используются как при разработке шифров, так и при их исследованиях, в частности, при поиске методов вскрытия шифров. Шифр можно считать стойким, пока при его исследовании не выявляются особенности, которые потенциально можно использовать для вскрытия шифра. Для пользователей шифра очень важно узнать, что он ненадёжен, раньше, чем этим смогут воспользоваться злоумышленники.

Криптография является богатым источником трудных математических задач, а математика — одной из основ криптографии. История показывает, что рано или поздно развитие математических методов и техники приводит к тому, что задачи, казавшиеся неразрешимыми, находят решение. Отставание в творческом соревновании математиков разных стран может привести к поражениям в экономике, дипломатии и военных операциях.

Математика играет важную роль в шифровании, помогая защищать нашу личную информацию и секретные сообщения. Для учащихся 6-го класса рассмотрим три ключевых аспекта роли математики в шифровании простыми словами.

Глава II. Применение математики в шифрах

2.1. Математические операции в шифровании

Исследование начинается с изучения реальных применений математики в сфере шифрования и криптографии. Чтобы лучше разобраться в этом процессе, я решил провести практические эксперименты и попробовать самостоятельно создать некоторые виды шифров, используя знания арифметики и свойств целых чисел.

Многие шифры основаны на применении простых математических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление. Эти операции помогают изменять буквы или цифры, создавая новую версию текста, которую невозможно сразу распознать.

Давайте покажем, как элементарные математические операции — сложение, вычитание и перестановка цифр — позволяют превратить обычную фразу в загадочную и совершенно непонятную для посторонних.

Допустим, наша фраза такая простая и знакомая каждому школьнику: «Здравствуй, учитель!»

Этап 1: Замена каждой буквы числом

Сначала переведём каждую букву нашей фразы в её номер в алфавите (алфавит начинается с А=1):

- З → 9 (девятая буква) - Д → 5 - Р → 18 - А → 1 - В → 3 - С → 19 - Т → 20 - В → 3 - У → 21 - Й → 11 - Учитель → 21, 25, 10, 20, 6, 13, 30

Теперь наше предложение выглядит так: 9 5 18 1 3 19 20 3 21 11 21 25 10 20 6 13 30

Этап 2: Применяем сложение и вычитание

Возьмём случайное число, например, +5. Добавляем его ко всем числам, кроме тех, которые меньше пяти (они останутся неизменными). Получится следующее: - 9+5 = 14 - 5 остаётся прежней - 18+5 = 23 - 1 остаётся прежней - 3 остаётся прежней - 19+5 = 24 - 20+5 = 25 - 3остаётся прежней - 21+5 = 26 -11+5=16 - 21+5 = 26 - 25+5 = 30 - 10+5 = 15 - 20+5 = 25 - 6+5 = 11 - 13+5 = 18 - 30+5 = 35. Новая последовательность: 14 5 23 1 3 24 25 3 2616 26 30 15 251118 35

Этап 3: Перемешиваем цифры

Следующим шагом перемешаем числа случайным образом, скажем, меняя местами первую половину и вторую половину строки: Первая половина: 14 5 23 1 3 24 25 3 26 16. Вторая половина: 26 30 15 25 11 18 35

Меняем их местами: 26 30 15 25 11 18 3514 5 23 1 3 24 25 3 26 16

Вот оно — новое загадочное послание: 26 30 15 25 11 18 35 14 5 23 1 3 24 25 3 26 16. Только человеку, знающему правила шифра, удастся разгадать, что скрыто внутри.

Итог: мы использовали самые простые арифметические операции (сложение и вычитание) и перестановку, превратив понятную фразу в запутанный ряд чисел. Таким образом, получается, что простые математические операции действительно способны надежно защитить любую информацию.

Далее приведены задания повышенной сложности, которые требуют применения полученных знаний в области шифрования.

Задание 1. Исследование шифра Цезаря

Цель: изучить принцип работы шифра Цезаря и его математическую основу.

Ход работы:

Выберите ключ шифрования (число от 1 до 33)

Зашифруйте слово «МАТЕМАТИКА»

Пример:

При ключе 3: М → П А → Г Т → Х Е → З М → П А → Г Т → Х И → Л К → Н А → Г. Результаты: ПГХЗПГХЛНГ

Зашифрованное сообщение: МАТЕМАТИКА Ключ: 3

Задание 2. Работа с числовым шифром и магическим квадратом

Цель: исследовать метод шифрования с помощью цифр пароля телефона

Числовой шифр — это способ шифрования, где каждой букве алфавита соответствует определённое число.

Магический квадрат — это квадратная таблица чисел, где сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали одинакова.

Зашифрую свою фамилию «СЫЗРАНЦЕВ»

Таким образом, зашифрованная фамилия будет: 683625732

А чтобы расшифровать точные буквы создаем магический квадрат размером 3×3

10	2	10
6	8	8
6	12	4

Точные буквы фамилии равны сумме чисел, соответствующие порядковому номеру буквы на телефонной раскладке.В каждой строке, столбце и диагоналисуммы равны.

Теперь зашифрую свою фамилию шифром матрицы.Чтобы воспользоваться им для шифровки и расшифровки (кодирования и декодирования), достаточно знать лишь простейшую арифметику, порядок букв в алфавите и помнить всего… четыре числа. А расшифровать ваш текст непосвященному человеку будет абсолютно не под силу. Для кодирования текста на русском языке занумеруем все буквы по месту их расположения в алфавите – от 1 до 33, добавив 34-ю – знак " (пробел, тире, точка, в общем знак, означающий все, что угодно, исходя из смысла послания).

Переводим наше слово "СЫЗРАНЦЕВ" в цифры. Получим последовательность: 19, 29, 9, 18, 1, 15, 24, 6, 3.

Запишем эти числа последовательно попарно (при нехватке символов добавим нули):

(19,29),(9,18),(1,15),(24,6),(3,0)

Теперь нам понадобится специальная матрица-ключевик.

Она выглядит примерно так:

К=	1 2
	3 4

Перемножим каждую пару чисел с нашей матрицей