Вероятность в жизни человека

XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Вероятность в жизни человека

Андреева М.В. 1
1МАОУ "Образовательный центр имени Героя Советского Союза Расковой Марины Михайловны" ЭМР саратовской области
Шатова О.Р. 1
1МАОУ «Образовательный центр имени Героя Советского Союза Расковой Марины Михайловны» Энгельсского муниципального района Саратовской области
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

1) Введение:

a) Цель проекта:

Выяснить какова роль вероятности в жизни человека. Понять, что такое вероятность. Определить, как можно использовать вероятность в повседневной жизни.

b) Задачи:

  1. Исследовать историю вероятности.

  2. Узнать какова роль вероятности в жизни человека.

  3. Разобраться в основных формулах вероятности.

  4. Решить задачи по теории вероятности.

  5. Сделать вывод и создать продукт.

c) История возникновения теории вероятностей

Французский дворянин, некий господин де Мере, был азартным игроком в кости и страстно хотел разбогатеть. Он затратил много времени, чтобы открыть тайну игры в кости. Он выдумывал различные варианты игры, предполагая, что таким образом приобретет крупное состояние. Так, например, он предлагал бросать одну кость по очереди 4 раза и убеждал партнера, что по крайней мере один раз выпадет при этом шестерка. Если за 4 броска шестерка не выходила, то выигрывал противник. В те времена еще не существовала отрасль математики, которую сегодня мы называем теорией вероятностей, а поэтому, чтобы убедиться, верны ли его предположения, господин Мере обратился к своему знакомому, известному математику и философу Б. Паскалю с просьбой, чтобы он изучил два знаменитых вопроса, первый из которых он попытался решить сам. Вопросы были такие:

Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?

Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-то причинам прекратили игру преждевременно?

Паскаль не только сам заинтересовался этим, но и написал письмо известному математику П. Ферма, чем спровоцировал его заняться общими законами игры в кости и вероятностью выигрыша.

Таким образом, азарт и жажда разбогатеть дали толчок возникновению новой чрезвычайно существенной математической дисциплины: теории вероятностей. В разработке ее основ принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс (1629—1695), который написал тракта «О расчетах при азартных играх», Яков Бернулли (1654—1705), Муавр (1667—1754), Лаплас (1749— 1827), Гаусс (1777—1855) и Пуассон (1781—1840). В наше время теория вероятности используется почти во всех отраслях знаний: в статистике, синоптике (прогноз погоды), биологии, экономике, технологии, строительстве и т. д.

Что такое вероятность? Для чего она нужна?

Вероятность – это числовая мера возможности реализации определенного события. Вероятность показывает величину шанса наступления желаемого исхода или случайного события.

Вероятность нужна для того, чтобы:

  1. Прогнозировать возможные исходы.

  2. Управлять рисками: оценивать риски инвестиций, страхования, бизнеса и здравоохранения.

  3. Анализировать случайные процессы.

  4. Принимать решения.

Основная часть:

a) Логические операции.

Дизъюнкция - логическая операция, истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных высказываний. Логическое сложение.

Конъюнкция – это логическое умножение. Операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда, когда истинны оба исходных высказывания.

b) Что такое случайное событие?

Это результат случайного эксперимента, который может наступить либо не наступить вследствие воздействия непредсказуемых обстоятельств. Сам опыт является событием или действием, итог которого невозможно заранее однозначно предугадать ввиду наличия элементов случайности.

Приведём пример случайного события. У Наташи 20 картинок: 10 с львами, 7 со слонами и 3 с обезьянами. Наташа выбирает 1 случайную. Найдём вероятность того, что это будет картинка со слонами.

Вероятность рассчитывается по формуле: P = m/n, где m – это число нужных нам исходов, n – все исходы. Тогда P = 7/20 = 0,35 – это вероятность того, что Наташа выберет картинку со слоном.

Этот пример является элементарным событием.

c) Рассмотрим, что такое равновозможное событие. Равновозможные события - такие события, для которых нет оснований считать, что одно является более возможным, чем другие.

Приведём пример равновозможного события. Наташа подбросила монету 4 раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза.

Рассмотрим все возможные комбинации подброшенной монеты.

О – орёл; Р – решка.

ОООО РРРР

ОРОО РОРР

ООРО РРОР

ОООР РРРО

ОРРО РООР

ООРР РРОО

ОРОР ОООР

РОРО РООО

Всего 16 событий. Из них только 6 событий удовлетворяют условие. Значит P = 6/16 = 0,375. Это событие является равновозможным, потому что вероятность, что выпадет орёл ровно 2 раза абсолютно такая же.

d) Что такое несовместимые события?

Это такие события, когда одно условие исключает другое условие в один и тот же момент.

Приведём пример такого события. Наташа кидает игральный кубик два раза. Условие A – число на кубике два раза должно быть чётным. Условие B – число на кубике два раза нечётное. Условию A соответствуют числа 2,4,6. P(A) = 9/36 = 0,25. Условию B соответствуют числа 1,3,5. P(B) = 9/36 = 0,25.

Мы получаем то, что это два события не могут произойти одновременно.

Получаем логическую операцию дизъюнкцию. P(A˅B) = 18/36 = 0,5 – сумма двух несовместимых вероятностей.

 

1

2

3

4

5

6

1

            

2

            

3

            

4

            

5

            

6

            

Что такое совместимые события?

Это события, которые могут существовать вместе. Приведём пример такого события. Наташа бросает кубик два раза. Условие А – чётное число выпадает два раза. Р(А) = 9/36 = 0,25. Условие В – сумма чисел, которые выпали больше 6. Р(В) = 21/36. P(A˄B) = 6/36 – условия происходят одновременно (A и B). Р(А˅В) = P(A) + P(B) – P(A˄B) = 9 + 21 – 6 = 24– сумма двух совместимых событий.

 

1

2

3

4

5

6

1

            

2

            

3

            

4

            

5

            

6

            

e) Решение задач на основе полученных знаний о вероятности.

Задача 1.

На экзамене было 50 вопросов, Андрей не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

  1. Найдём сколько вопросов выучил Андрей. Это 50-5=45 вопросов.

  2. P = благоприятные события / все события. Это 45/50 = 0,9.

Ответ: 0,9

Задача 2.

За круглый стол на 7 стульев в случайном порядке рассаживаются 4 мальчика и 3 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

  1. Если на 1 стул сядет девочка, то на второй стул может сесть 1 из 6 человек, из которых две девочки.

  2. На третий стул может сесть 5 человек, из который одна девочка.

  3. Получаем вероятность P = 3* (2/6) * (1/5) = 0,2.

Ответ: 0,2

Задача 3.

У Даши в копилке лежит 7 рублёвых, 5 двухрублёвых, 6 пятирублёвых и 2 десятирублёвых монеты. Даша наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит менее 50 рублей.

  1. Найдём общее количество монет: 7+5+6+2 = 20 монет.

  2. Найдём номинальность этих монет: 7+10+30+20 = 67 рублей.

  3. Из этого мы видим, что если мы достанем 10 рублей, то в копилке останется меньше 60 рублей. Тогда вероятность равна P = 2/20 = 0,1 (потому что у нас 2 десятирублёвых монет).

Ответ: 0,1

Задача 4.

На борту самолёта 12 кресел расположены рядом с запасными выходами и 18 кресел за перегородками, разделяющими салоны. Все эти места удобны для пассажира высокого роста. Остальные места неудобны. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

  1. Найдем сколько всего кресел удобных для пассажира В. 12+18 = 30 кресел.

  2. Найдём вероятность. P = 30/300 = 0,1.

Ответ: 0,1

Задача 5.

Агрофирма закупает куриные яйца только в двух домашних хозяйствах. Известно, что 5% яиц из первого хозяйства - яйца высшей категории, а из второго хозяйства - 30% яиц высшей категории. В этой агрофирме 15% яиц высшей категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

  1. А – это событие, что яйца имеют высшую категорию.

  2. В – это событие, что это яйцо из первого хозяйства.

  3. С – это событие, что яйца из второго хозяйства.

  4. Пусть x – яйца из первого хозяйства, тогда (1-x) – это яйца из второго хозяйства. Из этого следует, что x*0,05 + (1-x) *0,3 = 0,15

0,05x + 0,3-0,3x = 0,15

0,05x – 0,3x = 0,15 – 0,3

-0,25x = -0,15 => x = 0,6

Ответ: 0,6

Задача 6.

Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

  1. Всего у нас есть 5 чётных цифр.

  2. Значит вероятность того, что на 1 месте будет чётная цифра P = 5/10 = 0,5.

  3. Со вторым местом аналогично.

  4. Следовательно, вероятность того, что на двух местах одновременно окажутся два чётных числа, равна 0,5 * 0,5 = 0,25.

Ответ: 0,25

Задача 7.

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже, чем 36,6 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,6 °С или выше.

  1. Эти события являются противоположными, поэтому вероятность равна P = 1-0,81 = 0,19.

Ответ: 0,19.

f) Применение теории вероятности в жизни.

1.Теория вероятности в статистической физике. Для статистического описания результатов большого числа идентичных опытов используются методы теории вероятностей. Вместо детального указания состояния, в котором находится система, и прослеживания его эволюции во времени, вводится набор вероятностей, отвечающих каждому состоянию, или функция распределения вероятностей. Пусть мы наблюдаем за системой A в течение большого времени T, а ∆t – это та часть полного времени, в течение которого система находилась в состоянии а, тогда вероятность p(a) определяется как p(a) = ∆t/T. Эту величину можно рассматривать как вероятность того, что при наблюдении в некоторый произвольный момент времени мы обнаружим систему в состоянии a. Пусть мы проводили наблюдения M раз, и пусть в n(a) случаях система оказалась в состоянии a, тогда p(a) = n(a)/M.

2.Теория вероятности в биологии. В биологии есть раздел, для усвоения которого приходится пользоваться теорией вероятностей. Это - генетика.

Экспериментальные исследования, проведенные австрийским монахом Г. Менделем, позволили обнаружить ряд характерных закономерностей при скрещивании различных сортов гороха. Эти закономерности объясняются посредством применения теорем теории вероятностей. Важность закономер­ностей заключается в том, что они лежат в основе теории наследственности. Схема применения теории вероятности в генетике зависит от специальных носителей, называемых генами. Все клетки тела живого организма, кроме половых клеток, несут один и тот же набор генов, которые представляют собой участки хромосом, входящие в обычные клетки попарно, и, соответственно, гены входят попарно, располагаясь в со­ответствующих хромосомах. В простейших случаях каждый ген отдельной пары может находиться в одной из двух форм - аллелей, обозначаемых ин­дексами А и а. Соответственно, организм может иметь (по отношению к дан­ному гену) три так называемых генотипа: АА, Аа и аа. Первый и третий на­зываются гомозиготными, второй - гетерозиготным.

Предположим, что мы засеем поле горохом. Окра­ска цветов гороха определяется одним геном, имеющим две формы А и а. Горох генотипа АА имеет красную окраску цветов, генотип аа определяет белую окраску, генотип Аа - розовую. Положим, поле засеяно смесью гороха, имеющего окраску цветов красного, розового и белого цвета, встречающихся с частотами V0 2V1 V2, которые мы будем отождествлять с вероятностями P0 2P1 P2 ввиду большого числа засеваемых горошин. Мы получаем формулу всех вероятностей: P0 + 2P1 + P2 = 1.

 

АА

Аа

аа

АА

P02

2P0 P1

P0 P2

Аа

  

4P1

2P1 P2

аа

    

P22

3.Вероятность в метеорологии. Еще в начале ХХ в. английский ученый Льюис Фрай Ричардсон предположил, что с помощью систем дифференциальных уравнений гидродинамики можно рассчитать поведение воздушных масс. Однако, по его оценкам, для того чтобы успеть провести необходимые вычисления вовремя, понадобилось бы несколько тысяч человек – в то время все расчеты выполнялись с помощью механических калькуляторов, либо вообще вручную. В последние годы гидрометеорологическая наука достигла больших успехов в способности предсказывать опасные природные явления. Например, по региональным моделям, разработанным в Росгидромете, можно прогнозировать атмосферные фронты и циклоны, ливни, град, снегопад, сильные ветры и прочие неприятные события в масштабах от минут до суток и с разрешением в несколько километров.

Чтобы предсказать погоду, нужно знать «текущие условия» — то есть то, какая она сейчас. К основным параметрам относятся: температура, атмосферное давление, влажность, скорость и направление ветра, осадки и их количество.

4.Вероятность в моей жизни. В реальной жизни я постоянно сталкиваюсь с вероятностными ситуациями.

    1. Экзамены и тесты. Оценивая свои знания, я интуитивно рассчитываю вероятность получить ту или иную оценку.

    2. Выбор профессии. Поступление в вуз, успешность будущей карьеры — всё это связано с анализом шансов и рисков.

    3. Повседневные решения. Даже простой выбор: «Успею ли я на автобус?» или «Стоит ли готовиться к контрольной или повезёт?» — это работа с вероятностью.

Заключение:

Выяснили какова роль вероятности в жизни человека. Поняли, что такое вероятность. Определили, как можно использовать вероятность в повседневной жизни. Научились решать задачи по основным формулам.

В ходе проекта поняли, что вероятность – это и есть наша жизнь.

Список использованной литературы:

  1. https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=185

  2. https://www.banki.ru/wikibank/teoriya_veroyatnosti/#:~:text=Вероятность%20—%20это%20в%20математике,того%2C%20что%20произойдет%20нужный%20результат

  3. https://znanierussia.ru/articles/Вероятность#Виды_вычислений_вероятности

  4. https://infourok.ru/proektnaya-rabota-po-veroyatnosti-i-statistike-teoriya-veroyatnosti-v-nashej-zhizni-7500116.html

  5. https://math.hse.ru/data/2012/04/05/1251262724/statphys1.pdf

  6. https://studfile.net/preview/11955894/page:46/

  7. https://trends.rbc.ru/trends/innovation/62fbb00c9a79476b8c626b15

  8. https://www.nkj.ru/news/20087/

Приложение:

Блез Паскаль

https://avatars.mds.yandex.net/get-entity_search/5395055/1238053566/S600xU_2x

Кубики

https://avatars.mds.yandex.net/i?id=39c1df67fa75b96939ce21b22c607644_l-5161119-images-thumbs&ref=rim&n=13&w=720&h=720

Монетка

https://avatars.mds.yandex.net/i?id=62a37f028df2e1fbaf6be238c2cdb9536a9b448b-9197384-images-thumbs&n=13

Дизъюнкция

https://www.oreilly.com/api/v2/epubs/urn:orm:book:9781788623872/files/assets/66b29e51-953d-45ad-bace-85cb21a1f7b1.png

Конъюнкция

https://avatars.mds.yandex.net/i?id=ecc87ef60ea9de2ef80f56d45ccc9db9556884f0-5283550-images-thumbs&n=13

Монеты

https://img.freepik.com/free-psd/money-illustration-isolated_23-2151568522.jpg?semt=ais_hybrid&w=740&q=80

Планета

https://img.freepik.com/premium-vector/illustration-planet-earth-world-environment-day_1227764-47.jpg?semt=ais_hybrid&w=740&q=80

Применение вероятности

https://fsd.multiurok.ru/html/2017/01/02/s_586a2aba7dcb0/img3.jpg

Погода

https://img.freepik.com/premium-vector/sunny-weather-cloudy-rain-thunderstorm-snow-clear-night_1129760-1754.jpg?semt=ais_hybrid&w=740

Человек

https://avatars.mds.yandex.net/i?id=daa32bcfa532516adc28b205858aa624_l-8145720-images-thumbs&n=13

Сборник задач

по вероятности.

М. В. Андреева.

Сборник задач

по вероятности.

Энгельс

2026 год

Содержание:

  1. Классическое определение вероятности. (стр. 3)

  2. Случайное событие. (стр. 5)

  3. Испытания до первого успеха. (стр. 6)

  4. Серия независимых испытаний Бернулли. (стр.7)

  5. Решения и ответы. (стр. 9)

  6. Список используемой литературы. (стр.17)

Классическое определение вероятности.

Задача 1.

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Задача 2.

При производстве в среднем на каждые 2982 исправных насоса приходится 18 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.

Задача 3.

На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

Задача 4.

В кармане у Миши было четыре конфеты -«Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».

Задача 5.

На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Задача 6.

Для подтверждения скидки магазин отправляет покупателю на телефон сообщение с трёхзначным кодом, ровно две из цифр которого совпадают. У Пети разряжен телефон. Какова вероятность того, что он случайно угадает код? Ответ округлите до тысячных.

Задача 7.

Термометр измеряет температуру в помещении. Вероятность того, что температура окажется выше +18 °C, равна 0,82. Вероятность того, что температура окажется ниже +21 °C, равна 0,65. Найдите вероятность того, что температура в помещении окажется в промежутке от +18 °C до +21 °C.

Задача 8.

Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».

Задача 9.

Игральный кубик подбросили два раза. Известно, что три очка не выпало ни разу. Какова вероятность, что выпало два чётных числа?

Задача 10.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Случайное событие.

Задача 11.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая - 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая - 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Задача 12.

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Задача 13.

В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится чай, равна 0,2. Вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.

Задача 14.

Биатлонист 6 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последние два промахнулся.

Задача 15.

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,06 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Испытания до первого успеха.

Задача 16.

Монету бросают до первого выпадения «орла». Вероятность выпадения орла в одном броске равна 0,5.Какова вероятность, что первый орёл появится на третьем броске.

Задача 17.

Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,6 при каждом выстреле. Он стреляет до первого попадания. Найти вероятность того, что потребуется не более 3 выстрелов.

Задача 18.

Друзья играют в игру. Они бросают кубик до первого выпадения шестёрки. Найти вероятность того, что шестёрка выпадет на пятом броске.

Задача 19.

Друзья играют в игру. Они бросают кубик до первого выпадения шестёрки. Найти вероятность того, что потребуется более 2 бросков.

Задача 20.

В лотерее вероятность выиграть главный приз в одном билете составляет 0,02. Человек покупает билеты до первого выигрыша. Найдите вероятность того, что он выиграет на десятом билете.

Серия независимых испытаний Бернулли.

Задача 21

Пусть проводится n  6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна 0,1. Найти вероятность того, что в данной серии испытаний событие A появится m  3 раза.

Задача 22.

Статистика аудиторских проверок компании утверждает, что вероятность обнаружения ошибки в каждом проверяемом документе равна 0,2. Какова вероятность, что из десяти проверяемых документов девять из них не будет содержать ошибки?

Задача 23.

По данным технического контроля 2% изготовленных станков нуждаются в дополнительной регулировке. Найти вероятность того, что из 6 изготовленных станков 4 нуждаются в дополнительной регулировке.

Задача 24.

В каждой из восьми урн имеется 10 белых и 5 черных шаров. Из каждой урны извлекли по одному шару. Что вероятнее: появление двух черных и шести белых или трех черных и пяти белых шаров?

Задача 25.

В магазине 6 покупателей. Каждый может совершить покупку с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что не более двух человек совершат покупку.

Решения и ответы.

Задача 1.

Найдем сколько насосов не подтекает. 1400 – 7 = 1393. Тогда вероятность того, что попадётся насос, который не подтекает равна P = 1393/1400 = 0,995.

Ответ: 0,995

Задача 2.

Найдём сколько всего насосов 2982 + 18 =3000. Найдём вероятность неисправных насосов P = 18/3000 = 0,006.

Ответ: 0,006

Задача 3.

Найдём сколько вопросов выучил Андрей 60 – 3 = 57.

Тогда вероятность того, что ему попадется выученный вопрос равна P = 57/60 = 0,95.

Ответ: 0,95

Задача 4.

В кармане было 4 конфеты, а выпала одна конфета. Поэтому вероятность этого события равна одной четвертой.

Ответ: 0,25

Задача 5.

Вероятность того, что Юля выберет пирожок с вишней равна P = 4/16 = 0,25.

Ответ: 0,25

Задача 6.

Найдем общее количество трехзначных кодов. Одинаковые цифры можно выбрать десятью способами, третью цифру, отличную от них, можно выбрать девятью способами. Всего 90 вариантов наборов цифр. Для любого набора третья цифра может стоять на первом, втором или третьем месте, поэтому всевозможных кодов 90 · 3 = 270. Следовательно, искомая вероятность угадать один из них равна

P = 1/270 = 0,0037037

Ответ: 0,004

Задача 7.

Вероятность того, что температура окажется ниже +18 °C равна 1 − 0,82 = 0,18. Вероятность того, что температура окажется выше +21 °C, равна 1 − 0,65 = 0,35. Если температура не ниже +18 °C и не выше +21 °C, ее значение находится в промежутке от +18 °C до +21 °C. Вероятность этого события равна 1 − 0,18 − 0,35 = 0,47.

Ответ: 0,47

Задача 8.

Условию, что при двукратном броске игральной кости три очка не выпали ни разу, соответствует 25 исходов Событию «сумма выпавших очков равна 8» соответствуют 3 из них. Значит, искомая вероятность равна P = 3/25 = 0,12

Ответ: 0,12

Задача 9.

Условию, что при двукратном броске игральной кости три очка не выпали ни разу, соответствует 25 исходов Событию «выпало два чётных числа» соответствуют 9 из них. Значит, искомая вероятность равна

P = 9/25 = 0,36.

Ответ: 0,36

Задача 10.

Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций три  — 110, 101, 011, а всего комбинаций 23  =  8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Таким образом, искомая вероятность равна P = 3/8 = 0,375.

Ответ: 0,375

Задача 11.

Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.

Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Ответ: 0,019

Задача 12.

Возможности выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156.

Задача 13.

Вероятность того, что чай останется в первом автомате, равна 1 − 0,2  =  0,8. Вероятность того, что чай останется во втором автомате, равна 1 − 0,2  =  0,8. Вероятность того, что чай останется хотя бы в одном автомате, равна 1 − 0,15  =  0,85. Поскольку P(A + B)  =  P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,85  =  0,8 + 0,8 − х, откуда искомая вероятность х  =  0,75.

Ответ: 0,75

Задача 14.

Найдем вероятность, если биатлонист промахнётся

1-0,7 = 0,3. Тогда искомая вероятность равна

P = 0,7*0,7*0,7*0,7*0,3*0,3 = 0,021609.

Ответ: 0,02

Задача 15.

Найдём вероятность того, что оба автомата не исправны 0,06*0,06 = 0,0036. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное событию, что оба неисправны. Тогда вероятность равна P = 1 – 0,0036 =0,9964

Ответ: 0,9964.

Задача 16.

Найдем вероятность выпадения решки 1 - 0,5 = 0,5. Теперь мы можем найти вероятность выпадения орла на 3 броске P = 0,5*0,5*0,5 = 0,125

Ответ: 0,125.

Задача 17.

Потребуется не более 3 выстрелов. Это означает, что первое попадание произойдёт на первом, втором или третьим выстреле. Тогда вероятность равна P = 0,6 +0,6*0,4+0,4*0,4*0,6 = 0,936.

Ответ: 0,936

Задача 18.

Вероятность успеха равна 1/6, а вероятность неудачи равна 5/6. Тогда можем найти вероятность 5/64 * 1/6 = 625/7776 =0,08.

Ответ: 0,08

Задача 19.

Вероятность того, что понадобится более 2 бросков равна P = 5/6*5/6 = 25/36 = 0,694.

Ответ: 0,694

Задача 20.

Вероятность того, что он выиграет на десятом билете равна P = 0,02 * 0,989 = 0,016674.

Ответ: 0,017

Задача 21.

n  6 – всего испытаний; m  3 – ожидаемое количество появлений события A в шести испытаниях; p  0,1 – вероятность появления события A в каждом испытании; q  1 p  1 0,1  0,9 – вероятность того, что событие A не появится в каждом испытании. Тогда P = C63 *p3 * q3 = (6! / 3!3!) * 0,13 * 0,93 = 0,01458.

Ответ: 0,01458

Задача 22.

В данном случае: n 10 – всего проверяемых документов; m  9 –количество документов, в которых нет ошибки; p  0,8 – вероятность того, что документ не содержит ошибки; q  0,2 – вероятность того, что ошибка есть. P = (10! / 9!1!) * 0,89 * 0,2 = 0,268435456.

Ответ: 0,27

Задача 23.

P = 15 * 0,024 * 0,982 = 0,000002.

Ответ: 0,000002

Задача 24.

Из условия находим: 10 + 5 = 15 шаров в каждой урне.

P = 1/3 q = 2/3

Найдём вероятность того, что будут извлечены 2 черных и 6 белых шаров. P = 28 * (1/3)2 * (2/3)6 = 0,2731.

Найдём вероятность того, что будут извлечены 3 черных и 5 белых шаров. P = 56 * (1/3)3 * (2/3)5 = 0,2731

Ответ: данные события равновероятны.

Задача 25.

n  6 – всего человек в магазине; m  0;1; 2 – искомое количество человек, которые совершат покупку; p  0,4 – вероятность того, что покупатель совершит покупку (для каждого человека); q = 1 0,4  0,6 – вероятность того, что покупатель не совершит покупки (для каждого человека). Мы должны найти каждую вероятность и сложить между собой.

P0 = 1 * 0.40 * 0,66 = 0,046656.

P1 =6 * 0.41 * 0,65 = 0,186624.

P2 =15 * 0.42 * 0,64 = 0,31104.

P = 0,54432.

Ответ: 0,54432

Список использованной литературы:

  1. https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=166&sort=hard

  2. https://mathb-ege.sdamgia.ru/search?search=Тео%C2%ADре%C2%ADмы+о+ве%C2%ADро%C2%ADят%C2%ADно%C2%ADстях+со%C2%ADбы%C2%ADтий&cb=1&keywords=10

  3. https://multiurok.ru/files/podborka-zadach-na-nakhozhdenie-veroiatnosti-v-isp.html

  4. https://mathprofi.ru/files/gotovye_zadachi_na_formulu_bernulli.pdf

Просмотров работы: 9