XXVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
«Золотое сечение» в математике
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Нас окружает структурная гармония природных и искусственных систем, многие даже не задумываются, что в основе построения, лежит сочетание симметрии и «Золотого сечения», способствующих наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты, с которым мы встречаемся ежедневно.
Принято считать, что понятие о «Золотом делении» ввёл в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян.
Лука Пачоли (францисканский монах и математик, XV в.) ввёл название «Золотая пропорция» и «Божественная пропорция» для золотого сечения. Он написал трактат «О божественной пропорции», в котором изложил свойства золотого сечения и его применение в архитектуре и изобразительном искусстве.
Леонардо да Винчи применял пропорции золотого сечения в своём творчестве.
Иоганн Кеплер (1571–1630) назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. «В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем» - эти его слова являются эпиграфом практически ко всем трудам, посвящённым «Золотому сечению».
Мы видим, что уже с древних времен ученых волновал вопрос подчиняется ли гармония окружающего мира математическим расчётам и поэтому мы решили изучить понятие «Золотое сечение».
Проблема исследования
Мало кто задумывается, что с «Золотой пропорцией» мы встречаемся ежедневно. Знание построения «Золотого сечения» и его практическое применение открывают безграничные возможности и перспективы в различных сферах жизнедеятельности, а также поможет углубить знания и математическую грамотность учащихся.
Актуальность исследования
«Золотое сечение» широко используется в различных областях жизни.
«Золотое сечение» помогает создавать гармоничные пропорции в формах зданий, фасадах и интерьерах, веб-дизайнах, используется для создания гармоничных композиций в различных сферах искусства. Широко представлено в живой природе, в пропорциях живых организмов, а также широкое применение «Золотое сечение» нашло в естественных науках: математике, физике, химии.
Цель исследовательской работы
Исследовать присутствие «Золотого сечения» в математике.
Продемонстрировать разнообразие применения «Золотого сечения» в разрезе математики и в реальной жизни.
Показать теоретическое и практическое значение золотого сечения, а также применения полученных знаний в различных сферах жизни.
Задачи исследования
1. Изучить понятие «Золотое сечение в математике».
2. Рассмотреть применение «Золотого сечения» в математике.
3. Продемонстрировать разнообразное применение «Золотого сечения» в жизни.
4. Формирование математической грамотности учащихся, углубление знаний в данной области.
5. Воспитание творческого отношения к учебной деятельности математического характера.
6. Разработать авторские задачи по теме: «Золотое сечение в математике» с последующим созданием буклета-памятки.
7. Провести теоретические и практические уроки математики по теме: «Золотое сечение в математике» в параллели 6-8 классов.
Что-же касается степени изученности данного вопроса, то она на наш взгляд принцип «Золотое сечение» широко применялся в древности, для создания гармоничных пропорций, но стечение времени перестал использоваться.
Мы считаем, что данная тема должна быть изучена в школе намного глубже. По сравнению с другими исследователями, которые посвящают свои работы разным аспектам «Золотого сечения»: математике, искусству или природе, мы творчески синтезировали математику, образование и искусство.
Основная часть
Теоретическая часть
«Золотое сечение» - такое пропорциональное гармоническое деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Если на прямой произвольной длины отложить отрезок m, рядом отрезок M. На основание этих двух отрезков можно построить шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов.
Деление отрезка прямой, при помощи циркуля и линейки
Отрезок прямой АВ делим пополам. Из точки В строим перпендикуляр, равный 1/2 отрезка АВ и отмечаем точку С. Точку С соединяем с точкой А. Из точки С на линии АС при помощи циркуля откладываем отрезок равный ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносим на прямую АВ, полученная при этом точка E делит отрезок АВ на отрезки AE и EB.
Если величину АВ принять за единицу, то отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE=0,618..., ВЕ=0,382... Для практических целей часто используют приближённые значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.
Последовательность Фибоначчи
Итальянский математик монах Леонардо из Пизы, более известный под именем Фибоначчи (сын Боначчи), в 1202 г. опубликовал математический труд «Книга об абаке» (счётной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. При рассмотрении задачи «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится» Фибоначчи выстроил следующий ряд цифр: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и т.д. Этот ряд (последовательность) называется ряд (последовательность) Фибоначчи. Сами числа называются «числами Фибоначчи». Особенность последовательности Фибоначчи состоит в том, что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.
Данная последовательность асимптотически стремится к некоторому постоянному соотношению. Это соотношение иррационально, представляет собой число (обозначается Ф) с бесконечной последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Асимптотическое поведение последовательности, затухающие колебания её соотношения около иррационального числа Ф видно из отношения нескольких первых членов последовательности. Например, отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвёртого к третьему, и так далее:
1:1 = 1.0000, что меньше Ф на 0.6180
2:1 = 2.0000, что больше Ф на 0.3820
3:2 = 1.5000, что меньше Ф на 0.1180
5:3 = 1.6667, что больше Ф на 0.0486
8:5 = 1.6000, что меньше Ф на 0.0180
Каждый новый член будет делить следующий со всё большим и большим приближением к недостижимому Ф. Так, 34:21 = 1,619, а 55:34 = 1,617. Отношение смежных чисел как предыдущего к последующему этой последовательности приближается к коэффициенту золотого сечения φ.
Математическое деление отрезка в «Золотой пропорции»
откуда
С точки зрения математики золотое сечение — это иррациональное число, которое обозначается греческой буквой φ («фи») и равно 0,618.
Обратное число обозначается буквой Φ
Для меньшей части отрезка a-x имеется соотношение
где
Разделим величину большей части х = аφ также в золотой пропорции, получим
Откуда следует, что
Причём
Отсюда делаем вывод, что большая часть второй золотой пропорции совпадает с меньшей частью первой
Таким образом, при последующем последовательном делении целого a в золотой пропорции имеет место геометрическая прогрессия (ряд золотого сечения)
«Золотой треугольник»
Это равнобедренный треугольник, отношение основание которого к боковой стороне равно φ. Треугольник с боковой стороной Ф и основанием 1 называется золотым.
В треугольнике АВС на стороне ВС выбираем точку D так, чтобы AD = 1, для этого построения находим при помощи циркуля, окружность с центром в точке А и радиусом AC.
Откуда следует, что DC=