XXIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Программирование фракталов в среде КуМир: от алгоритма к визуализации

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Коваленко А.В. 1

---

1ГБОУ "СПЕЦИАЛИЗИРОВАННАЯ ШКОЛА № 35 Г.О. ДОНЕЦК"

Кузнецова И.В. 1

---

1ГБОУ "СПЕЦИАЛИЗИРОВАННАЯ ШКОЛА № 35 Г.О. ДОНЕЦК"

Работа в формате PDF

1.2 MB

Введение

Актуальность: В наш информационный век профессия программиста является не только популярной, но и очень востребованной. Мы, как и многие современные школьники, тоже мечтаем быть программистами. Работа любого программиста начинается с написания первой простейшей программы. Но так ли проста работа программиста, легко ли писать программы? Попробуем в этом разобраться.

Первая система программирования, с которой мы познакомились, называется Кумир. С помощью исполнителя Черепаха мы научились создавать простые изображения.

Целью работы является изучение возможностей системы КуМир и создание в ней графических изображений при помощи исполнителя Черепаха.

Для достижения цели работы были поставлены и решались следующие задачи:

• Изучить систему команд исполнителя Черепаха в среде Кумир;

• Рассмотреть разные типы алгоритмов (линейный, ветвление, циклический);

• Решить графические задачи в системе программирования Кумир.

Объект исследования: система КуМир.

Предмет исследования: описание и создание фрактальной графики при помощи исполнителя Черепаха в среде КуМир.

Гипотеза исследования: сложные фрактальные графические изображения можно выполнить средствами программирования.

Практическое значение исследования: процесс исследования системы КуМир для создания фрактальных графических изображений, реализация и тестирование программы.

Методы исследования: изучение теории по выбранной теме, анализ литературы, практическое применение знаний при решении графических задач. 

Раздел 1. Теоретическая часть

1. 1. КуМир и его исполнители

В наше время выполнение самых разных дел и операций люди стараются переложить на роботов и другие компьютерные устройства. Поэтому каждому человеку для успешной жизни в современном мире надо овладеть умениями планирования дея­тельности, умениями разработки программ-планов для управле­ния исполнителями.

История применения алгоритмических языков в школе начинается с 1985 года. В этом году было принято решение ввести курс информатики во все общеобразовательные школы. Алгоритмический язык с русским синтаксисом был введен в употребление академиком Андреем Петровичем Ершовым. Разработка первого русского алгоритмического языка дала начало появлению редактора-компилятора «Е-практикум» в 1985 г., системе программирования КуМир (Комплект учебных миров) в 1990 г. [7]

КуМир является учебной системой, в которой используется алгоритмический язык с русской лексикой и встроенными графическими исполнителями: Водолей, Кузнечик, Чертежник, Робот, Черепаха, действия которых визуализируются в среде исполнителя.

Основными достоинствами КуМира стало то, что все команды прописываются на русском языке, присутствует диагностика ошибок, в наличии бесплатное и лицензионное ПО, удобное предоставление отладочной информации, имеется возможность построения заготовок задач и создания шаблонов программ. К недостаткам системы можно отнести низкую скорость выполнения команд, отсутствие классической графики.

Система КуМир позволяет создавать, отлаживать и выполнять программы. Во время редактирования программы система КуМир автоматически производит синтаксический разбор и сообщает о найденных ошибках.

1. 2. Структура программы и типы алгоритмов

Структура программа на КуМире выглядит так:

алг

нач

.

кон

При написании программы автоматически создаются отступы вначале строки, это делает программу более наглядной, удалять или пытаться сделать отступ самим не надо.

Линейный алгоритм – это алгоритм, в котором команды выполняются в порядке их записи, т.е. последовательно друг за другом.

Алгоритм с ветвлениями или разветвляющийся алгоритм – форма организации действий, при которой в зависимости от выполнения некоторого условия совершается одна или другая последовательность шагов.

Алгоритм с повторением или цикл – форма организации действий, при которой выполнение одной и той же последовательности команд повторяется, пока выполняется некоторое заранее установленное условие [2].

1.3. Исполнитель Черепаха

Целью работы стало изучение исполнителя Черепаха для реализации графических алгоритмов. Черепаха живёт на поле, по которому может перемещаться и рисовать кончиком хвоста. Черепаха может перемещаться вперёд или назад на указанное ко­личество пикселей. Поворот Черепахи происходит относительно кончика хвоста либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки на указанное количест­во градусов.

Поскольку в КуМир есть пять различных исполнителей, перед текстом программы необходимо указать, что мы будем работать с исполнителем Черепаха, строка использовать Черепаха.

Вывести на экран окно Черепахи можно командой меню Окна → Черепаха. Масштаб просмотра можно менять колёсиком мыши. В исходном положении Черепаха находится в центре поля, смотрит вверх, хвост поднят.

Управлять черепахой можно с помощью ряда команд:

опустить хвост – Черепаха будет оставлять след в виде линии;

поднять хвост – Черепаха не будет оставлять след в виде линии;

вперед(а) – передвигает Черепаху по направлению ее головы на а точек;

назад(а) – передвигает Черепаху по направлению ее хвоста на а точек;

вправо(х) – поворачивает Черепаху по часовой стрелке на х градусов;

влево(х) – поворачивает Черепаху против часовой стрелки на х градусов.

Рассмотрев теоретический материал, можно прийти к выводу, что в алгоритмическом языке, используемом в КуМире, используется русская лексика и понятная структура. Это дает возможность ученику, ранее не занимавшемуся программированием, писать несложные, но интересные программы буквально через пару уроков. Но это не отменяет того, что Кумир позволяет создавать довольно сложные программы [1].

1.4. Использование процедур и подпрограмм при работе с исполнителем «Черепаха» в среде «КуМир»

В среде программирования КуМир работа с графикой строится на основе исполнителя Черепаха. Чтобы создавать сложные и красивые изображения, особенно такие как фракталы, невозможно обойтись без использования процедур (или подпрограмм).

Процедура – это именованный блок кода, который можно вызывать из любого места основной программы по его имени.

Основная цель использования процедур в графике – структурирование кода и устранение повторений. Если вам нужно нарисовать элемент, который повторяется в рисунке (например, ветку дерева, луч звезды или одну грань снежинки), вам не нужно каждый раз писать одни и те же команды. Вы пишете их один раз в процедуре, а затем просто вызываете её.

Основные преимущества для исследовательского проекта:

• Читаемость: Программа перестает быть сплошным набором команд и превращается в логическую последовательность действий.

• Рекурсия: Процедуры могут вызывать сами себя. Это ключевой механизм для построения фракталов. Фрактал – это фигура, части которой подобны целому. В коде это выражается так: процедура рисует часть фигуры, а затем вызывает саму себя, чтобы нарисовать еще более мелкие части.

• Параметры: Процедуры могут принимать параметры (аргументы). Это позволяет управлять их поведением. Например, процедура Ветка(Длина, Угол) может рисовать ветку любой заданной длины и под любым углом, что делает код гибким.

Использование процедур и подпрограмм является фундаментом для создания сложных графических работ в КуМир. Они позволяют применять принципы декомпозиции (разделения большой задачи на маленькие) и рекурсии, что особенно важно при моделировании фрактальных структур. Без процедур написание кода для фракталов было бы крайне громоздким и практически невозможным [2].

1.5. Фракталы: от математической идеи до красоты природных форм

Фракталы – это удивительные геометрические объекты, которые обладают свойством самоподобия: их части по форме повторяют целое, независимо от масштаба. В отличие от классических фигур, фракталы часто имеют дробную размерность и бесконечно сложную структуру. Сегодня фракталы находят применение не только в математике, но и в компьютерной графике, физике, биологии и даже искусстве.

Термин «фрактал» ввёл французский и американский математик Бенуа Мандельброт в 1975 году. Именно он впервые систематизировал идеи о самоподобных структурах и показал, что с их помощью можно описывать сложные формы, которые раньше считались «нематематическими». Однако отдельные фрактальные объекты были известны математикам и до Мандельброта (например, кривая Коха), но именно он объединил их в новую теорию и сделал популярной. Понятие фрактальной размерности и самоподобия было детально описано Б. Мандельбротом. [4]

Фракталы — это не только абстрактные математические объекты, но и основа многих природных форм. Их красота заключается в самоподобии: ветка дерева повторяет форму всего дерева, а очертания береговой линии похожи на любом масштабе. Фрактальные структуры можно увидеть в форме снежинок, соцветиях капусты, молниях, речных дельтах и даже в строении кровеносных сосудов. Благодаря фракталам сложные природные объекты можно описать простыми математическими правилами, что делает их не только красивыми, но и удивительно логичными.

1.6. Обзор известных геометрических фракталов

Процесс построения кривой Коха:  взять единичный отрезок, разделить отрезок на три равные части, заменить средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента, в результате образуется ломаная из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторить операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и так далее. Предельная кривая – и есть кривая Коха. Алгоритмическая красота и геометрические свойства подобных структур хорошо проиллюстрированы в монографии Пайтгена и Рихтера [5].

Рис. 1. Построение Кривой Коха при разных параметрах

Снежинка Коха представляет собой замкнутую кривую, образованную путем итеративного применения алгоритма Коха к сторонам правильного треугольника. Геометрическая форма обладает бесконечной длиной периметра и сложной структурой, имитирующей очертания кристаллов льда.

Рис. 2. Сравнение Снежинки Коха и кристалла льда

«Ледяной квадратный» фрактал строится по тому же принципу, что и кривая Коха, но вместо треугольника в качестве основы используется квадрат. На каждой стороне квадрата появляется характерный «зубец» с прямым углом, из-за чего фигура напоминает кристалл льда или зубчатое колесо.

После применения различных вариаций циклического алгоритма получились крест и ледяная снежинка, составленные из четырех кривых.

Рис. 3. Сравнение Ледяного квадратного фрактала с реальными объектами

Одним из практических применений теории фракталов является моделирование ботанических объектов, в частности, генерация фрактальных деревьев. В рамках исследования был разработан рекурсивный алгоритм Дерево. Алгоритм оперирует двумя ключевыми параметрами: начальной длиной ствола и глубиной рекурсии (количеством развилок). Геометрия модели предполагает, что на каждом шаге ветвления основная ветка разделяется на две дочерние, длина которых составляет фиксированную долю (в данном случае, 1/1.5) от длины родительской ветви. Математические основы для моделирования таких объектов, как фрактальные деревья, подробно изложены в работе Е. Федера [6]

Изменив в алгоритме правило ветвления так, чтобы из одной точки росло множество тонких веточек, можно получить фрактальное изображение, которое по своей форме напоминает зонтик укропа или борщевика.

Рис. 4. Фрактальное и реальное дерево

Алгоритм построения треугольника Серпинского основан на принципе итеративного удаления центральных частей. На первом шаге исходный треугольник делится на четыре равных треугольника, и центральный из них удаляется. На каждом последующем этапе эта операция рекурсивно применяется ко всем вновь образовавшимся треугольникам. В результате получается фигура, обладающая свойством полного самоподобия: любой из оставшихся треугольников является точной, уменьшенной копией всей фигуры.

Ниже приведены результаты построения Треугольника Серпинского.

Рис. 5. Треугольник Серпинского

При создании Великого Египетского музея в Гизе, который начал принимать посетителей в 2015 году, архитекторы обратились к фракталам. Элементы треугольника Серпинского были интегрированы в фасад здания и использованы при организации внутреннего пространства.

Рис. 6. Треугольник Серпинского на фасаде Великого Египетского музея

Раздел 2. Практическая часть

2.1. Черепаха рисует кривую и снежинку Коха

Рассмотрим еще в качестве примера кри­вую Коха. Алгоритм заменяет каждый прямой отрезок на ломаную линию с изломом, повторяя этот процесс для каждого нового сегмента до тех пор, пока не будет достигнута заданная глубина рекурсии. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается фрактальная кривая.