XXIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Исследование алгоритма принятия оптимального решения на основе критериев многофакторного анализа размытых множеств в системах с искусственным интеллектом
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Современные прикладные задачи требуют обработки больших массивов данных. Особую сложность представляет собой моделирование субъективных оценок и качественных характеристик. В условиях возрастающей сложности современных цифровых систем, а также процессов, сопровождающейся большой степенью неопределенности, применение классических методов, основанных на точных числовых значениях и логических правилах, является неэффективным. При решении комплексных задач возникает необходимость в многофакторном анализе, который, в свою очередь, учитывал бы структуру взаимодействия отдельных параметров, а также их нечеткую природу.
Проблема выбора альтернатив заключается в том, что каждая альтернатива имеет собственное превосходство в каком-то критерии, в отличие от другой альтернативы и так как их очень много, формируется многофакторная задача выбора альтернатив. Сложность этой задачи состоит в том, что у одной альтернативы может быть не один параметр, а десятки. И эти параметры у каждой альтернативы почти уникальны. Поэтому при выборе одной альтернативы возникает сложность в том, что каждый выделяет свои главные параметры и нельзя однозначно прийти к одному решению.
Цель работы: провести анализ алгоритмов принятия оптимального решения на основе различных критериев многофакторного анализа размытых множеств.
Основная часть:
Размытое множество – понятие, введенное Лотфи Заде в 1965 году. Оно расширило классическое понятие “множества” тем, что степень принадлежности множества могла принимать любое значения в интервале [0; 1]. Это позволило бы выразить частичную принадлежность объекта к нечеткому множеству [2].
, (1)
где:
A – нечеткое множество;
X– универсальное множество, представленное элементами x;
µA(x) – функция принадлежности;
x– элемент, принадлежащий множеству A.
Размытие, как математическая модель неопределенности позволяет формализовать и сохранять смысл качественных и частично определенных оценок. В отличие от однофакторных моделей, многофакторный анализ позволяет учитывать одновременное влияние нескольких параметров, а также их взаимосвязь и различную степень значимости. Это делает данный подход особенно востребованным в задачах искусственного интеллекта, в котором решения формируются на основе комплексной оценки большого числа признаков и факторов.
Рисунок 1 – График зависимости классического (четкого) множества Aи нечеткого множества Ã от функции принадлежности µ(x)
В сфере искусственного интеллекта (ИИ) методы многофакторного анализа размытых множеств используются в интеллектуальных системах поддержки принятия решений. При выборе наиболее оптимального решения такие системы могут учитывать такие факторы, как стоимость или степень риска. Такие методы позволяют объединить данные в одно целое и построить наиболее эффективную стратегию.
Критерий - это признак или правило, на основании которого производится оценка, сравнение альтернатив и выбор наилучшей из них [4]. Для выбора критерия, необходимо провести краткий обзор существующих критериев.
Критерий Байеса
Критерий максимума математического ожидания (критерий Байеса) – статистическая оценка, минимизирующая апостериорное математическое ожидание функции потерь. Она максимизирует апостериорное математическое ожидание функции полезности [2].
Байесовская вероятность — это интерпретация понятия вероятности, используемое в байесовской теории. Вероятность определяется как степень уверенности в истинности суждения [1].
P(A|B) = P(A|B) * P(A) / P(B) (2)
P(A) - априорная вероятность гипотезы A (заранее известная вероятность);
P(A|B) - вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);
P(B|A) - вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;
P(B) - полная вероятность наступления события B;
P(А|В) - вероятность наступления события А при истинности гипотезы В.
Достоинства данного критерия:
1. Простота использования в реальной жизни;
2. Классификация, в том числе многоклассовая, выполняется легко и
быстро;
3. Для использования метода, достаточно знание априорной информации.
Недостатки данного метода:
1. Значительные временные затраты при проведении вычислений, в
особенности при больших количествах переменных в моделях.
Критерий Вальда (максиминный или минимаксный критерий) – критерий, ориентированный на гарантированный результат. По данному критерию за оптимальную стратегию выбирается та стратегия, которая в наихудших условиях дает максимальный выигрыш. В матрицу полезностей записывается дополнительный элемент. Его элементы определяются как самые плохие (наименьшие) возможные конечные экономические результаты при соответствующем решении (по строкам матрицы). Затем из всех элементов такого дополнительного столбца находится самый лучший (наибольший) [2].
Критерий Вальда (максиминный критерий) — один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Критерий крайнего пессимизма По критерию Вальда за оптимальную принимается стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш. Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные условия [1}
(3)
Критерий Вальда является самым «осторожным» и пессимистичным критерием из всех приведенных. Критерий Вальда используется для расчета минимального выигрыша. Согласно ему, оптимальной альтернативой будет та, которая обеспечивает наилучший исход среди всех возможных альтернатив при самом плохом стечении обстоятельств
Достоинства: выбор альтернативного решения по данному критерию, гарантирует выигрыш.
Недостатки: в критерии нет субъективной оценки.
Критерий Сэвиджа (минимаксного сожаления) – работает на основе матрицы стратегий. Каждая из строк соответствует выбираемым стратегиям. В ячейки записывается ожидаемый результат при каждой из стратегий. Наравне с матрицей стратегий строится матрица рисков, в ее ячейках показывается разница между максимальным результатом и результатом стратегии, выбранной лицом. Минимальное решение соответствует стратегии при наименьшем максимальном сожалении [2].
Критерий Сэвиджа — один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Условиями неопределённости считается ситуация, когда последствия принимаемых решений неизвестны, и можно лишь приблизительно их оценить. Для принятия решения используются различные критерии, задача которых — найти наилучшее решение максимизирующий возможную прибыль и минимизирующее возможный убыток [1].
(4)
Критерий Сэвиджа похож на такой же «пессимистичный и осторожный», как критерий Вальда. Но если в том рассматривается минимальный выигрыш, то в критерии Сэвиджа рассчитывается максимальная потеря при принятии неверного (неоптимального) решения. Этот критерий ориентируется не на результат, а на риск [1].
Этот критерий помогает выбрать ту альтернативу, которая минимизирует размеры максимальных потерь, что дает определенную уверенность в принятии решения. Этот критерий минимизирует возможные потери при условии, что состояние среды наихудшим образом отличается от предполагаемого.
Недостаток критерия Сэвиджа: субъективность оценки.
Достоинства: можно рассчитать максимальные убытки, что дает уверенность в безопасности решения.
Критерий Гурвица – критерий представляет собой взвешенную комбинацию из наихудшего и наилучшего исхода. Достоинством данного метода является его простота и удобство для реализации на электронных вычислительных машинах, но, тем не менее, для его использования необходимо будет вычислить определитель [2].
Критерий Лапласа – данный критерий опирается на “принцип недостаточного основания” Лапласа, согласно которому все состояния “природы” являются равновероятными [3].
Данные критерии применяются в таких областях, как инженерия и проектирование для расчета коэффициентов запаса прочности, а также в многокритериальном принятии решений и различных сферах информатики [2].
Критерий Шарпа – показатель эффективности инвестиций, вычисляющийся, как отношение средней премии за риск к среднему отклонению профиля. Он позволяет сравнивать разные активы. Как правило, используется в финансах [2].
Центральным этапом при принятии решений в условиях неопределенности на основе такого анализа является выбор оптимальной альтернативы из множества доступных. Для этого необходимо перейти от нечеткой многокритериальной оценки к четкому упорядочению альтернатив. Одним из фундаментальных и широко применяемых принципов для этого является минимаксный критерий (критерий Сэвиджа). Он предполагает, что из всех возможных вариантов “матрицы решений” выбирается та альтернатива, которая минимизирует размеры максимальных потерь по каждому из возможных решений. Стоит отметить, что при использовании этого критерия “матрица решений” преобразуется в “матрицу потерь”, в которой вместо значений эффективности подставляются размеры потерь при различных вариантах развития событий. Этот критерий отражает стратегию крайней осторожности, ориентированную на наихудший сценарий, что особенно востребовано в задачах риск-менеджмента и стратегического планирования [2].
Однако для выбора наилучшей альтернативы по параметрам, вышеперечисленные критерии применить крайне проблематично. Для дальнейшей работы с неопределенными множествами, необходимо учесть то, что они могут включать в себя как варианты принятия решений, так и параметры, не имеющие четких границ. Для анализа использования максиминного и минимаксного критериев предлагается использовать табличный процессор Excel.
В таблице 1 представлены альтернативы (Финанс, Лакер, Финтанс, Айлен, Лора, Лионна, Даркнесс, Слайкс, ТрансЛейтенг), которые занимаются поставкой оборудования для монтажа радиорелейных станций, а также их параметры (цена, время поставки, масса, объем, время монтажа, процент кредита в год). Предположим, что предприятию необходимо заключить договор с одной из альтернатив. У предприятия имеются ограничения по массе оборудования, а также к потребляемой мощности станции. Лицу, ответственному за заключение договоров необходимо подобрать наиболее выгодный вариант, учитывая ограничения.
Данная задача может быть решена при помощи минимаксного критерия оптимизации. Его смысл заключается в том, что чем меньше выбранное значение параметра из столбца альтернатив, тем лучше для лица, заключающего договор поставки [6].
Для решения поставленной задачи необходимо ввести такой термин, как “коэффициент значимости”. Данный коэффициент показывает востребованность того или иного параметра [3]. Важно отметить, что сумма коэффициентов значимости строки должна быть равна единице.
Нижеприведенный алгоритм расчета построен на методах оптимизации работ автоматизированных систем управления технологическим процессом [1]:
В таблице 1 необходимо создать дополнительную строку X, в ячейки которой вписываются наименьшие значения из каждого столбца параметров.
Построить таблицу 2, в каждую ячейку которой записать значение частного от деления выбранного минимального числа из строки X на значение параметра каждой ячейки соответствующего столбца таблицы 1.
В таблице 2 необходимо создать строку Y, в которую вписать коэффициенты значимости, значение которых определяется лицом, собирающимся заключить договор. В данном случае наиболее востребованными параметрами являются потребляемая мощность и масса, исходя из этого им присваивается наибольший коэффициент значимости равный 0.3. Немалую роль играет объем, а также цена, поэтому им необходимо присвоить значения 0.1 и 0.2 соответственно.
Таблица 1 Определение минимального значения параметра из альтернатив
Таблица 2. Результаты деления минимального значения (X) на значения ячеек столбцов.
Далее необходимо создать таблицу 3, в каждую ячейку которой нужно вписать значение соответствующей ячейки из таблицы 2, возведенное в степень соответствующего столбца коэффициента значимости, записанного в строке Y.
Таблица 3. Результаты возведения значений из таблицы 2 в степень соответствующего коэффициента значимости
Создать дополнительный столбец Z в таблице 3 и куда вписать значение произведения цифр каждой строки таблицы 2, далее вписать значения произведений в колонку Z.
Выбрать из всех значений в столбце Z максимальное. Данное значение покажет строку, соответствующую номеру наилучшей альтернативы таблицы 1. В приведенном примере наилучшей альтернативой для условий примера является “Лионна”.
Таблица 4. Результаты определения максимального значения значений из таблицы 3
В обобщенном виде можно представить аналитическое выражение данного алгоритма:
где:
i – количество строк;
j – количество столбцов;
n – целые числа
Таким образом, данный алгоритм позволяет выбирать наилучшее решение к учетом коэффициентов значимости, если значение параметров соответствует требованию «чем меньще, тем лучше».
Алгоритм расчета на основе максиминного критерия приведен ниже [1].
В таблице 5 необходимо создать дополнительную строку X, в ячейки которой вписываются наибольшие значения из каждого столбца параметров.
Построить таблицу 6, в каждую ячейку которой записать значение частного от деления значения каждой ячейки на выбранное максимальное число из строки X таблицы 5.
В таблице 6 необходимо создать строку Y, в которую вписать коэффициенты значимости, значение которых определяется лицом, собирающимся заключить договор. В данном случае наиболее востребованными параметрами являются надежность оборудования и достоверность получаемых данных. Исходя из этого им присваивается наибольший коэффициент значимости равный 0.3. Немалую роль играет производительность и рентабельность, поэтому им необходимо присвоить значения 0.1 и 0.2 соответственно.
Таблица 5. Определение максимального значения параметра из альтернатив
Далее необходимо создать таблицу 7, в каждую ячейку которой нужно вписать значение соответствующей ячейки из таблицы 2, возведенное в степень соответствующего столбца коэффициента значимости, записанного в строке Y.
Таблица 6. Результаты деления значения параметра (X) на максимальное значения ячеек столбцов
Таблица 7. Результаты возведения значений из таблицы 5 в степень соответствующего коэффициента значимости
Таблица 8. Результаты произведения значения строк из таблицы 7
Создать дополнительный столбец Z в таблице 8, куда вписать значение произведения цифр каждой строки таблицы 2, далее вписать значения произведений в колонку Z.
Выбрать из всех значений в столбце Z минимальное. Данное значение покажет строку, соответствующую номеру наилучшей альтернативы таблицы 5. В приведенном примере таблицы 9 наилучшей альтернативой для условий примера является “Айлен”.
Таблица 9. Результаты определения максимального значения значений из таблицы 8
Таким образом, данный алгоритм позволяет выбирать наилучшее решение к учетом коэффициентов значимости, если значение параметров соответствует требованию «чем больше, тем лучше».
В обобщенном виде можно представить аналитическое выражение данного алгоритма (2):
где:
i – количество строк;
j – количество столбцов;
n – целые числа
Вывод
Из анализа таблиц, в соответствии с алгоритмом минимаксного и максиминного критериев выявляется недостаток критериев. По одному алгоритму наилучшей альтернативой является Лионна, а по второму алгоритму - альтернатива Айлен.
При проектировании сложных технических объектов при наличии большого числа частных критериев довольно трудно, а зачастую и невозможно установить аналитическую взаимосвязь между критериями. Возможны случаи когда выбор нескольких критериев дает различный выбор альтернатив, представленных на примерах данного проекта. Поэтому, основываясь на идее равномерного компромисса, стараются найти такие значения переменных проектирования Х=(хь. .., xn), при которых нормированные значения всех частных критериев становятся равными между собой [4,6].
При большом числе частных критериев из-за сложных взаимосвязей иногда чрезвычайно трудно добиться выполнения соотношений. В этом случае оказывается полезным применение принципа максимина, заключающегося в такой вариации значений переменных проектирования X, при которой последовательно подтягиваются те нормированные критерии, численные значения которых в исходном решении оказались наименьшими. Вследствие того что операции производятся в области компромисса, подтягивание отстающего критерия неизбежно приводит к снижению значений части остальных критериев. Но при проведении ряда шагов можно добиться определенной степени уравнивания противоречивых (конфликтных) частных критериев, что и является целью принципа максимина [5].
Таким образом, максиминный критерий основан на наиболее пессимистической оценке возможных производственных ситуаций.
Более предпочтительным является максиминный критерий, в качестве целевой функции которого принимают выходной параметр, наиболее неблагополучный с позиций выполнения условий работоспособности.
Список использованных источников и литературы:
1. Краснов, М.Л. Вся высшая математика. Т. 5. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр: Учебник / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко [и др.]. - М.: ЛКИ, 2013. - 296 c.
-
Теория принятия решений в 2 т. Том 1 : учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры / В. Г. Халин [и др.]; под ред. В. Г. Халина. — М. : Издательство Юрайт, 2019. — 250 с. — (Серия : Бакалавр и магистр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-03486-8. — Режим доступа: www.biblioonline.ru/book/CFB94A5D-B9D2-4477-8E93-3D84E4ABD3D2.
-
Управляющие вычислительные комплексы: Учебное пособие/ Под ред. Н.Л.Прохорова. 3-е изд. перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 352с.: ил.
-
https://ru.wikipedia.ru/
-
https://studfile.net/preview/6055064/page:6/
-
https://investfuture.ru/articles/kriteriy?ysclid=mlnsvb51gg619140182