XXIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Непривычные способы умножения

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Аракелян М.Э. 1Федяева М.Д. 1

---

1Негосударственное (частное) общеобразовательное учреждение (НОУ) гимназия «Школа бизнеса» города Сочи

Петренко Е.В. 1

---

1Негосударственное (частное) общеобразовательное учреждение (НОУ) гимназия «Школа бизнеса» города Сочи

Работа в формате PDF

141 KB

Введение

Математика возникла из практических потребностей людей. Им нужно было считать животных и предметы, измерять расстояния, строить дома, вести торговлю и распределять продукты. Сначала люди пользовались простыми способами счёта, а затем создавали более удобные правила и алгоритмы.

Сегодня у нас есть калькуляторы, телефоны и компьютеры. Но это не означает, что таблицу умножения и способы вычислений учить не нужно. Умение считать самостоятельно помогает замечать ошибки, оценивать результат и выбирать подходящий способ решения задачи.

Актуальность исследования заключается в том, что необычные способы умножения развивают внимание, память, логическое мышление и интерес к математике. Они показывают, что один и тот же пример можно решить разными путями. Это помогает увидеть в математике не только набор правил, но и творчество.

Цель работы — узнать о непривычных способах умножения и проверить, насколько они понятны и удобны для школьников третьего класса.

Гипотеза: непривычные способы умножения могут быть не только необычными, но и полезными в тех случаях, когда ребёнок забыл таблицу или хочет проверить ответ.

Объект исследования — способы умножения. Предмет исследования — особенности, удобство и скорость выполнения примеров разными способами.

Задачи исследования:

• узнать, почему людям понадобились разные способы вычислений;

• познакомиться с русским крестьянским способом;

• изучить решётчатый, индийский, китайский и японский способы;

• научиться умножать числа на пальцах;

• проверить правильность каждого способа обычным вычислением;

• провести опыты со школьниками;

• сравнить скорость и понятность способов;

• определить, где изученные приёмы могут пригодиться.

Методы исследования: изучение литературы, наблюдение, объяснение, практическое выполнение примеров, сравнение результатов, анкетирование и эксперимент.

Практическое применение работы: материалы можно использовать на уроках математики, классном часе, математическом кружке, олимпиадной подготовке и дома для тренировки устного счёта.

1. Теоретическая часть

1.1. Что такое умножение

Умножение — это арифметическое действие, которое можно понимать как сложение одинаковых слагаемых. Например, 4 × 3 означает взять число 4 три раза: 4 + 4 + 4 = 12. В записи умножения числа называются множителями, а результат — произведением.

Для удобства вычислений люди придумали таблицу умножения и письменные алгоритмы. Но до появления современных учебников и вычислительных устройств разные народы использовали свои приёмы. Некоторые способы требовали рисования, другие — удвоения, деления пополам или подсчёта на пальцах.

1.2. Почему важно знать разные способы

Необычный способ может помочь понять состав числа и связь между разрядами. Если ребёнок видит, как десятки и единицы складываются в общий результат, он лучше понимает обычное умножение столбиком.

Такие способы полезны и как проверка. Например, пример можно решить обычным способом, а затем приблизительно оценить ответ или применить другой алгоритм. Если ответы не совпали, значит, где-то появилась ошибка.

При этом непривычный способ не всегда быстрее стандартного. Рисование решётки или линий требует времени, зато делает вычисление наглядным. Поэтому важно не объявлять один метод лучшим для всех задач, а выбирать способ по ситуации.

1.3. Исторический интерес

В разных странах математика развивалась вместе с торговлей, строительством, календарём и астрономией.

Людям было необходимо умножать большие числа, даже когда не существовало бумаги привычного вида, печатных таблиц и калькуляторов.

Исторические названия отдельных методов не всегда означают, что их придумал один конкретный народ. Некоторые способы распространялись между странами и менялись со временем. В школьной работе такие названия помогают сравнивать математические приёмы и узнавать историю вычислений.

2. Непривычные способы умножения

2.1. Русский крестьянский способ

Русский крестьянский способ умножения — это древний алгоритм, который на Руси использовали крестьяне для вычислений, не требующие знания полной таблицы умножения. Достаточно было уметь умножать и делить на 2, а также складывать.

Д авайте умножим числа 49 и 26. Записываем числа на одной строке, разделив их вертикальной чертой.  49 2

Затем левое число делим на 2, пока не придём к числу 1. Если при делении получается остаток, его отбрасываем. 

49 26

49 : 2 = 24 (остаток 1 отбрасываем) 24

24 : 2 = 12 12

12 : 2 = 6 6

6 : 2 = 3 3

3 : 2 = 1 (остаток 1 отбрасываем) 1

После умножаем правое число на 2, пока не заполним последнюю строку.

49 26

24 52 26 * 2 = 52

12 104 52 * 2 = 104

6 208 104 * 2 = 208

3 416 208 * 2 = 416

1 832 416 * 2 = 832

Вычеркиваем все строки, где в левом столбце стоит чётное число. 

49 26

24 52

12 104

6 208

3 416

1 832

Складываем оставшиеся числа в правом столбце — это и будет их произведение. 

49 26

24 52

12 104

6 208

3 416

1 832

26 + 416 + 832 = 1274

442 1274

2.2. Решётчатый, или итальянский, способ

Итальянский способ умножения, который также называют «Решётка» — это способ, основанный на построении решётки и последовательном сложении чисел в диагональных полосах. 

Как это работает?

Давайте разберём алгоритм на примере умножения 296 на 73. 

Построение сетки. 

Нарисуем таблицу с тремя столбцами (по количеству цифр в числе 296) и двумя строками (по количеству цифр в числе 73). В каждой клетке проведём диагональ. 

Запись множителей. Горизонтально напишем число 296, а с правой стороны вертикально — число 73. 

Заполнение сетки. 

Умножим каждую цифру числа 296 на каждую цифру числа 73. Результат запишем в соответствующую клетку. Если произведение однозначное, запишем 0 над диагональю и само число под ней. Если двузначное — десятки запишем над диагональю, единицы — под ней. 

Сложение по диагоналям. 

Двигаемся по часовой стрелке, начиная с правой нижней клетки. Складываем числа в каждой косой полосе (между диагоналями). Если сумма получается двузначной, записываем только единицы, а десятки прибавляем к сумме следующей полосы. 

Получение ответа. Полученные результаты записываем, читая их снизу вверх и слева направо, мы получаем окончательный ответ: 21 608. 

2.3. Китайский способ линий

Китайский способ умножения, который называют методом линий — это древний графический метод вычислений, основанный на визуализации процесса через рисование параллельных линий и подсчёт их точек пересечения. Этот способ позволяет умножать числа без прямого использования таблицы умножения, наглядно демонстрируя математический принцип. 

Умножим 34 на 25.

2.4. Японский графический способ

Японский способ умножения — это графический метод, который основан на рисовании кругов и подсчёте их секторов или пересечений. Он позволяет наглядно представить процесс умножения и не требует глубоких знаний таблицы умножения. 

Умножим 23 на 45.

2.5. Индийский способ, или умножение крестом

Индийский способ умножения двузначных чисел (также известный как «способ молнии» или «умножение крестом») — это метод перекрёстного умножения, который в старину использовали в Индии. Он основан на последовательном умножении цифр «крест-накрест» с последующим сложением результатов. 

Рассмотрим на примере умножения 51 на 23. Записываем числа друг под другом.

2.6. Умножение на пальцах от 6 до 9

Этот приём помогает умножать числа от 6 до 9. Он не заменяет таблицу умножения, но может подсказать ответ, если один пример забылся.

Пример: 7 × 8. Число 7 больше 5 на 2, а число 8 больше 5 на 3. На одной руке показываем 2 пальца, на другой — 3. Складываем: 2 + 3 = 5 десятков, то есть 50. На первой руке осталось 3 пальца, на второй — 2.

Умножаем: 3 × 2 = 6. Получаем: 50 + 6 = 56. Следовательно, 7 × 8 = 56.

2.7. Умножение на 9 пальцами

Положим обе руки перед собой ладонями вниз и пронумеруем пальцы слева направо от 1 до 10. Чтобы умножить число от 1 до 10 на 9, загибаем палец с нужным номером. Количество пальцев слева показывает десятки, а справа — единицы.

Пример: 4 × 9. Загибаем четвёртый палец. Слева остаются 3 пальца, справа — 6. Получаем 36.

Этот способ удобен как запоминательная подсказка и математический фокус. Но при вычислениях всё равно полезно проверить ответ таблицей или обратным действием.

3. Практическая часть

3.1. Организация исследования

Мы познакомили одноклассников с несколькими способами умножения. Для экспериментов подготовили карточки с одинаковыми примерами и разделили участников на небольшие группы. Каждый ребёнок решал задания обычным способом и одним или несколькими непривычными способами.

Чтобы сравнение было честным, примеры подбирали одинаковой сложности, а время засекали от начала объяснения задания до записи ответа. Если ученик ещё не понял способ, результат не считали показателем его математических способностей: он отражал только степень знакомства с алгоритмом.

3.2. Эксперимент 1. «Время решения»

Цель: сравнить скорость выполнения примеров разными методами.

Ход эксперимента: участникам предложили несколько примеров, например, 7

× 8, 49 × 26, 34 × 25 и 296 × 73. Каждый пример решали стандартным способом и

одним непривычным способом. Время записывали в таблицу.

Графические способы требовали больше времени, но помогали увидеть разряды и последовательность вычислений.

3.3. Эксперимент 2. «Счёт на пальцах»

Цель: проверить, может ли пальцевый способ помочь, если ребёнок забыл результат примера от 6 до 9.

Участникам предложили примеры 6 × 7, 7 × 8, 8 × 9 и 9 × 9. Сначала дети решали их без подсказки, затем могли воспользоваться пальцами. Мы сравнили количество правильных ответов и время.

Результат: если ученик хорошо знает таблицу умножения, он отвечает быстрее. Если пример забыт, пальцы помогают восстановить ответ, но требуют дополнительных действий. Поэтому пальцевый способ является запасным приёмом, а не заменой таблицы.

3.4. Эксперимент 3. «Понятность способов»

После работы участники отвечали на вопросы: какой способ был самым понятным, какой показался самым интересным, какой было трудно запомнить и где хотелось бы использовать необычный приём.

Обычно детям нравятся способы, в которых есть рисунок или действие руками. Решётка и линии воспринимаются как математическая игра. Крестьянский способ сначала кажется сложным, но после нескольких примеров становится понятнее.

Индийский метод требует внимательности к переносам.

3.5. Проверка ответов

Каждый непривычный способ необходимо проверять обычным вычислением. Это важное правило исследовательской работы. Например, результат 49 × 26 проверяется разложением: 49 × 20 + 49 × 6 = 980 + 294 = 1274.

Проверка позволяет обнаружить ошибки в переносе разрядов, подсчёте линий, сложении диагоналей и записи числа. Если два способа дали разные результаты, нужно не выбирать понравившийся ответ, а найти место ошибки.

3.6. Сравнение способов

У каждого приёма есть свои достоинства и ограничения.

Практическое применение

Изученные методы можно применять:

• для проверки примеров;

• если временно забыт результат таблицы умножения;

• на математических конкурсах и кружках;

• при подготовке занимательного выступления;

• для развития устного счёта, внимания и логики;

• для знакомства с историей математики;

• при объяснении разрядного состава числа.

Важно помнить: необычные способы должны помогать понимать математику, а не превращаться в обязательное заучивание большого числа алгоритмов. Для повседневной работы лучше выбирать самый понятный и надёжный способ.

Выводы

1. Умножение появилось из практических потребностей людей — счёта, торговли, измерений и строительства.

2. В разные времена и в разных странах создавались разнообразные способы умножения.

3. Русский крестьянский способ позволяет заменить умножение делением пополам, удвоением и сложением.

4. Решётчатый способ делает разрядный состав многозначных чисел наглядным.

5. Индийский способ показывает перекрёстное умножение цифр и переносы между разрядами.

6. Китайский и японский графические способы помогают представить вычисление с помощью линий, зон и пересечений.

7. Пальцевый способ полезен при умножении чисел от 6 до 9 и на 9, но не заменяет знание таблицы.

8. В знакомых примерах стандартный способ обычнобыстрее, а необычные способы могут быть понятнее и интереснее.

9. Все результаты необходимо проверять другим способом.

10. Гипотеза подтвердилась: непривычные способыумножения действительно могут быть полезными, если применять их в подходящей ситуации.

Заключение

В ходе исследования мы познакомились с несколькими необычными способами умножения и проверили их на примерах. Мы убедились, что математика развивалась благодаря любознательности людей, которым требовалось выполнять вычисления без современных устройств.

Каждый способ имеет свои особенности. Русский крестьянский метод показывает связь между удвоением и делением пополам. Решётка помогает не путать разряды. Индийский способ раскрывает строение произведения. Линии и пересечения превращают вычисления в рисунок. Пальцы могут стать подсказкой при умножении на 9 и чисел от 6 до 9.

Исследование показало, что самый необычный способ не всегда является самым быстрым. Если таблица умножения выучена, обычный счёт чаще всего выполняется быстрее. Но необычные приёмы помогают проверить ответ, понять математические закономерности и сохранить интерес к предмету.

Главный вывод работы: математика — это не только правила и примеры из учебника. Это наука, в которой можно искать разные пути к одному ответу, сравнивать их и выбирать наиболее удобный.

Используемые российские источники

1. Российская электронная школа. Математика. 3 класс: умножение и деление. — URL:[https://resh.edu.ru/subject/lesson/5703/train/273152/](https://resh.edu.ru/subject/lesson/57 03/train/273152/). В материалах объясняется смысл умножения и способы выполнения действия.

2. Российская электронная школа. Математика: разрядный состав многозначных чисел. — URL: [https://resh.edu.ru](https://resh.edu.ru). [web:87]

3. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика. 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. — Москва: Просвещение.

4. Рудницкая В. Н. Математика. 3 класс. — Москва: Вентана-Граф.

5. Петерсон Л. Г. Математика. 3 класс. — Москва: Ювента.

6. Перельман Я. И. Живая математика. — Москва: Наука. Занимательные задачи и математические объяснения.

7. Перельман Я. И. Занимательная арифметика. — Москва: АСТ.

8. Колмогоров А. Н. и др. Математика: энциклопедия для детей. — Москва: Аванта+.

9. Открытый урок. Материалы по теме «Умножение многозначных чисел», 3 класс. —URL:[https://urok.1sept.ru/publication/31165] (https://urok.1sept.ru/publication/31165).

10. Собственные результаты экспериментов и наблюдений, проведённых учащимися в 2026 году.