III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА "КАК ВЫУЧИТЬ ТАБЛИЦУ УМНОЖЕНИЯ?"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
"То, чем в прежние эпохи
занимались лишь зрелые умы
учёных мужей,
в более поздние времена
стало доступно
пониманию мальчишек"
Гео́рг Вильге́льм Фри́дрих Ге́гель
Слова известного философа указывают на то, что в древние времена таблицу умножения изучали только аристократы, а простые люди и дети даже об этом и не помышляли. Прошло много времени, с тех пор и таблица умножения стала неотъемлемой частью нашей жизни, начиная с детства она сопровождает нас всю жизнь. В современном мире дети начинают изучать таблицу умножения и деления в начальной школе, но как показывает практика, некоторые ученики даже к 11 классу не отличаются прочными знаниями в этой области математики. И в нашем классе не все ребята хорошо знают таблицу умножения. Проблема запоминания очевидна. Поэтому перед нами возник вопрос: как запомнить таблицу умножения. И мы выдвинули следующую гипотезу: если использовать эффективные способы запоминания таблицы умножения, то это позволит прочно её усвоить.
Для того, чтобы подтвердить или опровергнуть наше предположение была поставлена цель исследования: выявить наиболее эффективные способы запоминания таблицы умножения.
Для достижения поставленной цели были определены задачи:
-
изучить способы запоминания таблицы умножения из специальной литературы и ресурсов сети Интернет;
-
провести в классе тестирование и анкетирование по выявлению уровня освоения таблицы умножения и определения основных проблем запоминания;
-
познакомить учащихся с различными особенностями запоминания таблицы умножения и применять их на уроках математики и во внеурочной деятельности;
-
определить наиболее результативные способы запоминания таблицы умножения.
Методы исследования: анализ литературы, тестирование и анкетирование, метод математического анализа. Объектом исследования является действие умножение. Предмет исследования – способы запоминания таблицы умножения.
Практическая значимость проекта заключается в том, что в результате проведённого исследования будут выявлены наиболее эффективные способы запоминания таблицы умножения и учащиеся класса прочно её усвоят.
-
Как выучить таблицу умножения?
Работу над проектом начали с составления плана в соответствии с задачами исследования:
-
изучить закономерности и способы запоминания таблицы умножения;
-
провести в классе тестирование и анкетирование по выявлению уровня освоения таблицы умножения и определения основных проблем запоминания;
-
познакомить учащихся с различными особенностями запоминания таблицы умножения и применять их на уроках математики и во внеурочной деятельности;
-
определить наиболее результативные способы запоминания таблицы умножения.
-
-
Из истории возникновения таблицы умножения
-
Таблицу умножения называют таблицей Пифагора, хотя её автором был не древнегреческий математик. [1] Археологи неоднократно находили деревянные дощечки с фрагментами записей, подтверждающих, что подсчёт при помощи таблицы вели уже в древней Японии и Китае. При раскопках древних городов Месопотамии (Ирак, Иран, Турция, Сирия) были найдены глиняные таблички с клинописью, на которых тоже изображена таблица чисел. И возраст этих находок – более пяти тысячелетий. Возможно, таблица умножения была изобретена именно там. Или же ее придумали параллельно в разных концах планеты, ведь необходимость вести счёт была актуальной проблемой. В европейской культуре изобретение таблицы умножения приписывают Пифагору. [2] «Таблицей Пифагора» система исчисления называется не только на русском, но и на итальянском, французском и других языках. Пифагор не оставил после себя ни одного письменного трактата, и все сведения о нём мы сейчас можем почерпнуть из жизнеописаний, сделанных не ранее, чем через два столетия после его смерти в 490-м году до нашей эры. Утверждение, что авторство принадлежит этому древнегреческому учёному, появилось благодаря последователю учения Пифагора – Никомаху Геразскому (I-II вв. н.э.). По словам Никомаха, записавшего таблицу в ионийской нумерации, таблица восходит к «самому Пифагору».
-
-
Закономерности таблицы умножения
-
Для того, чтобы быстрее запомнить табличные случаи, необходимо обнаружить закономерности в результатах. Мы воспользовались уже имеющимся опытом о «секретах таблицы умножения», а также сами кое-что заметили.
Умножение на 2. Результаты произведений – всегда чётные числа. Пары произведений дают в сумме 22. (Приложение 1. Рис.1)
Умножение на 3. При умножении 3 на чётное число результат произведения чётное число. При умножении на нечётное - произведение нечётное число. Пары произведений дают в сумме 33. (Приложение 1. Рис.2)
Умножение на 4. Результаты произведений – всегда чётные числа. В разряде единиц ритмический повтор цифр 0, 4, 8, 2, 6. Пары произведений дают в сумме 44. (Приложение 1. Рис.3)
Умножение на 5. В разряде единиц можно увидеть ритмический рисунок, который связан с чередованием чётного и нечётного множителей. Когда множитель чётный – результат оканчивается на 0, когда нечётный – результат оканчивается на 5. Пары произведений дают в сумме 55. (Приложение 1. Рис.4)
Умножение на 6. Нужно выписать произведения, где множитель был чётным и нечётным числом.
6 · 2 = 12 6 · 3 = 18
6 · 4 = 24 6 · 5 = 30
6 · 6 = 36 6 · 7 = 42
6 · 8 = 48 6 · 9 = 54
Для чётных множителей. Если прочитать произведения с чётным числом в множителе начиная снизу, то получится: шестью восемь – сорок восемь, шестью шесть – тридцать шесть, шестью четыре – двадцать четыре. Фраза получается с рифмой. Только «шестью два – двенадцать» не рифмуется. [3]
Цифра в разряде единиц – это второй множитель: 6 · 2 = 12.
Цифру в разряде десятков легко получить представлением второго множителя в виде суммы одинаковых чисел, одно из которых записать в десятки: 6 · 4 = 24 4 = 2 + 2.
Для нечётных множителей. Множитель представим в виде суммы одинаковых чисел, возьмем одно число и прибавим остаток, получим цифру в разряде десятков. Исключение число 3. Например: 6 · 9 = 5 _ 9 = 4 + 4 + 1 4 + 1 = 5.
Цифра в разряде единиц – это последняя цифра в сумме или разность нечётного множителя и числа 5. Например: +5
6 · 3 = . 8
- 5
В таблице умножения на 6 мы также наблюдаем пары произведений с одинаковой суммой. (Приложение 1. Рис.5)
Умножение на 7. Пары произведений дают в сумме 77. (Приложение 1. Рис.6)
Умножение на 8. Все произведения чётные числа. В разряде единиц ритмический повтор цифр – 0, 8, 6, 4, 2. Пары произведений дают в сумме 88. (Приложение 1. Рис.7)
Умножение на 9. Наибольшее количество закономерностей мы обнаружили при умножении на 9. (Приложение 2)
-
В ответах цифры, обозначающие число единиц, идут в порядке убывания (на 1), а число десятков – в порядке возрастания (на 1).
-
Цифры десятков можно определить по второму множителю, уменьшив его на единицу. А число единиц можно определить, дополнив до девяти число десятков. Сумма разрядных единиц каждого результата составляет 9.
-
Найти произведение можно округлив первый множитель (9) до 10, а после нахождения произведения, вычесть второй множитель.
-
Результатами произведений являются «взаимообратные» числа, имеющие одинаковый набор цифр.
-
-
Способы запоминания таблицы умножения
-
-
Выше указанные закономерности являются одним из способов усвоения таблицы умножения. Закономерности мы наблюдаем при изучении таблицы по порядку. Надо её учить и вразброс.
-
В нашем учебнике математики мы изучили интересный вариант таблицы умножения на 9. [4]Положите ладони перед собой, нумерация пальцев будет идти по порядку слева направо от 1 до 10. Например, умножаем 3 на 9. Всё то, что идёт до пальца №3 — это десятки (то есть 2 десятка в этом случае). А все то, что остается после пальца №2 — единицы (это 7). Получаем 27.
-
Для умножения чисел от 6 до 8 тоже существует способ запоминания на пальцах.
Поверните кисти ладонями от себя, и поставьте в соответствие каждому пальцу на обеих руках номер от 6 и до 10, начиная с большого пальца. (Приложение 3) Например, умножим 8 на 6. Для этого на левой руке загнём все пальцы с номерами по №8 включительно (палец №6, №7, №8), а на правой с номерами по №6 включительно (палец №6). Считаем пальцы: общее количество загнутых пальцев – это десятки – всего 5 пальцев, получаем первую часть: 40. Затем, не загнутые пальцы левой руки умножаем на не загнутые пальцы правой: 2 · 4 = 8, получаем вторую часть: 8. Складываем части: 40 + 8 = 48, значит, 8 · 6 = 48.
-
Можно запоминать результаты умножения и деления при помощи таблицы Пифагора. (Приложение 4)
-
Те случаи, которые трудны в запоминании, нужно записать на карточки и развесить их так, чтобы они как можно чаще были перед глазами.
-
Таблица умножения в стихах позволит процесс запоминания сделать более увлекательным. [5]
-
Карточки – сорбонки. Сделать карточки с табличными случаями. На обратной стороне написать ответы. Затем самостоятельно проверять себя. Те случаи, которые вызвали затруднение, откладывать в сторону и возвращаться к ним снова.
-
Существуют различные компьютерные программы и электронные игры, которые ускорят процесс запоминания таблицы.
-
Задавать в парах друг другу примеры по очереди.
-
Проводить соревнования на скорость «Кто больше решит примеров за 1 минуту».
Мы отразили основные способы запоминания таблицы умножения, которые привлекли наше внимание. Думаем, что они способны сделать процесс усвоения таблицы интересным и эффективным.
Вывод: существуют различные способы запоминания таблицы умножения, но, чтобы они были результативными, необходимо повторять действия многократно.
-
-
Исследовательская часть
-
Следующим этапом нашей работы было анкетирование учащихся 4, 5, 6 классов с целью выявления трудностей при запоминании таблицы умножения. Учащимся были предложены такие вопросы:
-
Знаете ли вы таблицу умножения? (да нет)
-
Испытывали ли вы трудности при запоминании таблицы умножения? (да нет)
-
На какое число (числа) таблица вам давалась труднее всего?
-
Понадобится ли знание таблицы умножения в дальнейшей жизни? (да нет)
Результаты анкетирования (Приложение 5) позволяют сделать вывод о том, что практически все опрошенные (57 учеников) понимают значимость таблицы умножения в дальнейшей жизни, но при этом не знают её 20 человек (35%), испытывали трудности при запоминании 27 человек (47%). И наиболее трудными в запоминании были случаи с таблицей на 7, 8 и 9.
В своём классе мы провели проверку знаний таблицы умножения. (Приложение 5) Справились с заданием без ошибок – 14 учеников (50%), допустили 1-2 ошибки – 6 учеников (21%), более 2 ошибок – 8 учеников (29%). Чтобы исправить положение и проверить свою гипотезу мы начали активно использовать на уроках математики и в индивидуальной работе с учащимися различные способы запоминания таблицы умножения. Часть из этих способов (например, закономерности) мы изучили ещё во 2 и 3 классе, но восстановить их в памяти не было лишним. В группах и в парах мы повторяли наиболее трудные случаи, используя карточки-сорбонки. Этот способ мы использовали чаще всего. Регулярно выполняли тесты (на время) на нэтбуках, проводили конкурс «Кто больше решит примеров за 1 минуту». На переменах считали на пальцах, было интересно, но долго, проще запомнить ответ. Случаи, в которых учащиеся чаще всего допускали ошибки, мы решили заучить при помощи стихов. [4]
Затем мы провели итоговую проверку усвоения таблицы (Приложение 5), которая показала положительную динамику в формировании этого важного навыка. Количество учащихся, которые выполнили работу без ошибок возросло на 7 человек и составило 75% (21 ученик), уменьшилось количество детей, которые допустили 1-2 ошибки (11% - 3 ученика) и более двух ошибок (14% - 4 ученика). Полностью проблему мы не решили, поэтому продолжим регулярные упражнения для совершенствования навыка.
Исследование позволило нам сделать вывод о том, что на каждом этапе формирования навыка необходимо использовать разные способы усвоения. На этапе знакомства с табличными случаями уместно выявлять закономерности, использовать необычные случаи вычислений (например, на пальцах). Чтобы знания были прочными, необходимо многократно повторять таблицу в разных формах: с помощью электронных игр, тестов, на карточках, устно в парах. Что мы и делали.
Таким образом, используя эффективные способы запоминания таблицы умножения, большинство учащихся нашего класса прочно её усвоили, что подтверждает нашу гипотезу. В процессе нашего исследования у ребят класса сложилось такое мнение – стыдно не знать таблицу умножения. Это увеличило ценность нашей работы.
Заключение
В ходе работы над проектом мы актуализировали изученные способы запоминания таблицы умножения, а также познакомились с новыми. Результаты анкетирования учащихся показали, что проблема запоминания очевидна. В процессе практической деятельности выяснили наиболее эффективные способы запоминания, которые позволяют прочно усвоить таблицу, что подтверждает нашу гипотезу. Результатом нашего исследования было успешное усвоение таблицы умножения большинством учащихся класса.
Конечно, для каждого человека существует свой способ заучивания, но для нас наиболее эффективными стали такие: тренировка с помощью карточек, электронные тесты, соревнования на скорость решения.
Материалы нашего исследования можно использовать учителям начальной школы для уроков математики и занятий внеурочной деятельности.
Китайская народная мудрость гласит: «Скажи мне – и я забуду. Покажи мне – и я запомню. Дай мне действовать самому – и я научусь». Действуйте любыми удобными для вас способами, и вы обязательно достигните желаемого результата.
Список использованных источников и литературы
-
http://www.vseznaika.org/history/kto-pridumal-tablicu-umnozheniya/
-
Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей. Общедоступные очерки для любителей арифметики. Беллюстин Всеволод. М.: Издательский дом: типография К.Л. Меньшова, 1909.
-
Математика // учебник для начальной школы: 3 класс. Александрова Э.И. – М.: Издательство «Вита-пресс», 2016.
-
Математика // учебник для начальной школы: 2 класс. Демидова Т.Е., Козлова С.А. – М.: Баласс, 2015.
-
Таблица умножения в стихах. Усачёв А.А. – М.: АСТ, 2016.
Приложение 1
Закономерности таблицы умножения на 2,3,4,5,6,7,8
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10 сумма равна 22
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
Рис.1. Таблица умножения на 2
3 · 2 = 6
3 · 4 = 12 чётный множитель – чётный результат
3 · 6 = 18
3 · 8 = 24
3 · 3 = 9
3 · 5 = 15 нечётный множитель – нечётный результат
3 · 7 = 21
3 · 9 = 27
3 · 2 = 6
3 · 3 = 9
3 · 4 = 12
3 · 5 = 15 сумма равна 33
3 · 6 = 18
3 · 7 = 21
3 · 8 = 24
3 · 9 = 27
Рис.2. Таблица умножения на 3
4 · 0 = 0 4 · 5 = 2 0 4 · 2 = 8
4 · 1 = 4 4 · 6 = 2 4 4 · 3 = 12
4 · 2 = 8 4 · 7 = 2 8 4 · 4 = 16
4 · 3 = 1 2 4 · 8 = 3 2 4 · 5 = 20 сумма равна 44
4 · 4 = 1 6 4 · 9 = 3 6 4 · 6 = 24
наблюдаем ритм 4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
Рис.3. Таблица умножения на 4
5 · 2 = 10
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25 сумма равна 55
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
5 · 8 = 40
5 · 9 = 45
Рис.4. Таблица умножения на 5
6 · 2 = 12
6 · 3 = 18
6 · 4 = 24
6 · 5 = 30 сумма равна 66
6 · 6 = 36
6 · 7 = 42
6 · 8 = 48
6 · 9 = 54 Рис.5. Таблица умножения на 6
7 · 2 = 14
7 · 3 = 21
7 · 4 = 28
7 · 5 = 35 сумма равна 77
7 · 6 = 42
7 · 7 = 49
7 · 8 = 56
7 · 9 = 63
Рис.6. Таблица умножения на 7
8 · 0 = 0 8 · 5 = 4 0 8 · 0 = 0
8 · 1 = 8 8 · 6 = 4 8 8 · 1 = 8
8 · 2 = 1 6 8 · 7 = 5 6 8 · 2 = 16
8 · 3 = 2 4 8 · 8 = 6 4 8 · 3 = 24
8 · 4 = 3 2 8 · 9 = 7 2 8 · 4 = 32 сумма равна 72
наблюдаем ритм 8 · 5 = 40
8· 6 = 48
8 · 7 = 56
8 · 8 = 64
8 · 9 = 72
Рис.7. Таблица умножения на 8
Приложение 2
Таблица умножения на 9
1)Цифры десятков – в порядке возрастания. Цифры единиц – в порядке убывания
9 · 2 = 1 . 9 · 2 = . 8
9 · 3 = 2 . 9 · 3 = . 7
9 · 4 = 3 . 9 · 4 = . 6
9 · 5 = 4 . 9 · 5 = . 5
9 · 6 = 5 . 9 · 6 = . 4
9 · 7 = 6 . 9 · 7 = . 3
9 · 8 = 7 . 9 · 8 = . 2
9 · 9 = 8 . 9 · 9 = . 1
2) Цифра десятков – на 1 меньше множителя. Цифра единиц – дополнение до 9
- 1 дополнить до 9
9 · 2 = 1 . 9 · 2 = 1 8
9 · 3 = 2 . 9 · 3 = 2 7
9 · 4 = 3 . 9 · 4 = 3 6
9 · 5 = 4 . 9 · 5 = 4 5
9 · 6 = 5 . 9 · 6 = 5 4
9 · 7 = 6 . 9 · 7 = 6 3
9 · 8 = 7 . 9 · 8 = 7 2
-
· 9 = 8 . 9 · 9 = 8 1
3) Первый множитель округляем до 10. Из произведения вычитаем второй множитель, получаем результат таблицы.
9 округлить до 10
9 · 2 = 10 · 2 - 2
9 · 3 = 10 · 3 - 3
9 · 4 = 10 · 4 - 4
9 · 5 = 10 · 5 - 5
9 · 6 = 10 · 6 - 6
9 · 7 = 10 · 7 - 7
9 · 8 = 10 · 8 - 8
9 · 9 = 10 · 9 – 9
4) Взаимообратные ответы
9 · 2 = 18
9 · 3 = 27
9 · 4 = 36
9 · 5 = 45
9 · 6 = 54
9 · 7 = 63
9 · 8 = 72
9 · 9 = 81
Приложение 3
Рис.1. Таблица умножения на 6, 7, 8 на пальцах
Приложение 4
Рис.1. Таблица Пифагора
Приложение 5
Результаты анкетирования и тестирования
Рис.1. Усвоение таблицы умножения учащимися 4, 5, 6 классов
Рис.2. Трудности в усвоении таблицы умножения
Рис.3. Тестирование на знание таблицы умножения