III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

СИММЕТРИЯ – ИДЕЯ КРАСОТЫ, ПОРЯДКА И СОВЕРШЕНСТВА

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Ланец В.И. 1

---

1МБОУ СОШ № 1 г. Крымска Краснодарского края

Шарапова М.А. 1

---

1МБОУ СОШ № 1 г. Крымска Краснодарского края

Работа в формате PDF

1 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Для человеческого разума симметрия обладает, по-видимому, совершенно особой притягательной силой

Фейнман Р.

Понятие симметрии встречается, как во многих областях человеческой жизни, культуры и искусства, так и в сфере научных знаний. Но что такое симметрия? В переводе с древнегреческого языка это – соразмерность, неизменность, соответствие. Говоря о симметрии, мы часто имеем в виду пропорциональность, упорядоченность, гармоничную красоту в расположении элементов некой группы или составляющих какого-то предмета.

Выбирая эту тему, я долго думала, над её актуальностью не только в учебных предметах, но и в жизни. И рассмотрев поближе, я поняла, что симметрия буквально повсюду.

Актуальность: при изучении в школе темы «Симметрия» недостаточно говорится о красоте и совершенстве симметрии в живой природе, о практическом применении симметрии в науке, искусстве, архитектуре и других сферах человеческой деятельности.

Проблема заключена в том, чтобы показать, что красота является внешним признаком симметрии и, прежде всего, имеет математическую основу.

Объект исследования: симметрия.

Предмет исследования: взаимосвязь математики с окружающими нас живыми и неживыми объектами.

Цель работы:

1. На примерах найти и показать симметрию, как основу красоты в природе и технике.

2. Раскрыть особенности видов симметрии в природе;

3. Показать всю привлекательность математики, как науки и её взаимосвязь с природой в целом.

Задачи исследования:

1. Собрать информацию по рассматриваемой теме;

2. Изучить и выделить основные направления применения симметрии, как основы красоты в творчестве человека;

3. Показать важность симметрии в жизни человека, её красоту;

4. Определить значение и использование симметрии в различных областях;

Гипотеза: предположим, что симметрия имеет определенное практическое значение в жизни человека.

Методы исследования:

1. Подбор материала по симметрии;

2. Систематизация и обобщение собранного материала;

3. Оформление обобщенного материала: изучение, сравнение, описание, работа с информационными источниками;

Глава I Понятие и виды симметрии.

1.  

   1. Симметрия в математике

Луи Пастер всю жизнь намеревался вернуться к теме, с которой началась его научная деятельность [3]. Да так и не собрался. У Пьера Кюри была заветная идея. Ей хотел он посвятить себя, разделавшись с радиоактивностью. Но не успел.

Существуют две группы симметрий:

К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа математической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

В свою очередь, математической симметрии существует тоже несколько видов: центральная, осевая, зеркальная (симметрия относительно плоскости) радиальная (или поворотная), переносная и другие. Я рассмотрю более подробно 2 вида симметрии.

Осевая симметрия – это симметрия относительно проведенной оси (прямой).

Точки и называются симметричными относительно прямой , если эта прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна отрезку . (см.рис.1)

Рис.1 Осевая симметрия

Давайте найдём точку, симметричную данной, относительно прямой.

Возьмём прямую а и точку А. Проведём через точку А прямую АО, перпендикулярную прямой а. Затем отложим на прямой АО отрезок ОА₁, равный отрезку АО.

Таким образом, получили точку А₁ симметричную точке А относительно прямой а (см.рис.2)

Рис.2 Осевая симметрия

На следующем рисунке точки B и B₁ симметричны относительно прямой b, точки C и C₁ также симметричны относительно прямой b, а вот точка D симметрична самой себе относительно прямой b. Точки Е и E₁ не симметричны относительно прямой b, так как прямая b проходит не через середину отрезка EE₁ (см.рис.3)

Рис.3 Осевая симметрия

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.

Прямую а называют осью симметрии фигуры.

Осевой симметрией обладает равнобедренный треугольник (см.рис.4)

Рис.4 Равнобедренный треугольник

Он имеет одну ось симметрии, на которой расположена биссектриса, проведённая из вершины к основанию. То есть, если мы перегнём равнобедренный треугольник по оси симметрии, то каждая точка одной половины будет иметь симметричную ей точку на второй половине.

Равносторонний треугольник также обладает осевой симметрией и имеет три оси симметрии, на которых расположены биссектрисы углов треугольника (см. рис.5)

Рис. 5 Равносторонний треугольник

Прямоугольник имеет две оси симметрии, которые проходят через середины его противолежащих сторон. Ромб также имеет две оси симметрии, на которых расположены его диагонали. Квадрат имеет четыре оси симметрии, так как одновременно является и прямоугольником, и ромбом (см. рис. 6).

Рис. 6 Квадрат

А вот у окружности каждая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии. Так как таких прямых можно провести бесконечно много, то и осей симметрии у окружности бесконечно много (см. рис. 7)

Рис. 7 Окружность

Но есть и фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. Примерами таких фигур являются разносторонний треугольник. Или параллелограмм, который не является прямоугольником или ромбом.

Центральная симметрия – это симметрия относительно точки. Точки А и A₁ называются симметричными относительно точки О, если точка О – середина отрезка АА₁ (см. рис. 8)

Рис.8 Центральная симметрия

Давайте найдём точку симметричную данной относительно точки О.

Возьмём произвольные точки А и О. И проведём через них прямую АО. Затем на этой прямой отложим отрезок ОА₁ равный отрезку АО. Таким образом, мы получили точку А₁симметричную точке А относительно точки О. Посмотрите на следующий рисунок 9.

Рис.9 Центральная симметрия

Здесь точка B симметрична точке B₁ относительно точки О. Точки C и C₁ также симметричны относительно точки О. Точка О симметрична сама себе. А точки D и D₁ не симметричны относительно точки О, так как отрезки DO и OD₁не равны.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

Точку О называют центром симметрии фигуры.

Центральной симметрией обладает окружность (см. рис.10)

Рис.10 Окружность. Центральная симметрия.

Её центр является центром симметрии. То есть, для любой точки окружности существует ей симметричная относительно центра.

Параллелограмм также обладает центральной симметрией. Центром его симметрии является точка пересечения диагоналей.

Центральной симметрией обладает и прямая, причём любая точка прямой является центром её симметрии.

Примером фигуры, не обладающей центральной симметрией, является произвольный треугольник.

А вот, например, такие фигуры, как прямоугольник, ромб, квадрат, окружность имеют обе симметрии - осевую и центральную (см. рис.11)

Рис.11 Геометрические фигуры

Названо было два вида симметрии. На самом деле их гораздо больше. Так что дать общее определение симметрии довольно затруднительно. Пожалуй, самым удачным может считаться остроумное определение замечательного немецкого математика Германа Вейля, всю жизнь интересовавшегося проблемами симметрии и посвятившего ей свой последний труд. Согласно Вейлю, симметричным называется такой предмет, с которым можно проделать какую-то операцию, получив в итоге первоначальное состояние [3].

Глава II Симметрия в живой природе

2.1 Симметрия в мире растений

Прежде всего, термин "симметрия" употребляется в математике, но находит применение во многих научных областях, причем его значение остается, в общем и целом, неизменным.

Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.

Особенно красивой и завораживающей является осевая симметрия, наблюдаемая у растений, этот результат осевой симметрии достигается при повороте абсолютно одинаковых элементов, размещенных вокруг одного центра. Причем эти элементы, листочки, веточки или цветочки, могут располагаться под любым углом и с разной частотой, главное, чтобы вращение было вокруг одного центра. Например, этот эффект хорошо виден на фото растений, приведенных в приложении 1.

Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное ботаническое явление носит название филлотаксиса, что буквально означает строение листа.

Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ряды, идущие в различных направлениях.

2.2 Симметрия у животных

Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии.

Большинство животных имеют двусторонне симметричное тело. Это значит, что если через их тело в определенном месте мысленно провести плоскость, то образующиеся две части тела будут зеркально совпадать. По-другому двустороннюю симметрию называют билатеральной симметрией.

Билатеральная симметрия имеет преимущества. Такие животные могут легко двигаться по прямой линии, поворачиваться.

Есть ряд животных, через тело которых можно провести множество плоскостей и в каждом случае две части совпадут. Тело как бы одинаково, если вращать его вокруг оси. Так, например, диск, который вращается вокруг своей оси, имеет множество плоскостей симметрии, проходящих через эту ось. Подобная симметрия тела называется радиальной (или лучевой). Она характерна для медуз, гидр, морских звезд и др. Многие животные с радиальной симметрией ведут малоподвижный образ жизни. При этом удобство лучевой симметрии заключается в возможности ловить добычу с любой стороны.

Бывают организмы, у которых вообще нет симметрии. Например, амебы, тело которых постоянно меняется.

2.3 Человек и симметрия

Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию [3]. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей. И всё же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая, и обе руки совершенно одинаковы! НО! Здесь стоит остановиться. Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале.

Известны каноны пропорций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи. Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально (см. рис. 12). Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками единой меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя). В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известным допущением можно считать, что длина туловища превосходит размер головы в восемь раз. Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы, в общем, похожи друг на друга. Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны!

И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина — левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например, расчесывая волосы на косой пробор — слева или справа или делая асимметричную стрижку. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди. Или, надев кольцо на безымянный палец только одной руки. Лишь на одной стороне груди носятся ордена и значки (чаще на левой). Полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерпимо скучно. Именно небольшие отклонения от неё и придают характерные, индивидуальные черты.

Рис. 12 Пропорции человеческого лица и тела, указанные Леонардо да Винчи

Глава III Симметрия в неживой природе.

3.1 Симметрия в технике.

Мы каждый день видим вокруг себя различные предметы. Одни созданы природой, а другие человеческими руками.

В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью, устойчивостью в работе. Симметричная форма дирижабля, самолета (см. рис.13), подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению. В технике существует своего рода постулат: наиболее целесообразные и функционально совершенные изделия являются наиболее красивыми.

Одним из важнейших изобретений человечества, имеющих центр симметрии, является колесо, также центр симметрии есть у пропеллера, воздушного шара, парашюта.

Рис.13 Положение самолета в воздухе

Симметричная форма подводной лодки, дирижабля, самолёта и т.д. Обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, минимальное сопротивление движению. Знаменитые учёные С.А. Чаплыгин и Н. Е. Жуковский исследовали полёт птиц, чтобы сделать вывод о наиболее выгодной форме крыла. Большую роль в этом сыграла симметрия.

В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например, на руле автомобиля или на штурвале корабля.

Глава IV Мои исследования

4.1 Опыты с зеркалами

Из литературных источников я узнала не только об особенностях симметрии, но и о том, как она проявляется в тех или иных живых организмах, в неживой природе, как она себя ведет в математике и существует ли асимметрия.

Зеркала таят в себе немало удивительного, хотя нередко мы этого просто не замечаем! Но, прежде чем продолжить дальше, я решила вспомнить правила построения изображения предмета в зеркале!

Давайте разберемся, легко ли читать книгу, глядя в её отражение в зеркале? Какие особенности есть у букв нашего алфавита? Одни из них симметричные, другие - нет. А что значит симметричные?

Чтобы определить симметрию буквы, я провела мысленно сначала горизонтальную ось через середину буквы. Оказывается, что такую ось симметрии имеют буквы : В, Е, Ж, 3, К, Н, О, С, Ф, X, Э Ю.

Для дальнейшей работы составим несколько слов из этих букв: НОС, ВЕК, ЭХО.

Затем провела вертикальную ось и получила буквы, обладающие вертикальной симметрией: А, Д, Ж, Л, М, Н, О, П, Т, Ф, Х, Ш. Слова: МОДА, ПОТ, ЛАМПА.

Интересно, что есть буквы, обладающие одновременно и вертикальной, и горизонтальной симметрией: Ж, Н, О, Ф, Х.

Например, слово ФОН .

Опыт 1

Я написала на листочке печатными буквами рядом в столбик три слова МОДА, ГРИБ и ФОН, прижала этот листок к своей груди и встала перед зеркалом. Затем попробовала прочитать в зеркале эти слова. Два слова МОДА и ФОН я прочитала сразу, а третье стало непонятным. У тех букв, которые обладают вертикальной симметрией, зеркальное отражение совпадает с оригиналом, хотя они тоже переворачиваются в зеркале. Буквы, не обладающие вертикальной симметрией, в данном случае "нечитабельны".

Опыт 2

Дальше я написала на листке бумаги (опять же аккуратно и печатными буквами) три слова: ВЕК, ГИРЯ и ФОН. Положила перед зеркалом листочек с этими словами и посмотрела на их отражения в вертикально стоящем зеркале. Два слова в зеркале ВЕК и ФОН я прочитала без труда, а третье прочитать бвло невозможно.

Если поместить листок перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то можно заметить, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть, глядя в зеркало.

В нашем алфавите есть буквы, несимметричные по написанию, например, в слове ГИРЯ. А есть буквы, которые обладают горизонтальной симметрией. Например, в слове ВЕК. Зеркало переворачивает все буквы, но изображения букв с горизонтальной симметрией остаются неискаженными.

Опыт 3

Я написала на листочке одно под другим три слова: РАМА, КОМОК и СОН. Поставила этот листочек перпендикулярно зеркалу и попыталась прочесть отражения этих слов в зеркале. Оказалось, что слово РАМА не читается, КОМОК каким был, таким и остался, а СОН превратился в НОС!

Чем ближе к зеркалу буква, тем ближе к зеркалу кажется и её отражение. Вывод: зеркало меняет последовательность букв на обратную и читать отражение слов в зеркале следует не слева направо, как мы привыкли, а наоборот.

Эксперимент

Для того чтобы узнать насколько важна симметрия в технике, а именно в полете, я провела эксперимент. Для своего эксперимента я использовала 3 самолётика из бумаги (см. рис. 22, 23). Так же пригодилась рулетка для измерения длины. Модели самолётов равны: по длине, массе и материалу. Результаты своего эксперимента я поместила в таблице № 1.

Таблица № 1. Результаты эксперимента.

Рис. 22 Самолеты.

Рис. 23 Самолеты. Эксперимент.

С помощью данного эксперимента я доказала, что в технике соразмерность механизмов часто связана с их надежностью, устойчивостью в работе. Симметричная форма самолета обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом, а значит и минимальное сопротивление движению.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проделав данную исследовательскую работу, я пришла к следующим выводам:

1. Симметрией обладают объекты и явления природы.

2. Существует несколько основных типов симметрии, которые могут сочетаться друг с другом, так как живой мир многообразен и неповторим.

3. Симметрия позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить, причем у неподвижных и малоподвижных организмов распространена лучевая (радиальная) симметрия или симметрия относительно точки, а у активно передвигающихся организмов – двусторонняя (зеркальная) симметрия.

4. Помимо симметрии встречается и асимметрия.

5. Проектная работа расширила мой кругозор и помогла взглянуть на окружающий мир глазами исследователя.

6. На практике я обнаружила связи между математикой и другими науками, повысился интерес к изучению этих предметов в школе.

Я, ученица 6-го класса, интересующаяся всем, что меня окружает, выбрала для исследования данную тему потому, что она связана с интересующим меня вопросом о гармонии нашего мира. Мне захотелось узнать не только об особенностях симметрии, но и о том, как она проявляется в тех или иных живых организмах, в неживой природе, как она себя ведет в математике и существует ли асимметрия.

Мне это важно, потому что для многих людей математика – скучная и сложная наука. Я же попыталась объяснить на примере симметрии, что математика – не только цифры, уравнения и решения, но и красота в строении геометрических тел, живых организмов и даже является фундаментом для многих наук.

Мне хочется, чтобы любой ребенок постиг начала математики, научился смотреть на окружающий мир пристальными глазами художника, стал бы терпеливым, как истинный философ, а также понял, что зачастую сложные вещи состоят из достаточно простых.

Выдвинутую в начале работы гипотезу, мне удалось подтвердить. Осмотритесь вокруг! Мы восхищаемся ярким цветком, красивой бабочкой, загадочной снежинкой, высокими деревьями, куполами церквей, прекрасными скульптурами и стройными спортсменами. Что лежит в основе этой красоты? Изучив математические основы симметрии, мы научимся видеть красоту мира и создавать ее своими руками!

Список использованной литературы:

1. Зеркальный мир: Пер. с нем./Перевод Здорик Т. Б. и Фельдмана Л. Г.; Под ред. И. И. Шафрановского. -М.: Мир, 1982. - 120 с., ил.

2. http://rudocs.exdat.com/docs/index-334731.html

3. http://www.vokrugsveta.ru/vs/article/4457/

Приложение № 1.

Примеры осевой симметрии, наблюдаемой у растений.

Приложение 3

РЕГИСТРАЦИОННАЯ ФОРМА

(срок представления – до 30 апреля 2017 г.)