АНАЛИЗ ЛИНЕЙНОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ МАЛОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ МАЛОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

Шишкин Ф.А. 1
1МБОУ Школа №44 г. Нижнего Новгорода
Савина О.Н. 1
1профессор кафедры математики НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF


Введение.

  1.  

    1. Актуальность темы.

Раздел физики, посвященный колебаниям и колебательным явлениям, на данный момент является развитым научным направлением. Колебательные явления сильно распространены в природе и являются неотъемлемой ее частью. В связи с этим возникает предположение о том, что многие явления как в природе, так и обществе могут быть описаны с помощью схожих математических моделей. В качестве иллюстрации этого утверждения может быть представлена данная работа. Изучение процессов на стыке двух каких-либо наук, позволит найти решения многих вопросов, стоящих перед нами.

1.2.) Цели и задачи исследования.

Цель моего исследования – изучить возможность описания заимосвязь между физикой и экономикой.

Для достижения этой цели мне необходимо было решить следующие задачи:

1. Изучить физику колебаний на примере механических моделей.

  1. Проанализировать модель малого предприятия.

  1. Внести изменения в систему предприятия.

  1. Сделать выводы.

Глава 1. Физика колебаний.

  1.  

    1. Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора.

В качестве модели гармонического осциллятора возьмём груз массы m, закреплённый на пружине жёсткостью k. Согласно закону Гука: , а также второму закону Ньютона: .Из второго закона Ньютона и закона Гука получим: . Так как: , a , то получим , следовательно:

, значит или

. Отсюда также: собственная частота колебаний гармонического осциллятора. Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора имеет вид:

.

Решением данного уравнения является выражение

.

Здесь – это циклическая частота осциллятора, а – начальная фаза колебаний. Полной фазой колебаний осциллятора является выражение , указывающее состояние тела в данный момент времени.

Тогда:

или

В момент t = 0:

Домножим обе части на, а затем возьмем неопределенный интеграл от обеих частей:

=

Получим:

что, по сути, является формулой для закона сохранения энергии, с - полная механическая энергия системы.

В общем виде уравнение движения является дифференциальным уравнением типа: , что означает, то, что воздействие на систему зависит от трех параметров , определяющих ее поведение.

  1.  

    1. Понятие о фазовой плоскости.

Запишем закон сохранения механической энергии

и сделаем некоторые преобразования:

,

затем получим:

.

 

Рис. 1

Заметим, что формула:

является уравнением эллипса в декартовых координатах, где мы по оси х отложим , а по оси yотложим V. Тогда соответственно максимальные значения , a. При изменении энергии осциллятора Е, размеры эллипса также меняются, значит вся совокупность траекторий представляет собой систему вложенных друг в друга эллипсов. Наличие замкнутых траекторий говорит о том, что движение является периодическим. Картина фазовых траекторий вблизи центра (положения равновесия) гармонического осциллятора называется особой точкой типа центр. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией.

 

Рис. 2

Теперь рассмотрим некоторую динамическую систему, потенциальная энергия U которой следующим образом зависит от координаты, как показано на рисунке. Тогда если мы возьмем значение потенциальной энергии на уровне U=E, то на фазовой плоскости координата х будет ограничена соответственными значениями и . Здесь точки и соответствуют положению устойчивого равновесия, а точка соответствует Седловой точке фазовой плоскости. Портрет фазовой плоскости также будет изменятся с выбором уровня потенциальной энергии.

Таким образом, с помощью фазовой плоскости можно описать любые поведения динамической системы и она становится особо полезной при описании нелинейных динамических систем.

  1.  

    1. Добротность системы и логарифмический декремент.

До этого момента мы рассматривали простейшие системы без наличия трения, однако на практике такое встречается редко. Поэтому теперь рассмотрим систему шарика на пружинке, но находящегося в жидкости. Теперь кроме закона Гука поведение системы будет также определять сила вязкого трения, возникающая при движении шарика. Она будет пропорциональна скорости движения тела при малых скоростях и квадрату скорости при больших скоростях. Мы рассмотрим первый случай. Тогда, например, поведение системы будет описано следующим дифференциальным уравнением второго порядка:

Будем искать решение данного уравнения в виде: . Тогда, следовательно:

,

.

Тогда решением данного дифференциального уравнения является выражение:

.

 

Рис.4 Рис. 5

Данное движение представляет собой затухающие колебания с постоянной частотой. Изменение амплитуды процесса описывается функцией: , тогда через промежуток времени T, равный периоду колебаний будет: , тогда

. Величина называется логарифмическим декрементом затухания осциллятора. За период Т амплитуда уменьшается в exp(-d) раз.

Существует также еще один параметр, характеризующий затухание в системе. Он называется добротностью и определяется как:или же . Данные величины безразмерны и характеризуют затухание более полно, нежели коэффициент затухания. На фазовой плоскости картина представляет собой логарифмические спирали, накручивающиеся на начало координат, которое соответствует всегда положению равновесия. Точка равновесия данной системы представляет собой устойчивый фокус.

Динамические системы могут быть не только с диссипативными силами трения. Рассмотрим теперь систему, где внешние силы наоборот способствуют раскачке колебаний. Иногда такие силы называют «отрицательным трением».

Дифференциальное уравнение, описывающее данный процесс имеет вид: . Тогда решением данного уравнения является . Тогда величина уже является инкрементом колебаний системы. За период Т амплитуда увеличивается в exp(d) раз. Понятно, что при сколь угодно малых начальных возмущениях и возникают колебания, амплитуды которых будут возрастать по показательному закону, т.е. состояние данной системы будет неустойчиво.

 

 

 

Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

На фазовой плоскости в этом случае состоянию равновесия соответствует точка неустойчивый фокус (см., рис. 7).

Примером механической системы, соответствующей данной динамической системе является брусок, прикрепленный к пружине и лежащий на ленте транспортера, которая может двигаться с регулируемой скоростью V (см., рис. 8). Между бруском и лентой существует сила сухого трения. Уравнение колебаний такой системы соответственно имеет вид

.

Предположим, что скорость бруска мала: , тогда получим: .

Постоянное слагаемое правой части приводит только к смещению положения равновесия на величину , поэтому для малых отклонений от данной точки выполняется: , где .

Глава 2. Модель деятельности малого предприятия.

  1.  
    1.  

      1. Динамическая модель.

В данной главе мы рассмотрим деятельность небольшой компании. Основой метода анализа финансового состояния предприятия является динамическая система. Этот подход опирается на представления теории самоорганизации компании. Рассмотрим нелинейную модель Чернавского Д.С. (см., Д.С. Чернавский, Н.И. Старков, С.Ю. Малков, Ю.В. Косе, А.В. Щербаков Об эконофизике и ее месте в современной теоретической экономике // Успехи физических наук, 2011, т. 181,№7, с. 767-773).

Динамической переменной является объем денежных оборотных средств M. Уравнение баланса предприятия выглядит следующим образом:

W – выручка от реализации продукта. Член отражает производственные издержки. – время оборота, - объем внешних заимствований. Соответственно, член отражает выплаты по кредиту. В уравнении выше рассмотрен случай бессрочного кредита, K – капитальные вложения собственных средств (затраты на расширение производства уже производимого продукта и разработку новых технологий, затраты на поддержание инфраструктуры предприятия).

Член отражает затраты на хранение готового продукта на складе, P – количество участвующего в обороте готового товара на складе, выраженное в рыночных ценах,- доля оборотных средств, затрачиваемая на хранение единицы готовой продукции на складе в единицу времени. Как правило, эта доля невелика и >>. Однако, при затоваривании склада эти издержки могут играть существенную роль.

Выручка W равна количеству проданного товара по рыночной цене p за единицу времени: W = p. Количество проданного товара зависит от количества товара на складе P, а также от спроса на данный продукт. В случае, когда предложение превышает спрос, рынок насыщается, и производитель не может продать количество товара, превышающее некоторое значение . При этом будем считать, что при пустом складе ничего нельзя продать. Тогда зависимость (P) можно записать в следующем виде: , при этом – максимальное количество товара на складе.

Сумма всех затрат за время оборота равно количеству произведенного товара, выраженному во внутренних ценах . Величина ∆p=p- является добавленной стоимостью. Мы будем использовать величину.

Уравнение баланса для склада тогда выглядит следующим образом:

.

Здесь - количество товара, поступающего на склад, выраженное в рыночных ценах, W – количество продаваемого товара.

Уравнения выше составляют модель для случая одного продукта. Учитывая, ее можно переписать следующим образом:

Будем считать, что , тогда из предыдущих условий получим:

Запишем систему уравнений в безразмерном виде. Введем безразмерные переменные:

; ; ; ; ;

таким образом, система примет вид:

(Для удобства n мы в дальнейшем опустим)

Также в нашем анализе данной системы мы не будем учитывать возможные кредитные займы и будем исходить из того, что предприятие начинает свою деятельность, исходя строго из личных средств, таким образом:

Условие равновесия в такой системе Р=0 и М=0.

С экономической точки зрения, такое описание соответствует состоянию малого предприятия в том случае, когда оно только начинает свою деятельность, то есть при не слишком больших отклонениях от положения равновесия. (Иначе говоря, данное предприятие можно именовать, как Startup).

Приведем полученную систему двух линейных дифференциальных уравнений к одному дифференциальному уравнению 2 порядка:

Найдем решение уравнения в форме

В итоге решение уравнения запишется в виде:

Теперь рассмотрим подробнее данную модель:

Сравнивая с дифференциальным уравнением для колебаний механического осциллятора:,

мы видим, что уравнение для модели предприятия имеет тот же вид, если иметь ввиду, что:

Рассмотрим, 4 случая:

1 случай:

Изучая данный случай нашей системы: ; , мы рассмотрим несколько интересных возможностей:

Так как наша модель схожа с физическим осциллятором, описанным выше, то наша система будет затухать с определенным декрементом. Так как , то при периоде мы получим затухание или +

Будем считать >>, то , значит, зависит в основном лишь от начальных инвестиций.

В случае ; , а также мы получим достаточно быстрое затухание и будем иметь лишь только один полноценный период колебаний. Для предприятия случай хоть и плачевный, так как он ведет к банкротству, тем не менее, все происходит довольно быстро в течение 1-2 периодов.

В другом же возможном случае, когда и мы получим затухания, которые длятся довольно долго с наличием многочисленных затухающих колебаний. Таким образом, компания будет постепенно приходить в упадок на довольно длительном промежутке времени. Для предпринимателя это означает, что его дело хоть и придет в упадок, но за довольно продолжительный период, что является наихудшим исходом для него, так как оказываются, затрачены не только многочисленные финансовые ресурсы, но и большое количество времени.

В обоих рассмотренных случаях имели место затухающие колебания. В следующем случае мы рассмотрим ситуацию, когда их вовсе не будет наблюдаться в течение периода (апериодические колебания).

2 случай:

Рассмотрим теперь случай, когда предприятие придет в упадок довольно быстро после начала своей работы, тогда должно быть соблюдено условие: . Здесь не играет большой роли изменение различных параметров системы, так как при соблюдении данного условия предприятие придет в упадок менее чем за период . Безусловно, при различных параметрах быстрота банкротства будет изменяться, но вряд ли выйдет за временные пределы одного периода.

Как ни странно, данный случай будет более благоприятен для работы предприятия, так как не будет затрачено много времени на предприятие, которое при обоих случаях и станет банкротом (Банкротство неизбежно из-за и аналогично затуханию в колебательной системе с диссипацией энергии).

Таким образом, для начинающего предпринимателя, будет намного лучше, если будет соблюдено условие .

Два предыдущих рассмотренных случая описывали только возможное банкротство нашего предприятия. Но вряд ли кто-либо будет создавать дело, чтобы в итоге оно осталось банкротом. Поэтому нам также интересны случаи 3 и 4, при которых оборотные средства компании будут со временем возрастать. Понятно, что имеющихся условий будет недостаточно для благоприятного развития компании, поэтому изменим нашу динамическую систему. Для этого добавим функцию , где :

При этом . С практической точки зрения пусть существует договор поставок продукции на склад, при котором количество поступающего товара на склад зависит от изменяющегося количества имеющегося товара на складе. Тогда:

В итоге дифференциальное уравнение запишется как

Соответственно в данном случае имеется возможность: , и тогда, как и в случае с механическим колебанием в системе с отрицательным трением имеют место нарастающие колебания. Рассмотрим два случая возможного поведения предприятия.

3 случай:

При новых условиях нам будет более интересно рассмотреть поведение предприятия при изменяющихся параметрах и .

Тогда в случае, когда предприятие получит

постоянно возрастающую прибыль и развитие. За каждый период оборота состояние предприятия будет улучшаться с инкрементом: или + . Чем больше будет в сравнении с (по величине), тем быстрее будет обогащаться предприятие.

Таким образом, можно сказать, что чем будет меньше относительно , тем быстрее будет рост компании.

Можно также предположить, что . Тогда мы будем иметь еще более длительно затухающие колебания, в сравнении с первым случаем (так как фактор будет способствовать более длительному затуханию).

Опять же данную ситуацию можно легко сравнить с физической интерпретацией «отрицательного трения» (брусок на пружине на подвижной ленте с изменяемой скоростью). Здесь роль подвижной ленты играет введенный нами договор поставок.

Рассматривая также данную ситуацию с различными , можно сказать, что при увеличении и при уменьшении мы получим еще большую прибыль в процессе деятельности компании.

Таким образом, финансовое положение компании будет постепенно улучшаться, что поспособствует ее развитию и росту. Но при этом возможен случай, когда состояние предприятия будет улучшаться с гораздо большей скоростью.

4 случай:

Чтобы получить намного больший результат, должно быть соблюдено условие: .

Безусловно, при изменении параметров , , мы будем иметь изменяющуюся ситуацию, и наиболее благоприятной для развития будет, если мы увеличиваем, уменьшаем , а также увеличиваем и уменьшаем, но при этом в работе предприятия мы не будем наблюдать колебаний, и финансовое состояние предприятия будет достаточно быстро улучшаться. Данный вариант развития компании является наиболее благоприятным и влечет за собой экстремально быстрый рост предприятия.

Теперь рассмотрим данную динамическую систему для некоторых более конкретных значений. Примем: и. При этом мы имеем:;. Тогда при конкретных возможных значениях: ; ; построим графики зависимостей

 

Рис. 9

Здесь прилиния(выделено зеленым) пересекает параболу (выделено красным) на плоскости параметров и происходит смена состояния устойчивости (устойчивый узел ‑ устойчивый фокус). При дальнейшем увеличении S состояние устойчивый фокус.

Возможность существования положительных S говорит нам о состоянии равновесия типа седло, и нарастание здесь происходит по асимптоте. Точка бифуркации здесь происходит при.

В случае сильной спонсорской поддержки (примем ) зависимости изображены на рис. 10. Здесь, как и выше, .

 

Рис. 10

Видно, что сценарий развития предприятия кардинально отличается от предыдущего (Рис 9). Роста предприятия не будет только при больших , когда спонсорская помощь недостаточна (параметру S соответствует синяя линия). С ростом система проходит состояния: седло, неустойчивый узел, неустойчивый узел, центр и устойчивый фокус.

Рассмотренный ранее случай без всяких внешних инвестиций можно также проиллюстрировать с помощью графиков (см, рис. 11). Так при, а также при мы имеем:

 

Рис. 11

Банкротство неизбежно, поскольку при любых значениях параметров. Там, где D становится больше , предприятие переходит в "режим устойчивых фокусов".

Таким образом, при различных значениях , т.е. доли запаса товара на складе по отношению к оптимальной потребности в товаре на рынке, мы получаем различные случаи особых точек системы. Эти случаи хорошо различимы на плоскости D(S) где парабола разделяет данную плоскость параметров на различные области, в которых реализуются различные типы особых точек. При различных заданных начальных условиях, линияD(S), которая также была описана для каждого рассмотренного случая выше, имеет различное расположение. Точки

пересечения с параболой влекут за собой смену состояния устойчивости.

 

Рис. 12

Но не стоит забывать о том, что все случаи, описанные выше, справедливы для предприятия лишь на начальном этапе развития и не может показать работу компании на более высоких уровнях развития, так как в дальнейшем на работу дополнительно влияют другие факторы.

Тем не менее, нам удалось описать с помощью динамической системы

Изменение финансового состояния малого инновационного предприятия при случае выпуска единственного продукта. Удалось описать, при каких случаях на начальных этапах предприятие станет банкротом, а при каких возможна прибыль, что является, несомненно, важным при оценке деятельности компании.

Данный анализ также иллюстрирует тот факт, что развитие нового предприятия на первоначальных этапах вряд ли возможно без дополнительных инвестиций (например, благодаря инвесторам, поверившим в будущий успех предприятия). Однако в зависимости от определенных условий возможная скорость развития или упадка компании может меняться.

Заключение.

В результате проведенных исследований в области анализа физической и макроэкономической систем были решены поставленные задачи и достигнута цель настоящей работы. Как показал анализ физических и экономических колебательных процессов, имеется общее математическое описание природы данных явлений. Более того, общий подход к методам исследования может помочь объяснить экономические проблемы. На данный момент проведены исследования по долгосрочному прогнозированию макроэкономических процессов на основе теории колебаний. Однако это не единственная область применения законов физики в экономике. Так, например, до настоящего времени остается открытым вопрос влияния различных каналов воздействия на экономику, таких, например, как влияние информации. Возможно, решение данной проблемы нам удастся найти путем анализа природы потенциальной энергии в теории колебаний, ведь до сих пор не ясно как можно ее задать с точки зрения колебаний в экономике. Это вполне может являться продолжением моих исследований.

Библиография.

1. Г. С. Горелик «Колебания и волны»

2. Г. Пейн «Физика колебаний и волн»

3. Я.Г. Панковко «Введение в теорию механических колебаний»

  1. Р. Аллен «Математическая экономия»

  2. Д.И. Трубецков «Линейные колебания и волны»

  3. Д.С. Чернавский, Н.И. Старков, С.Ю. Малков, Ю.В. Косе, А.В. Щербаков Об эконофизике и ее месте в современной теоретической экономике // Успехи физических наук, 2011, т. 181, № 7, с. 767-773.

  4. .Д.С. Чернавский, А.В. Щербаков, С.А. Соловьев, С.В. Зайцев. Математическая модель деятельности малого инновационного предприятия. Случай одного продукта. Феномен “скрытого банкротства” // Электронный журнал “Исследовано в России”. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/006.pdf

Просмотров работы: 284