III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТЫХ КЛАССИЧЕСКИХ АЛГЕБР ЛИ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1.1 Введение
В работе изучается ряд вопросов, связанных с разложением классических алгебр над полем нулевой характеристики в прямую сумму картановских подалгебр. Доказано, что всякая алгебра Ли из серии () допускает разложение в прямую сумму картановских подалгебр. Некоторые алгебры типа , также обладают свойством разложения. Все сведения, используемые в работе, взяты из записок научных семинаров по группам и алгебрам Ли[2]. Основные результаты получены на основе базовых теорем теории алгебр Ли[1], [3]. Результаты полученные в работе имеют важное фундаментальное значение в теории алгебр Ли, в доказательство чему достаточно привести работу американского специалиста по теории конечных групп Дж. Г. Томпсона[4], которая имела большое значение при классификации простых конечных групп.
1.2 Цели работы
-
Изучить ортогональное разложение некоторых классических алгебр Ли
-
Доказать, что всякая алгебра Ли типа допускает разложение в прямую сумму картановских подалгебр Ли
-
Доказать, что существуют такие алгебры Ли из серии , которые не допускают разложение в прямую сумму попарно ортогональных подалгебр Картана
-
Доказать, что при для всякое алгебры Ли типа существует ортогональное разложение в прямую сумму картановских подалгебр
-
Изучить ортогональное разложение алгебр Ли типа
2 Разложение классических алгебр Ли
2.1 Классические алгебры Ли
Классическими алгебрами Ли над полем нулевой характеристики будем называть алгебры типа , , , , которые определяются следующим образом
По теореме о классификации простых конечных алгебр Ли над полем характеристики нуль, все простые алгебры над являются либо одной из описанных алгебр, либо одной из пяти исключительных алгебр Ли [1].
2.2 Разложение классических алгебр Ли типа
Определение 2.2.1 Алгебру Ли будем называть обладающей свойством разложения, если она допускает разложение в конечную прямую сумму картановских подалгебр.
Теорема 2.2.1 Всякая простая алгебра Ли типа обладает свойством разложения.
Доказательство. Пусть - простая алгебра Ли типа . По теореме Леви-Мальцева является прямой суммой своего радикала и некоторой полупростой алгебры Ли :
Так как всякая полупростая алгебра Ли является конечной прямой суммой простых алгебр Ли, то полученное равенство можно записать в виде:
где - простые алгебры Ли. Пусть - подалгебра Картана в простой алгебре . Тогда справедливо тождество:
где - некоторая подалгебра в . Так как подалгебра также является прямой суммой подалгебры Картана и некоторой подалгебры, то справедливо равенство:
где - подалгебра в , которая не содержит картановской подалгебры. Поэтому является конечной прямой суммой картановских подалгебр.
Определение 2.2.2 Алгебру Ли будем называть обладающей свойством мультипликативного разложения, если она допускает разложение в прямую сумму картановских подалгебр, удовлетворяющих свойству .
Теорема 2.2.2 Всякая простая алгебра Ли типа при не обладает свойством мультипликативного разложения.
Доказательство. Пусть - простая алгебра Ли типа . Предположим, что допускает разложение впрямую сумму картановских подалгебр. Тогда для того, чтобы алгебра Ли обладала свойством мультипликативного разложения, необходимо чтобы все подалгебры Картана были попарно ортогональны. Поэтому справедливо равенство:
где - подалгебры Картана такие, что для всякого , выполнено . Для выполнения этого свойства необходимо, чтобы существовали такие матрицы , для которых справедливы тождества:
где . Определим матрицу :
Так как , то . Определим матрицу . Поэтому для этой матрицы справедливы тождества:
Матрицы образуют базис в подалгебре Картана . Поэтому всякая ненулевая матрица в не имеет нулевых строк. Поэтому во всякой линейной комбинации элементов базисных строка будет ненулевой. Приведенное доказательство справедливо для всех картановских подалгебр для . Но при , всякая матрица, принадлежащая подалгебре Картана , может быть задана следующим образом:
где . Поэтому матрица принадлежащая , при содержит нулевую строку.
Определение 2.2.3 Алгебру Ли будем называть обладающей свойством ортогонального разложения, если она допускает разложение в прямую сумму попарно ортогональных картановских подалгебр.
Теорема 2.2.3 Всякая алгебра Ли типа не допускает ортогонального разложения.
Доказательство. Пусть - простая алгебра Ли типа . По теореме 2.2.1 алгебра Ли допускает разложение в прямую сумму картановских подалгебр. Предположим, что подалгебра Картана имеет мономиальный базис , где , а матрица определяется следующим образом:
Определим для каждой матрицы перестановку . Множество всех перестановок образуют абелеву группу . Всякий элемент группы является произведение нескольких циклов одинаковой длины. Предположим, что все группы совпадают и являются циклическими. Тогда справедливо тождество:
Пусть - подалгебры Картана. Для выполнения условия ортогональности для всякого , , , необходимо существование трех решений приведенного уравнения с переменными , , , где , , - элементы матриц , , . Предположим, что , , - решения приведенных уравнений. Так как при группа циклическая, то для набора , , , , , , , , . Наборы вида получается перестановкой следующих элементов:
Так как , то , , . Но никакие три перестановки приведенных элементов не удовлетворяют этим тождествам. Поэтому не существует даже трех попарно ортогональных картановских подалгебр в .
2.3 Разложение алгебр ли типа ,
Теорема 2.3.1 Всякая простая алгебра Ли типа при обладает свойством разложения.
Так как всякая алгебра Ли типа при проста, то доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2.2.1
Определим алгебру Ли типа следующим образом:
где . Для построения ортогонального разложения алгебры Ли согласованного с базисом, образованным элементами , необходимо построить такое разбиение множества неупорядоченных пар на подмножества , такие, что
где .
Теорема 2.3.2 Всякое ортогональное разложение алгебры Ли типа , согласованное с базисом единственным образом определяется некоторым разбиением .
Доказательство. Определим линейную комбинацию , в которой ненулевых коэффициентов . Так как эта комбинация имеет ранг , то для всякого автоморфизма алгебры справедливы тождества:
где - матрица в , - ортогональная матрица. Поэтому всякий автоморфизм алгебры Ли определяется коэффициентами и некоторой биекцией , удовлетворяющей следующим тождествам:
Всякая биекция удовлетворяющая приведенным условиям определяется такой перестановкой множества , что . Поэтому всякий автоморфизм алгебры Ли определяется следующим образом:
Так как , , , , то справедливы следующий тождества:
где . Определим абелеву группу , состоящую из всех функций вида . Обозначим через элемент фактор-группы отвечающий функциям , . Поэтому справедливо равенство:
Так как , , то группа автоморфизмов алгебры определяется следующим образом:
где , .
Теорема 2.3.3 Всякое ортогональное разложение алгебры Ли типа , которая является подалгеброй в алгебре Ли типа , единственным образом определяется некоторым разбиением .
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2.3.2. По теореме 2.3.2, 2.3.3 для доказательства разложимости некоторой алгебры Ли типа , необходимо построить разбиение .
Пусть - группа порядка с единицей . Обозначим через элемент группы такой, что для . Для построения разбиения необходимо построить разбиение множества на подмножества , удовлетворяющие тождествам:
Определим действие группы на множестве следующим образом:
Мощность всякой орбиты отличной от орбиты, образованной элементами для , может быть меньше порядка группы, если стабилизатор элемента не является единичной подгруппой. Так как порядок группы число нечетное, то в этом случае . Так как - группа нечетного порядка, то для всяких выполняется . Сопоставим каждому подмножеству элемент группы . Определим подмножество , состоящее из элементов орбит , для которого выполнены все необходимые для тождества. Построим разбиение следующим образом:
Определим множество следующим образом:
Так как подмножество удовлетворяет приведенным тождествам для разбиения множества, то в подмножество также удовлетворяет этим тождествам. Поэтому построенной разбиение единственным образом определяет ортогональное разложение алгебр Ли типа . Приведенная конструкция справедлива и для алгебр Ли типа , для .
Теорема 2.3.4 Всякая алгебра Ли типа , , при построении некоторого разбиения , обладает свойством ортогонального разложения.
3 Заключение
3.1 Заключение
В работе подробно изучены разложения классических алгебр Ли над полем нулевой характеристики в прямую сумму картановских подалгебр. Доказаны теоремы о разложении классических алгебр для серий , , . При доказательстве разложения алгебр Ли типа , была введена конструкция, определяющая свойство ортогонального разложения с помощью разбиения конечного множества. Результаты полученные в работе могут применяться в структурной теории алгебр Ли.
3.2 Список литературы
[1] Хамфри Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, перев. с англ., 2003
[2] Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, 1988
[3] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли: Пер. с фран. М.:Мир, 1976
[4] Tompson J.G. A conjugacy theorem for E8, J. Algebra, 1976, vol. 38