III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ПРИРОДНАЯ КРАСОТА МАТЕМАТИКИ В ЗОЛОТОМ СЕЧЕНИИ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Гостюхин Д.В. 1

---

1МАОУ Наро-Фоминская СОШ №3 СУИОП

Тостоганова И.В. 1Тостоганова И.В. 1

---

1МАОУ Наро-Фоминская СОШ №3 СУИОП

Работа в формате PDF

2.2 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителяСвидетельство руководителя

«Красоту математики можно увидеть

глазами, можно почувствовать сердцем,

но объять её можно только умом».

Ш.А. Амонашвили.

Актуальность: Многих из нас притягивают к себе красивые картины, скульптуры, лица и фигуры людей (приложение 1).

Почему они так приятны взгляду? Кто может ответить на вопрос, из чего состоит красота? Почему, мы сами и окружающие нас предметы пропорциональны? Пытаясь ответить на эти вопросы, я решил изучить связь между красотой и математикой.

Своей работой я хочу попытаться раскрыть тайны гармонии и погрузиться в увлекательный мир математики – науки, которая объясняет всё.

Бывают ли на свете числа, которые влияют на нашу жизнь? У каждого человека есть любимое или не любимое число. Но есть одно число, в котором кроется секрет гармонии во всём.

Если внимательно посмотреть на разные промежутки увиденного, потом соединить их в целое, то можно заметить логическую связь. Имя её: «Золотое сечение». (приложение 2.)

Цель: Изучить тему. Определить, практически. как математика влияет на красоту увиденного. Какие пропорции человека вызывают большее умиление? Действительно ли, путём вычислений, можно увидеть красоту и совершенство окружающих нас предметов? Для достижения этой цели поставлены задачи:

• Изучить понятие золотого сечения.

• На примерах найти применение золотого сечения.

• Произвести опрос одноклассников.

• Наглядно продемонстрировать связь математики и золотого сечения.

• Сделать соответствующие выводы.

Гипотеза: Математика и «Золотое сечение» - идеальная красота, точность и гармония.

Методы исследования:

• Сбор и получение научно значимой информации.

• Обработка полученной информации.

• Представление об изучаемом объекте.

• Наблюдение. Сравнение. Применение.

• Опрос одноклассников.

• Оформление работы.

Основная часть.

«Математика… выявляет порядок, симметрию

и определённость, а это – важнейшие виды

прекрасного».

Аристотель.

1.1.Основатели учения

Искусство и математика появились много столетий назад. Правда в те времена люди даже и не догадывались о том, что в будущем нам это очень пригодится.

Находя во многих источниках материал о золотом сечении, мы знакомимся с одними и теми же фактами, которые исторически излагаются в одном и том же порядке.

Я хочу перечислить великих ученых и творческих личностей древности, которые разным способом были связаны с историей золотого сечения.

Моим современникам точно неизвестно, когда и кто именно ввел термин «золотое сечение». Но принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научное обращение древнегреческий философ и математик Пифагор.

Пифагорейцы изучали пропорции, т.е. равенства отношений. Они верили, что в основе всех вещей лежит число, и для того чтобы понять устройство мира, надо познать управляющие им числа.

Пифагорейцы не просто стремились всё измерять при помощи чисел, но и сравнивать измеренные величины, находя общую связь между ними.

Древнегреческий философ Платон (427-347 гг. до н. э.) свой диалог «Тимей» посвятил рассмотрению вопросов «золотого деления» школы Пифагора.

Евдокс Книдский (408-365 г.г. до н.э.) развил учение о пропорциях - одно из достижений греческой математики. Ввел понятие геометрической величины, т.е. длины отрезка.

Впервые золотое деление упоминается у древнегреческого математика Евклида в теоретическом трактате о математике «Начала». Во второй книге «Начал» даётся геометрическое построение золотого деления.

После Евклида, исследованием золотого деления, занимались древнегреческий математик и астроном Гипсикл Александрийский (II век до н.э.) и древнегреческий математик второй половины III века до н.э. Папп. Его трактат «Математическое собрание» является руководством для изучения греческой геометрии.

Некоторые авторы в своих работах связывают великого итальянского художника и изобретателя эпохи Возрождения Леонардо да Винчи с тем, что он дал этому делению название «Золотое сечение». Хотя термин был введён в обиход лишь в 1835 году немецким математиком Мартином Омом.

Монах Лука Пачоли, который был не только современником, но и другом Леонардо да Винчи назвал это отношение «Божественной пропорцией». (Приложение 3; Приложение 3.1.)

2.2. Знакомство с понятием золотого сечения.

«Есть в математике нечто вызывающее

человеческий восторг».

(Ф. Хаусдорф.)

Под «золотым сечением» понимается такое пропорциональное деление отрезка на неравные части , при котором , длина всего отрезка так относится к его большей части, как длина большей части - относится к меньшей.

С/В = В/А = 1,618

Золотое сечение обозначается символом Ф=1,618033989… Это значение названо в честь древнегреческого скульптора Фидия, который всегда использовал в своих работах золотое сечение. (приложение 6.)

Математик Фибоначчи , впервые , получил последовательность чисел, названной в его честь - числами Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. Этот ряд представляет собой такую последовательность, в которой каждый член равен сумме двух предыдущих. _ и т.д. При этом отношение двух соседних членов равно золотому сечению, т.е. числу Ф. Рассматривая закономерности, связанные с проявлением золотого сечения, обычно используют обратную величину числа _

Алгебраически золотое сечение можно выразить дробями _ и т.д.

Проведём маленький эксперимент. Загадаем два любых числа. Пусть это будет 4 и 7. Составим третье число (сумму двух предыдущих). Это будет 11. Дальше запишем ряд, подобно примеру. _ Теперь, поделим пятнадцатое число на четырнадцатое._ У нас получилось число Ф.

Геометрически найти золотое сечение отрезка можно с помощью линейки и циркуля.

2.3. Золотое сечение в природе

«Правильному применению методов

можно научиться только

применяя их на разнообразных примерах.»

(Г. Цейтен.)

Когда я начал готовиться к работе, то заметил, что зрительно делю окружающие меня предметы на части.

Мне очень нравится комната, в которой я живу. Она поделена на зоны: где я делаю уроки, занимаюсь спортом, отдыхаю. То есть комната поделена на неравные части.

При помощи рулетки, я измерил длину комнаты и расстояние, которое выделено для каждой зоны. Записал все данные в графическую таблицу. Разделив большее на меньшее , я получил значения: 1,56 и 1, 78. И пришёл к выводу, что такое деление приближено к золотому сечению. (Приложение 5 и 5.1.)

Такое соотношение размеров воспринимается глазом интуитивно, как приближённое к идеальному .

Поэтому, в пространстве, оформленном согласно золотому сечению, приятно жить, учиться и отдыхать.

В искусстве есть правило диагонального золотого сечения.

Его используют в основном тогда, когда в изображении есть несколько разных по смыслу областей. Для этого в прямоугольнике проводят диагональ. Затем из вершины необходимо провести перпендикуляр к проведённой диагонали. В результате получаются три треугольника разных размеров. В них и будут находиться объекты, которые имеют, каждый, свою значимость.

У меня дома есть картина. Я не знаю автора, но мне стало интересно узнать, чем она меня привлекает. Я решил применить правило диагонального золотого сечения и проверить: пользовался ли автор этим правилом? (Приложение 6.)

Проведя диагональ и перпендикуляр к ней, я получил 3 треугольника разных размеров. В большом - изображены здания в одном стиле и в одной цветовой гамме. В среднем треугольнике мы видим огромное небо и кроны деревьев, которые тянутся ввысь. В маленьком - здание более тёмных тонов, которое выходит на передний план.

Получается, что при помощи геометрических приёмов, я смог разобраться, каким образом, разные части увиденного , гармонично складываются в одно целое. Я понял, что эта работа выполнена в золотом сечении.

Золотое сечение встречается и в литературе. Чтобы это проверить я выбрал маленький детский стишок Агнии Барто «Козлёнок».

У меня живёт козлёнок,

Я сама его пасу.

Я козлёнка в сад зелёный

Рано утром отнесу.

Он заблудится в саду-

Я в траве его найду.

Если принять за 1 знак: слова, предлоги, знаки препинания, то получится 30 знаков. Я разделил 30 на число Ф (1. 618) и получил 19.

Отсчитав 19 знаков, я получил золотое сечение. Действительно стишок делится на две части. Каждая часть написана в разной рифмовке. Первая часть имеет перекрёстную рифму, вторая – парную, а в целом получился красивый, для восприятия, детский стишок.

Что общего в подсолнухе, рогов млекопитающих, лепестков роз? Их объединяет золотая спираль. Она вписывается в золотой прямоугольник. Отношение длины и ширины которого равно числу Ф.

Если последовательно отрезать от прямоугольника квадраты и вписывать в каждый из них по четверти окружности, мы получим золотую спираль.

Однажды, мне подарили ракушку. Готовя свою работу, я обратил на неё внимание. Внимательно рассмотрев подарок, увидел, что ракушка имеет форму спирали. Причём расстояние между ответвлениями, с каждым витком, увеличивается и приближается к пропорции золотого сечения . (Приложение 7.)

У любого человека есть свой взгляд на красоту увиденного. Бывает так, что некоторые вещи более притягивают к себе наш взор.

Я решил узнать мнение своих одноклассников. Показав четыре фотографии, попросил выбрать, кто им больше понравился. В опросе участвовали ученики нашей школы из 5 «б», 8 «а» и 9 «г» классов. Данные внёс в таблицу. (Приложения 8)

Результат опроса показал, что ребятам понравились лица, пропорции которых более приближённы к идеальным.

Есть определённые правила, по которым изображают фигуру человека. Основное деление человеческого тела - делится точкой пупка. Если фигуру человека перевязать поясом и отмерить потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека относится к длине от пояса до ступней.

Идеальным, совершенным считается тело, пропорции которого составляет золотое сечение.

Меня заинтересовал этот вопрос. Я попросил своих родных и друзей принять участие в эксперименте.

Сначала я замерил пропорции кисти руки у моей тети. Сделав замеры от запястья до косточек, от косточек до первой фаланги большого пальца, между фалангами, от второй фаланги до конца пальца. Получил значения: 8см.; 5см.; 3см.;2см. (Приложение 9.)

Замерив пропорции лица и тела моих друзей, результаты внёс в таблицу. Методом вычислений и сравнений пришёл к выводу, что в пропорциях человеческого тела наблюдается золотое сечение в большей или меньшей степени. (Приложение 10 и 10.1.)

Заключение

«Природа формирует свои законы

языком математики.»

(Г. Галилей.)

В ходе своей работы я познакомился с понятием золотого сечения, гармоничным и притягательным числом Ф. Выявил основные математические истоки пропорции золотого сечения и способы воплощения в искусстве, в литературе, в природе, в быту.

Эта пропорция занимает одну из ведущих ролей в нашей жизни. Был произведён опрос одноклассников, который подтвердил теорию о том, что более совершенные лица, притягивают к себе внимание.

На разных примерах я увидел и почувствовал, что число 1,618… притягивает к себе так же, как всё то, в чём оно встречается.

Понятно, что не всё в природе подчиняется правилам «золотого сечения», но там, где оно присутствует, выглядит более совершенным.

Подведя итог своей работе, я могу сказать, что математика тесно связана с теорией золотого сечения. А то, что красота может быть вычислена, доказывает красоту самой математики.

Список использованной литературы.

1. Лиман М. Н. Школьникам о математике и математиках. М: «Просвещение» 1981 г.

2. Марио Ливио . Ф- число Бога. Золотое сечение-формула мироздания. М: АСТ, 2015г.

3. Энциклопедия изобретений и открытий. От колеса до коллайдера. М: «Махаон» 2012г.

4. Агния Барто. Любимые стихи. М: «Олма медиа групп» 2011г.

5. Интернет.

Приложение 1.

Мона Лиза

Работа Леонардо да Винчи

1503-1505г.

Приятное взору лицо современной девушки

П

Объект, который должен быть центральной фигурой в композиции, не всегда располагается в центре. Существует 4 точки, на расстоянии 3/8 и 5/8 от краёв картины. Нарисовав сетку, получим эти точки, которые привлекают внимание.

Приложение 3.

Пифагор. (580-500 г.г. до н.э.)

Платон (427-347 гг. до н.э.)

Евклид (408-365гг. дон.э.)

Приложение 3.1

Евдокс (408- ок.365 г.г. до н.э.) развил учение о пропорциях.

.

Леонардо да Винчи (1452-1519г.г.)

Лука Пачоли (1445-1517г.г.)

Приложение 4.

Фидий (1-я половина V века до н.э.)

Леонардо Фибоначчи (1170-1250 г.г.)

Приложение 5.

Приложение 5.1

Приложение 6.

Приложение 7.

Рис. 1. Рис. 2. Рис.3. Рис.4.

Приложение 9.

E

В

А

С

D

Приложение 10.

Приложение 10.1.

Измерение пропорций тела.( в см.)

21:13=1,62 13:7=1,85 18:11=1,64 11:7=1,57

19:12=1,58 12:7=1,71 20:12=1,67 12:8=1,5

Рецензия

Работа представляет собой исследование по изучению «Золотого сечения». Актуальность работы заключается в том, что многих из нас притягивают к себе красивые картины, скульптуры, лица и фигуры людей. В своей работе Гостюхин Данила попытался ответить на вопрос, почему они так приятны взгляду и изучить связь между красотой и математикой.

Содержание работы полностью соответствует заявленной теме.

Исследовательская работа имеет логически правильную структуру. Она состоит из введение, основной части, заключения, спискаиспользованной литературы и приложения.

Во введении указывается актуальность исследования, ставятся цель и задачи, выдвигается гипотеза, а так же перечислены основные методы исследования. Цель работы четко сформулирована и обоснована.

В основной части перечислены основатели учения, введено понятия «золотого сечения», а так же приведены примеры золотого сечения в природе.

Так же, Данила проводил опрос, результаты которого представлены в виде диаграммы, и эксперимент.

Завершается работа выводами, в которых излагаются результаты исследования и подтверждение гипотезы.

Работу Данила выполнял самостоятельно, используя материалы Интернета и литературы, рекомендованной ему для исследования.

Работа грамотно оформлена. Она содержит большое количество иллюстративного материала, что позволяет более наглядно раскрыть ее основные результаты.

На протяжении всего периода работы над проектом у ученика формировались необходимые предметные знания и умения, общеучебные умения и навыки, необходимые компетентности.

Считаю, что научно-исследовательская работа Гостюхина Данилы может быть представлена на Международном конкурсе научно-исследовательских и творческих работ учащихся «СТАРТ В НАУКЕ» и заслуживает положительной оценки.