«Красоту математики можно увидеть
глазами, можно почувствовать сердцем,
но объять её можно только умом».
Ш.А. Амонашвили.
Актуальность: Многих из нас притягивают к себе красивые картины, скульптуры, лица и фигуры людей (приложение 1).
Почему они так приятны взгляду? Кто может ответить на вопрос, из чего состоит красота? Почему, мы сами и окружающие нас предметы пропорциональны? Пытаясь ответить на эти вопросы, я решил изучить связь между красотой и математикой.
Своей работой я хочу попытаться раскрыть тайны гармонии и погрузиться в увлекательный мир математики – науки, которая объясняет всё.
Бывают ли на свете числа, которые влияют на нашу жизнь? У каждого человека есть любимое или не любимое число. Но есть одно число, в котором кроется секрет гармонии во всём.
Если внимательно посмотреть на разные промежутки увиденного, потом соединить их в целое, то можно заметить логическую связь. Имя её: «Золотое сечение». (приложение 2.)
Цель: Изучить тему. Определить, практически. как математика влияет на красоту увиденного. Какие пропорции человека вызывают большее умиление? Действительно ли, путём вычислений, можно увидеть красоту и совершенство окружающих нас предметов? Для достижения этой цели поставлены задачи:
Изучить понятие золотого сечения.
На примерах найти применение золотого сечения.
Произвести опрос одноклассников.
Наглядно продемонстрировать связь математики и золотого сечения.
Сделать соответствующие выводы.
Гипотеза: Математика и «Золотое сечение» - идеальная красота, точность и гармония.
Методы исследования:
Сбор и получение научно значимой информации.
Обработка полученной информации.
Представление об изучаемом объекте.
Наблюдение. Сравнение. Применение.
Опрос одноклассников.
Оформление работы.
Основная часть.
«Математика… выявляет порядок, симметрию
и определённость, а это – важнейшие виды
прекрасного».
Аристотель.
1.1.Основатели учения
Искусство и математика появились много столетий назад. Правда в те времена люди даже и не догадывались о том, что в будущем нам это очень пригодится.
Находя во многих источниках материал о золотом сечении, мы знакомимся с одними и теми же фактами, которые исторически излагаются в одном и том же порядке.
Я хочу перечислить великих ученых и творческих личностей древности, которые разным способом были связаны с историей золотого сечения.
Моим современникам точно неизвестно, когда и кто именно ввел термин «золотое сечение». Но принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научное обращение древнегреческий философ и математик Пифагор.
Пифагорейцы изучали пропорции, т.е. равенства отношений. Они верили, что в основе всех вещей лежит число, и для того чтобы понять устройство мира, надо познать управляющие им числа.
Пифагорейцы не просто стремились всё измерять при помощи чисел, но и сравнивать измеренные величины, находя общую связь между ними.
Древнегреческий философ Платон (427-347 гг. до н. э.) свой диалог «Тимей» посвятил рассмотрению вопросов «золотого деления» школы Пифагора.
Евдокс Книдский (408-365 г.г. до н.э.) развил учение о пропорциях - одно из достижений греческой математики. Ввел понятие геометрической величины, т.е. длины отрезка.
Впервые золотое деление упоминается у древнегреческого математика Евклида в теоретическом трактате о математике «Начала». Во второй книге «Начал» даётся геометрическое построение золотого деления.
После Евклида, исследованием золотого деления, занимались древнегреческий математик и астроном Гипсикл Александрийский (II век до н.э.) и древнегреческий математик второй половины III века до н.э. Папп. Его трактат «Математическое собрание» является руководством для изучения греческой геометрии.
Некоторые авторы в своих работах связывают великого итальянского художника и изобретателя эпохи Возрождения Леонардо да Винчи с тем, что он дал этому делению название «Золотое сечение». Хотя термин был введён в обиход лишь в 1835 году немецким математиком Мартином Омом.
Монах Лука Пачоли, который был не только современником, но и другом Леонардо да Винчи назвал это отношение «Божественной пропорцией». (Приложение 3; Приложение 3.1.)
2.2. Знакомство с понятием золотого сечения.
«Есть в математике нечто вызывающее
человеческий восторг».
(Ф. Хаусдорф.)
Под «золотым сечением» понимается такое пропорциональное деление отрезка на неравные части , при котором , длина всего отрезка так относится к его большей части, как длина большей части - относится к меньшей.
С/В = В/А = 1,618
Золотое сечение обозначается символом Ф=1,618033989… Это значение названо в честь древнегреческого скульптора Фидия, который всегда использовал в своих работах золотое сечение. (приложение 6.)
Математик Фибоначчи , впервые , получил последовательность чисел, названной в его честь - числами Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. Этот ряд представляет собой такую последовательность, в которой каждый член равен сумме двух предыдущих. и т.д. При этом отношение двух соседних членов равно золотому сечению, т.е. числу Ф. Рассматривая закономерности, связанные с проявлением золотого сечения, обычно используют обратную величину числа
Алгебраически золотое сечение можно выразить дробями и т.д.
Проведём маленький эксперимент. Загадаем два любых числа. Пусть это будет 4 и 7. Составим третье число (сумму двух предыдущих). Это будет 11. Дальше запишем ряд, подобно примеру. Теперь, поделим пятнадцатое число на четырнадцатое. У нас получилось число Ф.
Геометрически найти золотое сечение отрезка можно с помощью линейки и циркуля.
2.3. Золотое сечение в природе
«Правильному применению методов
можно научиться только
применяя их на разнообразных примерах.»
(Г. Цейтен.)
Когда я начал готовиться к работе, то заметил, что зрительно делю окружающие меня предметы на части.
Мне очень нравится комната, в которой я живу. Она поделена на зоны: где я делаю уроки, занимаюсь спортом, отдыхаю. То есть комната поделена на неравные части.
При помощи рулетки, я измерил длину комнаты и расстояние, которое выделено для каждой зоны. Записал все данные в графическую таблицу. Разделив большее на меньшее , я получил значения: 1,56 и 1, 78. И пришёл к выводу, что такое деление приближено к золотому сечению. (Приложение 5 и 5.1.)
Такое соотношение размеров воспринимается глазом интуитивно, как приближённое к идеальному .
Поэтому, в пространстве, оформленном согласно золотому сечению, приятно жить, учиться и отдыхать.
В искусстве есть правило диагонального золотого сечения.
Его используют в основном тогда, когда в изображении есть несколько разных по смыслу областей. Для этого в прямоугольнике проводят диагональ. Затем из вершины необходимо провести перпендикуляр к проведённой диагонали. В результате получаются три треугольника разных размеров. В них и будут находиться объекты, которые имеют, каждый, свою значимость.
У меня дома есть картина. Я не знаю автора, но мне стало интересно узнать, чем она меня привлекает. Я решил применить правило диагонального золотого сечения и проверить: пользовался ли автор этим правилом? (Приложение 6.)
Проведя диагональ и перпендикуляр к ней, я получил 3 треугольника разных размеров. В большом - изображены здания в одном стиле и в одной цветовой гамме. В среднем треугольнике мы видим огромное небо и кроны деревьев, которые тянутся ввысь. В маленьком - здание более тёмных тонов, которое выходит на передний план.
Получается, что при помощи геометрических приёмов, я смог разобраться, каким образом, разные части увиденного , гармонично складываются в одно целое. Я понял, что эта работа выполнена в золотом сечении.
Золотое сечение встречается и в литературе. Чтобы это проверить я выбрал маленький детский стишок Агнии Барто «Козлёнок».
У меня живёт козлёнок,
Я сама его пасу.
Я козлёнка в сад зелёный
Рано утром отнесу.
Он заблудится в саду-
Я в траве его найду.
Если принять за 1 знак: слова, предлоги, знаки препинания, то получится 30 знаков. Я разделил 30 на число Ф (1. 618) и получил 19.
Отсчитав 19 знаков, я получил золотое сечение. Действительно стишок делится на две части. Каждая часть написана в разной рифмовке. Первая часть имеет перекрёстную рифму, вторая – парную, а в целом получился красивый, для восприятия, детский стишок.
Что общего в подсолнухе, рогов млекопитающих, лепестков роз? Их объединяет золотая спираль. Она вписывается в золотой прямоугольник. Отношение длины и ширины которого равно числу Ф.
Если последовательно отрезать от прямоугольника квадраты и вписывать в каждый из них по четверти окружности, мы получим золотую спираль.
Однажды, мне подарили ракушку. Готовя свою работу, я обратил на неё внимание. Внимательно рассмотрев подарок, увидел, что ракушка имеет форму спирали. Причём расстояние между ответвлениями, с каждым витком, увеличивается и приближается к пропорции золотого сечения . (Приложение 7.)
У любого человека есть свой взгляд на красоту увиденного. Бывает так, что некоторые вещи более притягивают к себе наш взор.
Я решил узнать мнение своих одноклассников. Показав четыре фотографии, попросил выбрать, кто им больше понравился. В опросе участвовали ученики нашей школы из 5 «б», 8 «а» и 9 «г» классов. Данные внёс в таблицу. (Приложения 8)
Результат опроса показал, что ребятам понравились лица, пропорции которых более приближённы к идеальным.
Есть определённые правила, по которым изображают фигуру человека. Основное деление человеческого тела - делится точкой пупка. Если фигуру человека перевязать поясом и отмерить потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека относится к длине от пояса до ступней.
Идеальным, совершенным считается тело, пропорции которого составляет золотое сечение.
Меня заинтересовал этот вопрос. Я попросил своих родных и друзей принять участие в эксперименте.
Сначала я замерил пропорции кисти руки у моей тети. Сделав замеры от запястья до косточек, от косточек до первой фаланги большого пальца, между фалангами, от второй фаланги до конца пальца. Получил значения: 8см.; 5см.; 3см.;2см. (Приложение 9.)
Замерив пропорции лица и тела моих друзей, результаты внёс в таблицу. Методом вычислений и сравнений пришёл к выводу, что в пропорциях человеческого тела наблюдается золотое сечение в большей или меньшей степени. (Приложение 10 и 10.1.)
Заключение
«Природа формирует свои законы
языком математики.»
(Г. Галилей.)
В ходе своей работы я познакомился с понятием золотого сечения, гармоничным и притягательным числом Ф. Выявил основные математические истоки пропорции золотого сечения и способы воплощения в искусстве, в литературе, в природе, в быту.
Эта пропорция занимает одну из ведущих ролей в нашей жизни. Был произведён опрос одноклассников, который подтвердил теорию о том, что более совершенные лица, притягивают к себе внимание.
На разных примерах я увидел и почувствовал, что число 1,618… притягивает к себе так же, как всё то, в чём оно встречается.
Понятно, что не всё в природе подчиняется правилам «золотого сечения», но там, где оно присутствует, выглядит более совершенным.
Подведя итог своей работе, я могу сказать, что математика тесно связана с теорией золотого сечения. А то, что красота может быть вычислена, доказывает красоту самой математики.
Список использованной литературы.
Лиман М. Н. Школьникам о математике и математиках. М: «Просвещение» 1981 г.
Марио Ливио . Ф- число Бога. Золотое сечение-формула мироздания. М: АСТ, 2015г.
Энциклопедия изобретений и открытий. От колеса до коллайдера. М: «Махаон» 2012г.
Агния Барто. Любимые стихи. М: «Олма медиа групп» 2011г.
Интернет.
Приложение 1.
Мона Лиза
Работа Леонардо да Винчи
1503-1505г.
Приятное взору лицо современной девушки
П
Объект, который должен быть центральной фигурой в композиции, не всегда располагается в центре. Существует 4 точки, на расстоянии 3/8 и 5/8 от краёв картины. Нарисовав сетку, получим эти точки, которые привлекают внимание.
риложение 2.
Приложение 3.
Пифагор. (580-500 г.г. до н.э.)
Платон (427-347 гг. до н.э.)
Евклид (408-365гг. дон.э.)
Приложение 3.1
Евдокс (408- ок.365 г.г. до н.э.) развил учение о пропорциях.
.
Леонардо да Винчи (1452-1519г.г.)
Лука Пачоли (1445-1517г.г.)
Приложение 4.
Фидий (1-я половина V века до н.э.)
Леонардо Фибоначчи (1170-1250 г.г.)
Приложение 5.
Приложение 5.1
Приложение 6.
Приложение 7.
Количество голосов |
|
Рис. 1 |
24 |
Рис. 2 |
1 |
Рис. 3 |
1 |
Рис. 4 |
2 |
Рис. 1. Рис. 2. Рис.3. Рис.4.
Приложение 9.
E
В
А
С
D
Приложение 10.
Приложение 10.1.
Измерение пропорций тела.( в см.)
Имя |
Рост |
Пол-пуп |
Пуп-макушка |
||||
Алина |
155 |
96 |
59 |
||||
Катя |
149 |
93 |
56 |
||||
Слава |
153 |
96 |
57 |
||||
Даня |
142 |
86 |
54 |
||||
155:96=1,61 96:59=1,63 149:93=1,6 93:56=1.67 153:96=1,6 96:57=1,69 142:86=1,66 86:54=1.6 Измерение пропорций лица. (в см.) |
|||||||
Имя |
Подбородок-макушка |
Подбородок-брови |
Брови-макушка |
||||
Алина |
21 |
13 |
7 |
||||
Катя |
18 |
11 |
7 |
||||
Слава |
19 |
12 |
7 |
||||
Даня |
20 |
12 |
8 |
21:13=1,62 13:7=1,85 18:11=1,64 11:7=1,57
19:12=1,58 12:7=1,71 20:12=1,67 12:8=1,5
Рецензия
Работа представляет собой исследование по изучению «Золотого сечения». Актуальность работы заключается в том, что многих из нас притягивают к себе красивые картины, скульптуры, лица и фигуры людей. В своей работе Гостюхин Данила попытался ответить на вопрос, почему они так приятны взгляду и изучить связь между красотой и математикой.
Содержание работы полностью соответствует заявленной теме.
Исследовательская работа имеет логически правильную структуру. Она состоит из введение, основной части, заключения, спискаиспользованной литературы и приложения.
Во введении указывается актуальность исследования, ставятся цель и задачи, выдвигается гипотеза, а так же перечислены основные методы исследования. Цель работы четко сформулирована и обоснована.
В основной части перечислены основатели учения, введено понятия «золотого сечения», а так же приведены примеры золотого сечения в природе.
Так же, Данила проводил опрос, результаты которого представлены в виде диаграммы, и эксперимент.
Завершается работа выводами, в которых излагаются результаты исследования и подтверждение гипотезы.
Работу Данила выполнял самостоятельно, используя материалы Интернета и литературы, рекомендованной ему для исследования.
Работа грамотно оформлена. Она содержит большое количество иллюстративного материала, что позволяет более наглядно раскрыть ее основные результаты.
На протяжении всего периода работы над проектом у ученика формировались необходимые предметные знания и умения, общеучебные умения и навыки, необходимые компетентности.
Считаю, что научно-исследовательская работа Гостюхина Данилы может быть представлена на Международном конкурсе научно-исследовательских и творческих работ учащихся «СТАРТ В НАУКЕ» и заслуживает положительной оценки.