III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ПОСТОЯННОЙ ШИРИНЫ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Окружность определяется как кривая, все точки которой отстоят на одно и то же расстояние от некоторой данной точки – центра. Это свойство окружности находит непосредственное практическое применение, например, в колесе обыкновенной повозки. Так как все спицы имеют равную длину, то втулка при вращении остается на постоянной высоте; этим обеспечивается горизонтальность движения повозки. Здесь важно то обстоятельство, что обе параллельные касательные к окружности удалены одна от другой на одно и то же неизменное расстояние как бы мы ни вращали круг между ними. Окружность имеет постоянную ширину во всех направлениях, она представляет собой кривую постоянной ширины. Возникает вопрос: является ли это свойство присущим исключительно окружности? Если существуют другие кривые постоянной ширины, то сколько их? Как можно получить эти кривые и каковы их общие свойства?
Итак, объектом исследования являются кривые постоянной ширины.
Предмет исследования – определение, способы построения и свойства кривых постоянной ширины.
Гипотеза исследования: существует бесконечно много кривых постоянной ширины, кривые этого типа имеют общие свойства.
Цель исследования: изучить понятия, общие свойства и способы построения кривых постоянной ширины. В соответствии с целью и выдвинутой гипотезой предполагается решить следующие задачи:
- изучить понятия «ширина замкнутой кривой», «кривая постоянной ширины», «выпуклая кривая»;
- рассмотреть способы построения кривых постоянной ширины;
- изучить некоторые свойства кривых постоянной ширины;
- познакомиться с применение на практике свойств кривых постоянной ширины.
§1. Кривые постоянной ширины, основные понятия
Ширина какой-либо замкнутой кривойC в заданном направлении определяется следующим образом. Все точки кривой C проектируются ортогонально на любую прямую заданного направления (рис. 1).
Рис. 1 Рис. 2
Совокупность проекций всех этих точек заполняет некоторый отрезок AB прямой, величина которого и выражает ширину данной кривой в этом направлении.
Каждый из двух крайних проектирующих лучей, проходящих через A и B, обладает тем свойством, что вся кривая располагается по одну сторону такого луча, имея, однако, с ним хотя бы одну общую точку. Прямые, обладающие таким свойством в отношении некоторой кривой, называются ее опорными прямыми.
Для замкнутой кривой в любом направлении существуют две опорные прямые. Убедиться в этом можно или из рис. 1, повторив для различных направлений выполненные на нем построения или проведя (рис. 2) две произвольные параллельные прямые заданного направления так, чтобы кривая расположилась между ними, а затем взаимно сближая их, пока они не коснутся кривой.
Нужно, однако, при этом заметить, что понятие опорной прямой не совпадает с понятием касательной.
Рис.3 Рис. 4
Для кривой постоянной ширины b две любые параллельные опорные прямые удалены одна от другой на одно и то же постоянное для всех направлений расстояние b. Если к кривой провести две пары параллельных опорных прямых (рис. 3), то получающийся при этом параллелограмм будет ромбом. Если эти пары взаимно перпендикулярны, то ромб будет прямоугольником и, следовательно, обратится в квадрат. Стороной этого квадрата будет b − ширина кривой. Поэтому все квадраты, описанные вокруг кривой постоянной ширины, равны. Это свойство можно сделать наглядным посредством модели, состоящей из кривой постоянной ширины, вырезанной, например, из картона, и квадратной рамки. Если сторона этой рамки равна ширине кривой, то рамка подходит к кривой при всяком ее положении, т. е. эту рамку можно вращать вокруг кривой постоянной ширины так, что она всегда будет плотно охватывать эту кривую. Обратное соотношение также имеет место: любую кривую постоянной ширины можно вращать внутри квадрата так, что она постоянно будет прилегать к его сторонам, и всякая кривая, обладающая этим свойством, должна быть, очевидно, кривой постоянной ширины.
Простейшая кривая постоянной ширины, не являющаяся окружностью, − это равносторонний треугольник, составленный из дуг окружностей таким образом, что каждая вершина его совпадает с центром противолежащей дуги (рис. 4). Все три дуги имеют один и тот же радиус, который и представляет собой постоянную ширину b кривой. Ведь из двух параллельных опорных прямых либо одна непременно проходит через вершину, а другая касательная к противолежащей дуге, либо обе проходят через вершины, и тогда они обе в этих вершинах касательные к дугам. И в том и в другом случае расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине радиуса, перпендикулярного к касательной в точке касания.
Из всех кривых постоянной ширины этот дуговой треугольник был первым замечен в технике. Механик Рело (Reuleaux) в своей классификации механизмов установил, что эта фигура допускает вращение внутри квадрата при постоянном соприкосновении с его сторонами, а это свойство характерно для всех кривых постоянной ширины.
§2. Построение кривых постоянной ширины
1 способ. Пусть ABCDE− правильный пятиугольник, большая из диагоналей которого равна h. Из каждой вершины пятиугольника радиусом h проведем дугу окружности, соединяющую две противоположные вершины (рис. 5). Полученная выпуклая кривая будет кривой постоянной ширины, ибо из каждых двух параллельных опорных прямых одна проходит через вершину пятиугольника, а другая касается противоположной дуги; поэтому расстояние между ними равно h.
Рис. 5
Такое же построение можно проделать для любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон. (Многоугольник должен иметь нечетное число сторон потому, что у каждой вершины должно быть две противоположные вершины, которые соединяются дугой окружности радиуса h.)
Рис. 6
Заметим, что в нашем построении нет необходимости требовать, чтобы исходный многоугольник с нечетным числом сторон был правильным. Необходимо лишь, чтобы все диагонали многоугольника, соединяющие какую-либо его вершину с одной из двух противоположных ей вершин (число таких диагоналей равно числу вершин многоугольника), имели одну и ту же длину h, а все остальные диагонали и все стороны многоугольника были бы короче h. Нетрудно убедиться, что этими свойствами обладают многие многоугольники, не являющиеся правильными. Проведем из каждой вершины такого многоугольника дугу окружности радиуса h, соединяющую две противоположные вершины (рис.6). Полученная выпуклая кривая является кривой постоянной ширины. Из каждой пары параллельных опорных прямых одна проходит через вершину многоугольника, а другая касается дуги окружности, соединяющей две противоположные вершины, и поэтому расстояние между ними равно h.
2 способ. Лежащая в основе треугольника Рело конструктивная идея, согласно которой дуги окружностей равного радиуса располагаются так, что каждой вершине противолежит некоторая описанная из этой вершины дуга, может быть реализована самыми разнообразными способами. Некоторую точку В плоскости фиксируют как вершину и из нее радиусом, равным b, описывают дугу окружности. На этой дуге берут две новые точки А и С. Дуга радиуса b, описанная из С, пройдет через В, так как ВС=b, согласно только что выполненному построению. Некоторую точку D на этой дуге принимают за новую вершину. Дуга радиуса b, описанная из D, пройдет через С. Чтобы возникающую в таком построении фигуру сделать замкнутой, новую вершину Е нужно взять на этой дуге не произвольно, а так, чтобы она одновременно лежала и на дуге, описанной из точки А радиусом b и проходящей через В; иначе говоря, эта вершина должна определяться пересечением двух дуг. Таким путем получается пятиугольный дуговой многоугольник ADBEC постоянной ширины (рис. 7а). Путем повторения аналогичных построений можно получить многоугольники и с большим числом вершин, также являющиеся кривыми постоянной ширины.
Рис 7а Рис. 7б
На рис. 7б показан подобного рода семиугольник. Из того, что против каждой вершины лежит дуга радиуса b с центром в этой вершине, непосредственно следует, что в результате описанного построения должны получаться многоугольники постоянной ширины. Для некоторых дальнейших применений соединим радиусами каждую вершину этого дугового многоугольника с двумя вершинами противолежащей дуги. В результате внутри нашего дугового многоугольника образуется прямолинейный многоугольник с равными взаимно пересекающимися сторонами. В каждой вершине стороны этого многоугольника образуют центральный угол противолежащей дуги.
Утверждение. Построенные описанным приемом дуговые многоугольники всегда имеют нечетное число сторон.
Доказательство. Действительно, отметим какую-либо вершину и противолежащую ей сторону и будем, начиная с этой вершины, обходить дуговой многоугольник вдоль его периметра. Мы пройдем при этом сначала одну сторону, потом вершину, потом опять сторону и снова вершину и т. д., пока не достигнем вершины, непосредственно предшествующей отмеченной ранее стороне. Всего на этом пути между отмеченной вершиной и отмеченной стороной окажется столько же вершин, сколько и сторон; положим, что тех и других будет по n. Но этот переход от отмеченной вершины к отмеченной стороне можно совершить и иначе, начиная движение от отмеченной вершины в противоположном первоначальному направлении. При этом мы также пройдем nсторон и n вершин, так как против каждой стороны первого маршрута лежит вершина второго маршрута, против каждой вершины первого − сторона второго. К этому нужно присоединить еще отмеченную вершину и отмеченную сторону; в общем, таким образом, у нас получится 2n+1 вершин и столько же сторон.
3 способ. Исходя из рассмотренных выше дуговых многоугольников, имеющих вершины, можно построить также и кривые постоянной ширины без вершин. С этой целью построим кривую, параллельную данному дуговому многоугольнику и расположенную вне его на расстоянии d (рис. 8а, 8б, 8в).
Рис 8а Рис. 8б Рис. 8в
Это легко выполнить с помощью начерченного нами диагонального многоугольника. Для этого просто увеличивают радиус каждой дуги на одну и ту же постоянную величину d, оставляя прежний центр. Вершина первоначального дугового многоугольника, которую можно рассматривать как дугу радиуса, равного нулю, заменяется в новой кривой дугой радиуса d. Возникающая таким образом кривая составляется из нечетного числа дуг двух различных радиусов. Две дуги различных радиусов имеют общую точку (соответствующую вершине основной кривой).
4 способ. Наконец, можно прийти и к более общим типам дуговых многоугольников постоянной ширины, если допустить, что число различных радиусов больше двух, и сохранить принцип построения только что начерченных фигур, состоящий в том, чтобы противолежащие дуги были описаны из одного центра и опирались на одинаковые углы (рис.9).
Рис. 9
Приведенный способ построения дает нам бесчисленное множество кривых постоянной ширины. Все эти кривые отличаются, однако, той особенностью, что они составлены исключительно из дуг окружностей. Во избежание недоразумений здесь же отметим, что существуют и такие кривые постоянной ширины, в которых даже самая ничтожная дуга не принадлежит окружности.
§3. Некоторые свойства кривых постоянной ширины
После этих отдельных примеров кривых постоянной ширины приведем несколько общих теорем, относящихся ко всем кривым этого типа. Во всех этих примерах встречаются только выпуклые кривые, т. е. такие, которые имеют лишь две общие точки с секущей прямой. Для простоты мы и в дальнейшем будем рассматривать только выпуклые кривые, имея их в виду даже в тех случаях, когда свойство выпуклости и не будет специально оговорено.
Дадим точное определение: выпуклой кривой называется кривая, ограничивающая выпуклую область; выпуклая же область характеризуется тем, что если две любые, принадлежащие этой области, точки соединить отрезком, то весь этот отрезок будет также лежать в этой области.
Примерами выпуклых областей являются квадрат, круг, треугольник, эллипс, а также вышеприведенные области постоянной ширины. Опорная прямая выпуклой области имеет с ее границей или только одну общую точку или целый общий отрезок.
Теорема 1. Расстояние между двумя точками кривой постоянной ширины b не может превышать b.
Доказательство. Действительно, если P и Q − точки кривой (рис. 10), то отрезок PQ должен быть расположен между парой опорных прямых, перпендикулярных к этому отрезку, и, следовательно, расстояние между этими опорными прямыми не может быть меньше PQ. Так как это расстояние равно b, что и требовалось доказать.
Рис. 10 Рис.11
Теорема 2. Кривая постоянной ширины с каждой из своих опорных прямых имеет лишь по одной общей точки.
Доказательство. Чтобы доказать теорему 2, допустим обратное: на опорной прямой sлежат две точки и кривой (рис. 11). С противоположной стороны кривой проведем вторую опорную прямую s', параллельную данной. Пусть на этой s' лежит точка Q кривой. Расстояние между s и s' пусть будет опять b.
Так как в треугольнике Q не может быть двух прямых углов, то отрезки и , не могут быть одновременно перпендикулярны к s. Поэтому один из них должен быть больше b, что противоречит теореме1. Таким образом, допущение, что наша кривая имеет две общие точки с опорной прямой, ведет к противоречию, и теорема 1 доказана.
Если мы еще раз воспользуемся тем фактом, что только перпендикуляр к обеим опорным прямым имеет длину b, все же другие линии, соединяющие опорные прямые, больше b, тогда получим следующую теорему.
Теорема 3. Отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к кривой постоянной ширины, перпендикулярен к опорным прямым.
Теорема 4. Через любую точку кривой постоянной ширины проходит по крайней мере одна опорная прямая.
На кривой постоянной ширины могут быть такие точки, через которые проходит больше одной опорной прямой. Такие точки называют вершинами. Кривые с вершинами встречались в наших примерах. Так как все прямые, лежащие внутри угла между двумя опорными прямыми вершины, очевидно, также являются опорными прямыми, то это значит, что через вершину выпуклой кривой проходит целый пучок опорных прямых (рис. 12). Среди этих опорных прямых имеются две крайние, ограничивающие пучок.
Если P − произвольная точка кривой С, то по теореме 4 мы можем провести через нее опорную прямую s к кривой С. Восстановим в точке Р перпендикуляр к s; он пересечет кривую С в противолежащей точке Q, причем PQ имеет длину b. Окружность описанная из Q как из центра радиусом b, объемлет b и касается s.
Рис.12
Эти свойства мы обобщаем в следующей теореме.
Теорема 5. Через каждую точку Р кривой постоянной ширины проходит окружность радиуса b, объемлющая кривую, причем опорная прямая, проведенная к кривой через Р, касается этой окружности в точке Р.
Простейшая, отличная от окружности кривая постоянной ширины, а именно многоугольник Рело, имеет вершины. Следующая теорема показывает, что одно отличительное свойство этого многоугольника выделяет его среди других кривых постоянной ширины.
Теорема 6. Угол при вершине кривой постоянной ширины не может быть меньше чем 120º. Единственной кривой постоянной ширины, имеющей угол при вершине в 120º, является треугольник Рело, у которого и остальные два угла при вершинах имеют также по 120º.
Доказательство. Угол при вершине мы изменяем как угол между крайними опорными прямыми пучка при вершине. Если (рис. 13) угол при вершине Q равен ϑ, то для пучка опорных прямых остается отверстие в 180º − ϑ, которое измеряется углом P1QP2. Каждый перпендикуляр от точки Q до противолежащей точки кривой имеет длину b (согласно теореме 3). Следовательно, против вершины Q на кривой лежит дуга P1P2 круга радиуса b, соответствующая центральному углу 180º − ϑ. Длина хорды P1P2,
Рис. 13 Рис. 14
стягивающей эту дугу, на основании теоремы 1 не может превзойти ширины кривой b. Поэтому в равнобедренном треугольнике QP1P2 с боковыми сторонами, равными b, основание P1P2не может быть больше боковых сторон QP1 и QP2. Следовательно, угол при вершине Q в этом треугольнике может быть равен, самое большее, 60º. Но этот угол P1QP2, как уже было показано, равен 180º − ϑ, поэтому мы имеем 180º − ϑ ≤ 60º, откуда ϑ ≥ 120º. Так как угол ϑ соответствует произвольно выбранной вершине Q, то первая часть теоремы доказана.
Если теперь угол при вершине ϑ=120º, то угол P1QP2 равен 60º, и равнобедренный треугольник QP1P2 становится при этом равносторонним (рис. 14). Тогда длина P1P2 в точности равна b. Так как эта длина в то же время равна ширине кривой, то обе перпендикулярные к P1P2 опорные прямые s1 и s2 должны проходить через точки P1 и P2. Отсюда мы убеждаемся в том, что обе эти точки также должны быть вершинами нашей кривой. Ведь уже установлено, что отрезок кривой P1P2 есть дуга окружности. В точке P1 опорной прямой является не толькоs1, но также и касательная t1 (в точке P1) к дуге окружности. Эти опорные прямыеs1 и t1образуют, как легко заметить, внутренний угол 120º. Значит, угол при вершине P1, а также и при вершине P2 в точности равен 120º. Значит, угол при вершине P1 и P2 обладают теми же свойствами, что и вершина Q. Против них лежат дуги окружностей радиуса b, соответствующие центральным углам по 60º. Но тем самым мы и получили как раз дуговой треугольник Рело и, таким образом, доказали и вторую часть теоремы.
Теорема 7. Все кривые одной и той же постоянной ширины hимеют один и тот же постоянный периметр, равный длине окружности диаметра h.
Доказательство. Докажем это свойство для дуговых многоугольников, рассмотренных выше. На рисунке 5 угол CAD равен 36º, поэтому каждая из пяти дуг, составляющих кривую, имеет длину , а длина всей кривой равна πh. Для любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон центральный угол каждой дуги будет равен , и общая длина кривой будет равна .
Покажем, что длина полученной кривой на рис. 6 также равна πh. Обозначим через φk угол An+k-1AkAn+k (An+k-1 и An+k − вершины, противоположные Ak). Тогда дуга, соединяющая точки An+k-1 и An+k, стягивает центральный угол φk. Таким образом, рассматриваемая кривая состоит из
2n-1 дуг окружностей радиуса h, которые вместе составляют дугу, стягивающую угол φ1+φ2+...+φ2n-1. Если мы докажем, что
φ1+φ2+...+φ2n-1=180º, то отсюда будет следовать, что длина нашей кривой равна длине полуокружности радиуса h, т. е. равна πh.
Рассмотрим треугольники, вершинами которых являются произвольная вершина Ak и противолежащие ей вершины An+k-1 и An+k (такой треугольник, соответствующий k=1, заштрихован на рис. 6). Число таких треугольников равно 2n-1, следовательно, сумма углов всех этих треугольников равна (2n-1)∙180º. С другой стороны, сумма всех углов многоугольника А1А2...А2n-1, причем углы φ1, φ2, ..., φ2n-1 встречаются в этой сумме по три раза (так, например, угол φ1 входит в сумму треугольников A1AnAn+1, An+1A1A2, AnA1A2n-1). Таким образом, сумма углов всех указанных треугольников равна сумме углов (2n-1)-угольника плюс удвоенная сумма φ1+φ2+...+φ2n-1.
Итак,φ1+φ2+...+φ2n-1), откуда получаем: φ1+φ2+...+φ2n-1=180º
Свойства, установленные в теоремах 1- 7 относятся ко всем вообще кривым постоянной ширины, хотя в этих теоремах не сказано об их существовании.
Заключение
В результате проделанной работы удалось ответить на интересующие нас вопросы: существуют ли кривые постоянной ширины, отличные от окружности, сколько таких кривых, как можно получить эти кривые и какие общие свойства они имеют. При этом были рассмотрены понятия: «ширина замкнутой кривой», «опорная прямая», «кривая постоянной ширины», «выпуклая кривая», «выпуклая область».
Оказалось, что существует бесконечно много кривых постоянной ширины. Построить их можно различными способами. В работе приведены четыре способа построения: на основании правильного или неправильного многоугольников с нечетным числом сторон; построение дуговых многоугольников постоянной ширины с вершинами и без вершин; построение более общих типов дуговых многоугольников постоянной ширины, с числом различных радиусов большим двух. Было также выяснено, что существуют и другие способы построения. Все рисунки, представленные в работе, были выполнены мною в программе Solid Works.
После этих отдельных примеров кривых постоянной ширины были рассмотрены семь теорем, описывающих общие свойства кривых этого типа. При этом были выяснены ряд интересных свойств, например, на кривой постоянной ширины могут быть такие точки, через которые проходит больше одной опорной прямой или угол при вершине кривой постоянной ширины не может быть меньше чем 120º. Единственной кривой постоянной ширины, имеющей угол при вершине в 120º, является треугольник Рело, у которого и остальные два угла при вершинах имеют также по 120º. Оказалось, что все кривые одной и той же постоянной ширины hимеют один и тот же постоянный периметр, равный длине окружности диаметра h.
В ходе написания работы мы узнали, что свойства кривых постоянной ширины находят практическое применение. Например, треугольник Рело используется во многих механических устройствах (сверло Уаттса), в автомобильных двигателях, в грейферном механизме в кинопроекторах, применяется в кулачковых механизмах швейных машин зигзагообразной строчки. В качестве кулачка его использовали немецкие часовые мастера. Треугольник Рёло – распространённая форма плектра (медиатора): тонкой пластинки, предназначенной для приведения в состояние колебания струн щипковых музыкальных инструментов.
Таким образом, мы считаем, что цели работы достигнуты.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ,
1. Болтянский В.Г, Яглом И.М. Выпуклые фигуры. М. – Л.: ГТТИ. 1951.
2. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. М.: Физматгиз. 1962.
3. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп: Пер. с польского. – М.: Наука. Главная редакция физико – математической литературы, 1981.