III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ЗАГАДОЧНАЯ ЛЕНТА МЕБИУСА
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Различные исследования — это поход в неизвестность, движение к новым знаниям и открытиям. Математическое исследование «Листа Мёбиуса», лишь слегка приоткрывает занавес, за которым скрывается изумительно красивый мир науки. У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое «поверхность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии?
Проблема:
Узнать, что такое «лист Мёбиуса» и как его можно использовать.
Гипотезы исследования:
Вероятно Мёбиус-это учёный.
А что если лист Мёбиуса растёт на дереве «Мёбиус»?
Скорей всего на листе Мёбиуса можно писать, делать рисунки, резать его на части.
Возможно, лист Мёбиуса применяется в технике и искусстве.
Цель:
Выяснить, что такое Мёбиус?
Задачи исследования:
1.Прочитать математическую литературу, в которой авторы рассказывают о таком объекте как «Мёбиус», исследовать полученную информацию.
2.Познакомиться со свойствами листа Мёбиуса.
3. Выяснить, где применяется лист Мёбиуса.
4.Изучить опыты с листом Мёбиуса, которые описываются в математической литературе и провести эксперименты.
1.1. Историческая справка.
Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: «лента Мёбиуса») придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса.
Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений.
И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых — лист Мёбиуса.
В 1858 году Август Фердинанд Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.
Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, – в 1862 году.
Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера), – две стороны.
1.2. Что такое лист Мёбиуса?
Лист Мёбиуса — это простейшая односторонняя поверхность с краем (Приложение I) Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Всякая замкнутая поверхность, лежащая в трёхмерном пространстве, разделяет его на две части — ограниченную «внутренность» и неограниченную «внешность», подобно тому, как замкнутая кривая разделяет плоскость на две части. Самое же удивительное, пожалуй, то, что я смогу её сделать своими руками и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги и для ясности обозначим углы с одной стороны ленты А и В, а с другой – C и D. Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180о. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса. (Приложение I)
1.3. Топология как наука.
В ходе исследования я узнала, что Мёбиуса считают основателем топологии.
Лист Мёбиуса — один из объектов области математики под названием «топология» (по-другому — «геометрия положения»). Удивительные свойства листа Мёбиуса — он имеет один край, одну сторону, не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).
С точки зрения топологии баранка и кружка — это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар — разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину. Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоган Бенедикт Листинг. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – «взрыва» фигуры. Поэтому иногда топологию называют «геометрией непрерывности». Она известна и под именем «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.
1.4. Свойства листа Мёбиуса.
Из статьи «Элементы топологии на примере листа Мёбиуса» я узнала о свойствах этого топологического объекта.
1. Односторонность. У листа Мёбиуса – всего одна сторона. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: если начать постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен.
2. Непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.
Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паука, а на внутреннюю сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее!.
3. Связность. Лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.
4. Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.
1.5. Применение листа Мёбиуса в жизни.
Лист Мёбиуса находит многочисленное применение в науке, технике, искусстве и в изучении свойств Вселенной.
Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике:
- полоса ленточного конвейера, шлифовальная лента, выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается.
- в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).
- в матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это дает ощутимую экономию.
Лист Мёбиуса в искусстве служит вдохновением для скульптур и для графического искусства. Мауриц Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил ему работы. Одна из известных, показывает муравьёв, ползающих по поверхности листа Мёбиуса – «Лента Мёбиуса-II». Замкнутая кольцеобразная полоса на первый взгляд имеет две поверхности – внешнюю и внутреннюю. Вы видите, как 9 красных муравьёв один за другим ползут по той и по другой. Тем не менее, это полоса с односторонней поверхностью. Даже мастерицы – рукодельницы изготавливают шарфики, закрученные в эту чудо ленту. Писатели-фантасты сочиняют о ней произведения, поэты посвящают ей стихи.
Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса, представленного в моей работе, состоит в том, что он дал толчок новым исследованиям. Математические исследования продолжаются и в наши дни. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.
2.1. Эксперименты «Сюрпризы листа Мёбиуса»
Мною проведено несколько экспериментов с листом Мёбиуса, в которых я постаралась ответить на интересующие меня вопросы, и сделала определённые выводы.
Для работы нужно подготовить достаточное количество бумажных лент, с которыми будут проводиться эксперименты.
Хороши ленты, у которых длина примерно в 4 раза больше ширины. При разрезании листов Мёбиуса, склеенных из более узких лент, получатся слишком тонкие «кольца».
Итак, нам для работы понадобится набор лент, клей и ножницы.
Опыт № 1
Что получится, если начать закрашивать лист Мёбиуса с одной стороны, не переходя через край, какая часть ленты окажется закрашенной?
Исходный материал – лист Мёбиуса.
Постепенно окрашиваем его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места.
Результат окрашивания – весь лист полностью окрашен
(Приложение В. Опыт №1).
Это подтверждение того, что лист Мёбиуса односторонняя поверхность.
Опыт № 2.
Что произойдёт с обычным кольцом, если его разрезать посередине?
Исходный материал – обычное кольцо, склеенное из полоски бумаги.
Результат разрезания кольца посередине – два отдельных обычных
кольца (Приложение В. Опыт № 2).
Свойства – длина окружности та же, но кольца в два раза уже исходного.
Опыт № 3.
А если лист Мёбиуса разрезать посередине (то есть на 2 полоски)?
Исходный материал – лист Мёбиуса.
Результат разрезания кольца посередине – одно кольцо.
(Приложение В. Опыт № 3).
Свойства – кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но в два раза уже.
Опыт № 4.
Каков результат разрезания листа Мёбиуса на 3 полоски?
Исходный материал — на обеих сторонах ленты на равном расстоянии от краев проводим по две пунктирные линии. Склеиваем лист Мёбиуса. Разрезаем по пунктирным линиям (на 3 полоски).
Результат разрезания – получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Второе — лист Мёбиуса — состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса. (Приложение В. Опыт № 4).
Опыт № 5.
Исходный материал — лента шириной 5 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см и 4 см. Сделаем из неё лист Мёбиуса. Разрезаем его по пунктиру (на 5 полосок).
Результат разрезания – получим 3 кольца: I — лист Мёбиуса — 1 перекрут, ширина 1 см, длина равна длине исходного кольца. II, III — кольца с двумя перекрутами, ширина 1 см, длина в 2 раза больше исходного листа. II и III кольцо сцеплены с I кольцом и между собой.
Заключение
«Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель. А математика замечательный предмет для удивления. В ходе математического исследования я узнала много нового и интересного, необычного. Чтобы проверить свои гипотезы, я читала книги, работала с различными источниками информации в сети Интернет, проводила эксперименты.
Выводы:
Поставленной цели я достигла, так как я теперь знаю, что Мёбиус – это великий немецкий учёный, который внёс огромный вклад в развитие науки. Таким образом, получается, что верна первая гипотеза, а предположение что лист Мёбиуса растёт на дереве «Мёбиус» совершенно не верно. Ещё по ходу исследования я узнала, что наука топология – это раздел математики, изучающий явление непрерывности и познакомилась со свойствами листа Мёбиуса. Предположение о применении листа Мёбиуса (ленты Мёбиуса) в технике и искусстве оказалось верным. Ленту Мёбиуса можно встретить в различных сферах деятельности человека. Гипотеза о том, что на листе Мёбиуса можно писать, делать рисунки, резать его на части – верна частично. Ведь писать и рисовать удобнее в тетради и альбоме, а вот разрезая его на части можно проводить различные увлекательные эксперименты.
Список литературы
1. Стройк Д.Я. (перевод с немецкого и дополнения Погребысского И.Б.) Краткий очерк истории.
2. Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Мёбиус, Август Фердинанд
3. Август Мёбиус http://www.calend.ru/person/2637/|
4.Статья: Что такое лист Мёбиуса? http://www.genon.ru
5.Лэнгдон Н., Снейп Ч. «С математикой в путь» Издательство «Педагогика»,
1987г., с. 42-43
6. Леонова О.А. Введение в топологию «Лист Мёбиуса».
7. Статья: Трогаем бесконечность. Мебиус, Клейн и другие топологические парадоксы http://www.log-in.ru/articles/1360/
8. Статья: Элементы топологии на примере листа Мёбиуса http://sola.narod.ru/top.htm
10. Кордемский Б.А, Топологические опыты своими руками. Квант. 1974
11.Статья: Преобразования Мебиусаhttp://www.smartvideos.ru/mebius-transfor
12. Искусство и технология http://dik.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/
Приложения.
Приложение А
Приложение I Построение листа Мёбиуса
Приложение II Лист Мёбиуса
Приложение III
Гравюра Маурица Эшера «Лента Мёбиуса II»
Приложение Б
Опыт №5