III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЦЕНТРОВ СЛОЖНЫХ ФИГУР

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Сенагатуллина А.К. 1

---

1МБОУ "Биляр-Озерская СОШ" Нурлатского МР РТ

Токарева Е.Г. 1

---

1МБОУ "Биляр-Озерская СОШ"

Работа в формате PDF

342.5 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

«Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.» Эти слова принадлежат М.И. Калинину.

И действительно, это так, на сегодняшний день, в век инновационных технологий эта крылатая фраза имеет еще большое значение в современной жизни человека. Лишь математика как самый надежный инструмент может представить истину познания человеку в абсолютно любой области.

Тема определения центров областей, губерний, республик не нова. Многие территориальные образования уже давно обзавелись стелами, памятными камнями, обозначающими географический центр. Над этим работали и студенты, и научные работники и обучающиеся школ. И я тоже задалась проблемой определения центра неправильной фигуры, в первую очередь методов, понятных и доступных для большинства обучающихся, также проверки этого метода всеми возможными способами, ну и конечно, определение самого центра, для исследования которого взяла город Нурлат.

Цель проекта: найти центр г. Нурлат

Задачи проекта:Рассмотреть приемы исследовательской деятельности, методы, формы и способы научного исследования, научного познания.Формировать мотивацию исследовательской деятельности.Формировать творческую активность.Развивать самостоятельность.

Ожидаемые результаты:

Узнать методы и приемы определения центра сложных фигур, в частности географического центра города Нурлат;ощутить себя в роли экспериментатора, провести простые, но поучительные опыты по определению центров различных фигур;

закрепить вычислительные навыки, навыки вычисления площадей геометрических фигур, что позволит успешно сдать экзамены по математике.

План работы:

1. Выбор направления и темы работы2. Постановка цели и задач3. Изучение теории4. Поиск и подготовка материалов5 Проверка точности теоретических вычислений опытным путем.

6. Выводы7. Оформление работы и Презентация.

Историческая справка

Центр тяжести - неизменно связанная с твердым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.), центр тяжести находится в центре симметрии тела.

Понятие о центре тяжести было впервые изучено примерно 2200 лет назад греческим геометром Архимедом, величайшим математиком древности. С тех пор это понятие стало одним из важнейших в механике, а также позволило сравнительно просто решать некоторые геометрические задачи.

У каждого предмета есть центр тяжести. Изучение этого свойства тел необходимо для понимания понятия равновесия тел, при решении конструкторских задач, расчете устойчивости сооружений и во многих других случаях.

Теоретическая часть

1. Понятие о центре тяжести

Каждое тело можно представить как систему материаль­ных частиц, взаимодействующих с Землей. Суммарный результат этого взаимодействия — равнодействующая эле­ментарных сил тяжести. Точка приложения этой равнодей­ствующей называется центром тяжести тела. По­скольку элементарные силы тяжести образуют систему параллельных сил, то центр тяжести обладает всеми свой­ствами центра параллельных сил. Следовательно, при лю­бом положении тела в пространстве положение центра тяжести остается неизменным.

2. Определение центра тяжести плоских фигур

Положение центра тяжести плоских фигур (т. е. весьма тонких тел) можно определить анали­тически и экспериментально.

Аналитически центр тяжести находится как центр параллельных сил. При этом возможны три случая:

фигура имеет две оси симметрии — центр тяжести нахо­дится на пересечении осей;

фигура имеет одну ось симметрии — центр тяжести лежит на этой оси, необходимо отыскать одну координату;

фигура не имеет осей симметрии — положение центра тяжести заранее неизвестно, надо определить две координаты.

Заданную фигуру разбивают на простейшие, положение центров тяжести которых вполне определенно, и затем подсчитывают искомые координаты по следующим формулам:

х_с = ;

(1)

y_c= ,

где х₁, х₂, …,хn и у_1,,у₂,…, уn – координаты центров тяжести простейших фигур;

S₁, S₂,…, Sn – площади простейших фигур.

3. Центр тяжести простых фигур

Отрезок – его середина;

Параллелограмм – точка пересечения диагоналей;

Треугольник – точка пересечения медиан;

Круг – его центр.

4. Центр тяжести сложной фигуры

Задача 1. Определить координаты цен­тра тяжести однородной пластинки, изобра­женной на рисунке, зная, чтоАН=2см, HG=1,5см, AB=3см, BK=10см, EF=4см, ED=2см.

Решение. Фигура не имеет осей симметрии, следовательно, для определения центра тяжести надо найти две его координаты. Проводим оси Ох и Оу и разби­ваем пластину на три прямоугольника: AHGL, LRKB и EDRF (линии разреза показаны на рисунке). Вычисляем коорди­наты центров тяжести каждого из прямоугольников и их пло­щади:

Для прямоугольника AHGL S₁=AH∙HG; x₁= ; y₁=LB+.

Так как LB=AB-HG=3-1,5=1,5см, то S₁=2∙1,5=3 см²; x₁==1 см; y₁= 1,5+=1,5+0,75=2,25 см .

Для прямоугольника LRKB S₂=BK∙LB; x₂= ; y₂=,

т.е. S₂=10∙1,5=15 см²; x₂==5 см; y₂==0,75 см.

Для прямоугольника EDRF S₃=BD∙EF; x₃=BK-; y₃=LB+,

т.е. S₃=2∙4=8 см²; x₃=10-=9 см; y₃= 1,5+=3,5 см.

По формулам (1) получаем:

X_c==5 см; Y_c==1 см.

5. Координаты центра тяжести площади треугольника.

Разобьем площадь треуголь­ника ABD на бесконечно тонкие элемен­тарные полоски, параллельные основа­нию AB. Центр тяжести каж­дой такой полоски расположен в ее середине. Геометрическое ме­сто центров тяжести всех полосок есть медиана OE. На ней поэтому и должен ле­жать центр тяжести всего треугольника. Так как такое же рассуждение спра­ведливо и для двух других медиан, то центр тя­жести треугольника лежит в точке пересече­ния его медиан. При задании вершин треугольника их координатами получим

X_C=(x_A+xB+x_D); (2)

Y_C=(y_A+yB+y_D)

Экспериментальный способ основан на том, что при любом положении тела линия действия силы тяжести проходит через центр тяжести и заключается в последова­тельном подвешивании тела (плоской фигуры) за любые две точки. На пересечении отвесов, проходящих через эти точки, и будет находиться центр тяжести. Проверить это можно, если на остриё карандаша поместить фигуру в найденном центре тяжести. Она окажется в равновесии.

Практическая часть.

Изначально был найден центр Нурлатского района, он находится вблизи села Тюрнясево. А я задумала найти центр города Нурлат. Сейчас эта тема достаточно популярна. Я в своей работе сделала возможным найти приблизительные координаты этого исторического места, и тем не менее считаю работу выполненной. Положительный момент, который мне помог в вычислениях - это относительно ровный ландшафт, а сложность в том, что конфигурация территории города извилистая. Не каждое территориальное образование имеет географический центр, например, центр территории России невозможно найти, т.к. она имеет острова и Калининградскую область, расположенные обособленно.

Перед началом работы я разобрала теоретические вопросы, изучила методы и приемы определения центра различных фигур. Опробовала эти методы на простейших фигурах, затем перешла к более сложным фигурам, центр тяжести которых определяется методом группировки.

Определение центра города Нурлат Нурлатского района республики Татарстан

1. Для определения границ Нурлата я воспользовалась генеральным планом-схемой, которая размещена на сайте Нурлатского муниципального района http://nurlat.tatarstan.ru/rus/generalniy-plan-goroda-nurlat.htm .(Рис.1)

2. Далее увеличенное изображение карты перенесла на миллиметровую бумагу, т.к. требовалась работа с координатами.(Рис.2)

3. Затем разбила территорию города на множество простейших фигур, координаты центров которых определить относительно легко.(Рис.2)

4. Затем по формулам, описанным выше, вычислила координаты центра.(см Таблица)

5. Для подтверждения результата я применила физические методы исследования, используя простейшие приемы из статики. Для этого я перенесла карту на плоский картон, вырезала изображение по контуру и проверила точку центра, используя метод подвесов и вертикальный упор. Все полученные результаты совпали. (см. Фото3,4)

Центром города Нурлат является точка, которая расположена в области железнодорожного вокзала.

Заключение.

Тема вынашивалась давно, но реализовать ее раньше не удавалось по причине того, что практически ежегодно вносились изменения в границы города. Сначала к территории города были присоединены близлежащие поселки Ключи, Верхний Нурлат, Нижний Нурлат, позже с выделением земельных участков для многодетных семей, к территории города были присоединены новые площади, которые изменили границы города. Последняя версия карты с границами нашего районного центра размещена на сайте Нурлатского муниципального района.

Методы, которые я использовала, с успехом можно применять для определения подобных точек различных территориальных образований. Ожидаемые результаты осуществлены.

Литература и информационные ресурсы:

1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. Для общеобразоват. Организаций/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.].- 2-еизд. – М.:Просвещение, 2014. – 383с.

2. Гольдин, И. И. Основные сведения по технической механике: Учеб.пособие для сред.ПТУ / И. И. Гольдин. - 3-е изд.,перераб.и доп. - М. : Высшая школа, 1986. - 96с.

3. https://ru.wikipedia.org/wiki

4. http://nwpi-fsap.narod.ru/lists/statika/5.htm.

5.http://freemath.ru/publ/istorija_matematiki/vyskazyvanija_o_matematike/vyskazyvanija_o_matematike/19-1-0-36

Приложение

Рис.1 Рис.2

Таблица. Координаты центров и площади простейших фигур

Расчеты координат центра карты в рассмотренной системе координат

Фото 1 Фото 2.