III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ПО СТУПЕНЯМ СТРОИТЕЛЬСТВА: ОТ ФИГУРНЫХ ЧИСЕЛ ДО ФРАКТАЛОВ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Актуальность:
Изучение числа Пи и создание виртуального музея в прошлом году побудили меня не останавливаться на достигнутом.
Познакомившись с книгами М. Газале «Гномон. От фараонов до фракталов», С. и А. Шумихиных «Число Пи. История длиною в 4000 лет», я узнал о существовании:
-
Фигурных чисел
-
Гномонов
-
Числовых подобий
-
Последовательности Фибоначчи
-
Золотого сечения
-
Спирали Бернулли
-
Фракталов и многого другого.
Но больше всего меня заинтересовало наглядное представление чисел.
Ещё недавно геометрические модели природных объектов изображались с помощью комбинаций простых фигур, таких как прямые, треугольники, окружности, сферы, многогранники. В этом нам помогали фигурные числа. Примечательно, что фигурные числа встречаются не только у пифагорейцев, но и других греческих учёных: Эратосфена (III–II в. до н. э.), Никомаха (I–II в.), Диофанта (III в.) и др. Фигурные числа изучали также индийские математики. Но с помощью набора этих известных фигур нелегко описать более сложные природные объекты, например, формы облаков, кроны деревьев…
Оказывается, фракталы помогают изучить различные процессы и явления.
Любой человек может пройти путь от фигурных чисел до фракталов, создавать их и сделать эту работу своим увлечением. Современные технологии выводят математику на чрезвычайно высокий уровень.
В своей работе я предлагаю Вам пройти «По ступеням строительства. От фигурных чисел до фракталов».
Почему это актуально?
Во-первых, имея знания о фигурных числах и научившись их «строить», можно представить признаки делимости практически на любое число.
Во-вторых, используя современные технологии (различные виды конструкторов, мозаика, компьютерные технологии и т.п.) можно создавать такие модели, которые никто до Вас не создавал.
В-третьих, «строительство» фигурных чисел и фракталов - не только увлечение и польза в изучении математики, но и положительный тонус для всего организма.
Психологи указывают на эффект детских калейдоскопов. Через зрение гамма цветов калейдоскопа с фрактальными рисунками воспринимается корой мозга и активизирует зону, ответственную за принятие решений, а также зону висков, которые ответственны за эмоциональное восприятие мира и адекватную реакцию на события. Поэтому созерцание калейдоскопа может быть психотерапевтическим методом уравновешивания всех участков мозга. Это улучшает память и внимание. Только в калейдоскопе фракталы уже созданы, а мы будем сами их создавать!
И наконец, создатель фигурных чисел и фракталов выполняет роль художника, фотографа, скульптора, и ученого-изобретателя одновременно. Разве это не актуально?!
Гипотеза:
Если изучить закономерности создания фигурных чисел и построения фракталов, то их можно смоделировать.
Цель:
-
Пройти исследовательский путь от фигурных чисел до фракталов и научиться создавать фигурные числа и фракталы с помощью различных технологий.
-
Опровергнуть или доказать гипотезу, поставленную в работе.
Объекты исследования:
-
Фигурные числа.
-
Фракталы.
Предмет исследования:
Процесс создания моделей фигурных чисел и фракталов.
Задачи:
1.Изучить различные виды фигурных чисел и фракталов, их свойства.
2.Установить взаимосвязь между ними.
3.Разработать технологию «строения» фигурных чисел и фракталов.
4.Изготовить модели фигурных чисел и фракталов.
Проблемы:
-
Как построить фигурные числа из доступных материалов, используя
математические формулы?
-
Как от строительства фигурных чисел перейти к созданию фракталов?
Методы исследования:
- теоретический (изучение и теоретический анализ научной и специальной литературы; обобщение опыта);
- практический (создание моделей фигурных чисел, фракталов, обобщение результатов).
В работе использованы материалы научно-практических конференций разных лет. Так при изучении литературы по теме фракталы – работа Литовченко Е.М. При изучении фигурных чисел – безымянная работа на просторах интернета (http://litceysel.ru/amdc).
Значение работы:
Поставив перед собой цель – пройти исследовательский путь от фигурных чисел до фракталов и научиться самостоятельно их создавать, мы смогли создать своеобразную коллекцию моделей фигурных чисел и фракталов.
В работе использован различный теоретический материал, в том числе материалы исследовательских работ учащихся более старшего возраста.
И если теоретический материал о фигурных числах и фракталах можно в большом объеме встретить в сети Интернет, то взаимосвязь между фигурными числами и фракталами, а тем более пошаговое их «строительство» - это достижение работы.
Представляет интерес и практическая часть работы. Из огромного разнообразия современных материалов нам удалось сделать образцы фигурных чисел и фракталов. Особенно необычно привлечены к этой теме спирограф, калейдоскоп.
Исследовательская работа продемонстрирована на уроках математики в 6-7-ых классах, вызвала большой интерес у ребят. Многие захотели попробовать сделать сами подобные модели. Благодаря представленному в работе алгоритму построения фигурных чисел и фракталов сделать это просто. Перечисленные в работе способы и материалы современны и доступны.
Значение работы заключается в том числе в возможности использования ее материалов и презентации при изучении признаков делимости в школьной программе, на уроках технологии, в работе кружков и секций, привлечение внимания и развитие интереса к математике.
1. ЗНАКОМСТВО С ФИГУРНЫМИ ЧИСЛАМИ
Фигурные числа – общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.
Фигурные числа были известны ещё в глубокой древности. Предполагают, что впервые они появились в школе Пифагора. Числа древними греками, а вместе с ним Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, расположенных на песке или на счётной доске – абаке.
По этой причине греки не знали нуля, т. к. его невозможно было «увидеть». Но и единица ещё не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т. е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень». Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как «числового атома», роднило её с точкой, считавшейся «геометрическим атомом». Вот почему Аристотель писал: «Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения». Таким образом, пифагорейские числа в современной терминологии – это натуральные числа.
Числа – камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур. Эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.
Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. О них много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским. Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл и другие. Диофант Александрийский написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.
Счёт на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это – развитие счёта на камушках. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. Даже в ХVII веке, когда была уже хорошо развита алгебра с обозначениями величин буквами, со знаками действий, многие считали её варварской наукой, пригодных для низменных целей – бытовых расчётов, вспомогательных вычислений, но никак не для благородных научных трудов. Один из крупнейших математиков того времени Бонавентура Кавальери, пользовался алгеброй, ибо вычислять с её помощью проще, но для обоснования своих научных результатов все алгебраические выкладки заменял рассуждениями с геометрическими фигурами.
В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказано много важных и трудных теорем. В Новое время фигурными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал в 1670 году так называемую «золотую теорему»:
-
Всякое натуральное число – либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;
-
Всякое натуральное число – либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел;
-
Всякое натуральное число – либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел и т. д.
Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году.
Различают следующие виды чисел:
Линейные числа (т. е. простые числа) – числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию.
Плоские числа (многоугольные) – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей.
Телесные числа (пространственные: кубические, пирамидальные) – числа, выражаемые произведением трёх сомножителей.
Выкладывая различные правильные многоугольники, получаются разные классы многоугольных чисел.
Рассмотрим треугольные числа. Какой же вид они имеют?
Заметим, что
1 = 1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 … Мы увидели некоторую закономерность, которая сохраняется и дальше.
Если n-е треугольное число обозначить через Тn и считать Т1 = 1, то получится справедлива следующая формула:
Тn = 1 + 2 + 3 + ... + n.
На вид она довольно проста, но для вычислений явно непригодна. Чтобы придать ей более удобную для вычисления форму, заметим, что в правой части равенства равноудалённые от начала и конца слагаемые в сумме дают одно и то же число, а именно, n + 1. Если записать формулу два раза, поменяв во втором случае порядок слагаемых на обратный:
Тn = 1 + 2 + 3 + … + (n – 2) + (n – 1) + n,
Тn = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 3 + 2 + 1
и сложить «столбиком», то получится: 2 Тn = n (n + 1), откуда Тn = n (n + 1).
Применённый здесь метод «спаривания» слагаемых блестяще применил в шестилетнем возрасте мальчик Карл, который впоследствии стал великим Карлом Фридрихом Гауссом, прозванным «королём математики» ещё при жизни.
Кроме треугольных чисел существуют также числа квадратные, пятиугольные, шестиугольные и т. д. Для каждого числа существуют свои формулы.
Рассмотрим пространственные фигурные числа. Их можно получать, составляя последовательные суммы из плоских фигурных чисел.
Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде – треугольное число. Наверху один камушек, под ним – 3, под теми – 6 и т. д. Так, ряд треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. производит ряд пирамидальных чисел:1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 6 = 10, 1 + 3 + 6 + 10 = 20, …
Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8, 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27, 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64, 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125 … и т. д.
Кубические числа представляют собой число точек в кубических таблицах, пирамидальные числа представляют число точек в треугольных пирамидах. Именно от фигурных чисел пошло выражение «Возвести в квадрат или куб». Теперь понятно, почему про такие числа говорят: «два в кубе», «девять в кубе».
Английский математик XVIII в. Э. Варинг поставил задачу о разложении натуральных чисел больших степеней. Было доказано, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы не более девяти кубических чисел. В общем случае проблема Варинга остаётся открытой.
Познакомившись с фигурными числами, сделаем выводы:
-
Любое четное число можно представить в виде прямоугольника:
четное число 12, 12 : 2 = 6.
-
Любое нечетное число можно представить в виде ряда:
нечетное число 7, 7 * 1 = 7.
-
Числа, делящиеся на 3, можно представить так:
15 : 3 = 5
-
Аналогично можно представить признаки делимости практически на любое число.
2. ТЕХНОЛОГИЯ «СТРОЕНИЯ» ФИГУРНЫХ ЧИСЕЛ
Чтобы построить модель числа воспользуемся мозаикой, магнитным конструктором. А ещё можно использовать кнопки, ватные диски, горох (всё то, что похоже на камешки).
Чтобы возвести число в квадрат, умножим его само на себя. Умножая 2 на 2, получаю квадратное число 4. Квадрат – фигура плоская, значит, модель числа 4 сделать легко. Четыре шарика заменят четыре «единицы», составляющие число 4.
Сделаем еще один квадрат, соединим между собой эти квадраты еще четырьмя палочками.
У нас появилась фигура, которая называется «куб». Шариков оказалось 8. Мы создали модель кубического числа 8. Чтобы получить кубическое число, надо умножить какое-то число само на себя три раза. Например, 2*2*2. Умножая 2 само на себя, получаем квадратное число 4. Поэтому 4 называется квадратом числа 2. Умножив квадрат на 2 еще раз, получаю 8 – это куб числа 2.
Теперь можно понять, почему числа 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2= 16, 3 ∙ 3 ∙ 3∙ 3 = 81, 4 ∙ 4 ∙ 4∙ 4 = 256 и т. д. не имеют своего названия. Дело в том, что мы живём в мире трёх измерений (длина, ширина и высота). Квадрат получился, когда мы выложили фигуру с одинаковой длиной и шириной. Куб − фигура с одинаковой длиной, шириной и высотой. Но нет четвертого измерения, чтобы выложить такую же красивую фигуру из камушков.
Из магнитных шариков сложим пирамидальные числа.
Каждый слой ядер в такой пирамиде − треугольное число. Наверху – один шарик, под ним − три, под теми − шесть и т.д. ( ...) Можем сделать вывод, что пирамидальное число п-го порядка получается при наложении на каждый слой треугольное число на один порядок меньше, чем предыдущий. Посмотрим на рисунок и увидим, как это получается.
Построим кубические числа из магнитных шариков.
1 8 27 64
Участвуя в процессе «строительства» фигурных чисел, мы пришли к выводу, что они самоподобны.
Все фигурные числа связаны соответственно:
с правильным треугольником,
с квадратом,
с правильным пятиугольником,
с правильным шестиугольником.
3. ЗНАКОМСТВО С ФРАКТАЛАМИ
Слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими- либо из перечисленных ниже свойств:
-
Теоретическая многомерность (можно продолжать в любом количестве измерений).
-
Если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Фрагмент фрактала же в крупном масштабе будет таким же, как и в любом другом масштабе. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
-
Является самоподобной или приближённо самоподобной, каждый уровень подобен целому.
-
Длины, площади и объемы одних фракталов равны нулю, других - обращаются в бесконечность.
-
Обладает дробной размерностью.
Существуют следующие виды фракталов: алгебраические, геометрические, стохастические.
Алгебраические фракталы – самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах, например, множества Мандельброта и Жюлиа.
Вторая группа фракталов – геометрические фракталы. История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса — самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. При построении этих фракталов обычно берется набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этому набору применяют набор правил, который преобразует их в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и, если представить бесконечное количество подобных операций, получается геометрических фрактал.
Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д.
Рассмотрим некоторые из них.
Звезда (Снежинка) Коха
В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная равна бесконечности). Поиски данных кривых были вызваны не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом аппроксимировала движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке.
Математик Кох предложил одну такую кривую. Мы не будем вдаваться в объяснения правила ее построения, а просто приведем ее изображение, из которого все станет ясно. Одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха ….. ее бесконечная длина. Обычно гладкие или хотя бы кусочно-гладкие кривые всегда имеют конечную длину (в чем можно убедиться интегрированием). Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерении длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он использовал фрактальную кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину.
Треугольник Серпинского
Геометрический фрактал, который образуется следующим образом: на первом шаге мы видим обычный треугольник, на следующем шаге соединяются середины сторон, образуя 4 треугольника, один из которых перевернутый. Далее мы повторяем проделанную операцию со всеми треугольниками, кроме перевернутых, и так до бесконечности.
Дракон Хартера-Хейтуэя
Дракон Хартера, также известный как дракон Хартера-Хейтуэя, был впервые исследован физиками NASA — John Heighway, Bruce Banks, и William Harter. Он был описан в 1967 году Мартином Гарднером (Martin Gardner) в колонке «Математические игры» журнала «Scientific American». Многие свойства фрактала были описаны Chandler Davis и Дональдом Кнутом.
Считается, что такое название фрактал получил за сходство с традиционными китайскими драконами. По крайней мере, так показалось ученым, которые впервые его исследовали. Каждая ломаная-дракон является лишь приближением к дракону-фракталу и состоит из отрезков. Ломаная с номером n будет состоять из 2n отрезков. Длина каждого равна 1/2n-й части длины исходного отрезка. Если их занумеровать числами 0, 1, 2, ... и идти по ломаной, то после каждого отрезка нужно поворачивать. Направление поворота определяется номером k текущего отрезка:
повернуть направо, если k дает остаток 1 от деления на 4;
повернуть налево, если k дает остаток 3 от деления на 4;
поступить также, как после отрезка с номером k/2 , если k четно.
Эти правила позволяют запрограммировать процедуру рисования драконов. Но на практике используют то, что четыре кривые с номером n – 2 полностью замещают n-ю кривую. Разумеется, для этого их надо масштабировать в 4 раза.
Созданием «Кривой дракона» управляет несложный алгоритм, так что построить этот фрактал на компьютере можно при помощи короткой программы. И когда компьютер «согнет» виртуальную ленту десятки и сотни раз, перед нами откроются настоящие красоты, изображения которых легко найти в интернете.
4. ТЕХНОЛОГИЯ «СТРОЕНИЯ» ФРАКТАЛОВ
Снежинку Коха (Фрактал Коха) построим из магнитного конструктора. Получится треугольник в 3D варианте. Фрактал построен из трех копий кривых Коха (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника.
Для построения Треугольника Серпинского - из центра равностороннего треугольника "вырежем" треугольник.
Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности.
Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого.
В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.
Попробуем построить «Кривую дракона». Несколько первых ломаных-драконов сделаем своими руками. Для этого нужно взять длинную узкую и тонкую полоску бумаги (чем тоньше, тем лучше!) и сложить ее пополам в одном направлении несколько раз (обычно после 7–8 складываний полоска становится слишком толстой, чтобы ее можно было аккуратно сложить еще раз). После этого нужно развернуть полоску. Следите, чтобы в складках получались прямые углы, тогда в профиль увидите кривую дракона.
Попробуем сделать другие фракталы своими руками.
-
Нарисуем.
-
Сделаем с помощью спирографа.
-
Нарисуем (арт-терапия).
-
«Свяжем» из ниток.
-
Испечем, или сделаем из шоколада, марцепановой пасты и т.д.
-
Изготовим из бумаги (квиллинг).
-
Воспользуемся термомозаикой.
-
Используем магнитный конструктор и неокуб (магнитный кубик-рубика).
Таким образом, мы можем собрать целую коллекцию придуманных и построенных самостоятельно фракталов.
-
ПЕРСПЕКТИВЫ ДАЛЬНЕЙШЕГО ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕМЫ
Неслучайно в начале работы мы сделали акцент на том, что путь от фигурных чисел до фракталов, который мы прошли шаг за шагом – очень долог и разнообразен. «За бортом» нашего исследования остались:
-
Гномон
-
Числовые подобия
-
Последовательность Фибоначчи
-
Золотое сечение
-
Спираль Бернулли…
Перспективным также можно назвать подбор музыки к коллекции наших фракталов.
Освоение фрактальной графики также может стать интересным и увлекательным исследованием (программы Apophysis, ChaosPro, Incendia, Ultra Fractal, Fragmentarium, XenoDream и др.)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе исследования была проделана следующая работа (см. Приложение1):
-
Проанализирована и проработана литература по теме исследования.
-
Рассмотрены и изучены фигурные числа и фракталы.
-
Установлена взаимосвязь между ними.
-
Разработан алгоритм построения фигурных чисел и фракталов.
-
Собрана коллекция моделей фигурных чисел и фрактальных образов для первичного ознакомления с миром фракталов.
Считаю, что поставленная мною цель достигнута.
Необходимо отметить, что использование неокуба для построения моделей фракталов привлекло многих людей к изучению фракталов. Это мои одноклассники, родственники, даже педагоги.
Одним из важнейших достижений исследования считаю пробуждение интереса к фракталам, популяризацию полученных знаний и результатов не только в школе, но и в досуговой деятельности, для развития творчества подростков, замене компьютерным играм.
Для построения одного фрактала из магнитного конструктора или неокуба может понадобиться целый день! А результат труда может радовать Вас как выставочный экземпляр.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
-
Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
-
Волошинов А. В. Математика и искусство: Кн. для тех, кто не только любит математику и искусство, но и желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. 2-е изд., дораб. и доп. – М.: Просвещение, 2000.
-
Газале М. Гномон. От фараонов до фракталов, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.
-
Гринченко В. Т., Мацыпура В.Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фрактал. Издательство: ЛКИ, 2007 г.
-
Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. Издательство: Издательство Нижегородского университета, 2004 г.
-
Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. М., 1993.
-
Ричард М. Кроновер Фракталы и хаос в динамических системах Introduction to Fractals and Chaos.Издательство: Техносфера, 2006 г.
-
Число Пи. История длиною в 4000 лет / Сергей Шумихин, Александра Шумихина. – М. : Эксмо, 2011.
-
Энциклопедический словарь юного математика. сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989.
Интернет-источники
-
http://ru.wikipedia – Фигурные числа.
-
http://kl10sch55.narod.ru – Фигурные числа.
-
http://hypatia.magomir.ru – Фигурные числа.
-
http://forum.magum.ru – Числа.
-
http://ursust.ucoz.ru – Немного о самих числах.
-
http://www.ru.wikipedia.org
-
http://www.fractals.narod.ru/tips.htm
Приложение: слайды презентации.
Приложение 1