III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ МЕНЕЛАЯ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Я, обучаясь в 11 классе, как и все выпускники российских школ, готовлюсь к успешной сдаче ЕГЭ по математике, занимаясь дополнительным самообразованием, а также посещая занятия школьного математического кружка. Естественно, я учусь решать не только задания из первой части, но и задания повышенной сложности, в том числе задание № 16. Задачи из этой группы представляют собой задачи по планиметрии. В одном из пробных вариантов я нашла такую задачу: «В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС отмечены соответственно точки Q и D так, что АD:DС=2:3, ВQ:QА=1:4. Отрезки ВD и СQ пересекаются в точке О. Найдите отношение ВО к СD». Я решила ее, применяя дополнительное построение и теорему Фалеса, а когда показала учителю, она предложила поискать другой способ. Я нашла и сама поразилась простоте решения при использовании теоремы Менелая. Это и стало темой моего исследования.
Теорема Менелая красива и проста. В школьном курсе эта теорема затерялась где-то среди задач. Между тем она входит в золотой фонд древнегреческой математики.
Актуальность. В школах теорема Менелая используется при решении нестандартных задач и задач повышенной сложности. Решение многих геометрических задач легче выполняются, если удается использовать эту теорему.
Новизна. В работе подобран редкий материал по данной теме, изучаемой на уроках геометрии в очень узких рамках и только в профильных классах.
Цель исследования. На основе изучения теоремы Менелая и ее стереометрического обобщения рассмотреть решение задач и найти рациональные способы их решения.
Задачи исследования:
1. Изучить историю возникновения теоремы Менелая. Рассмотреть доказательство теоремы и ее стереометрического обобщения.
2. Провести анализ изученного теоретического материала по данной теме
3. Рассмотреть решение задач различными способами и выбрать наиболее рациональный
Данная работа может быть использована при подготовке к ЕГЭ, математическим олимпиадам, на элективных курсах, а также кружковой работы, расширяющей кругозор учащихся.
О С Н О В Н А Я Ч А С Т Ь
Глава 1.
Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (ок. 100 г. н. э.). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.
Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.
Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.
Глава 2. §1
Теорема Менелая
Теорема Менелая была доказана древнегреческим математиком Менелаем Александрийским в I веке нашей эры.
Т е о р е м а 1. Пусть точки А1 и С1 лежат на сторонах ВС и АВ треугольника АВС, а точка В1 – на продолжении стороны АС этого треугольника. Для того, чтобы точки А1, В1, С1 лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
Рис. 1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем необходимость. Пусть точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой L и АА0=h1, BB0=h2, CC0=h3 – перпендикуляры, опущенные соответственно из точек А, В и С на прямую L (рис. 1). Из подобия треугольников АА0С1 и ВВ0С1 получаем
Аналогично, рассматривая другие пары подобных треугольников, получаем
Перемножая полученные пропорции, приходим к требуемому равенству.
Достаточность. Пусть точки А1, В1, С1 (рис. 2), лежащие на прямых ВС, АС, АВ, таковы, что
Докажем, что точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой.
Проведём прямую А1В1 и докажем, что точка С1 ей принадлежит.
Предположим, что это не так. Сначала заметим, что прямая А1В1 не параллельна прямой АВ. Пусть Т – точка пересечения прямых А1В1 и АВ. Тогда
Рис. 2
Из условия этого равенства следует, что
Так как точки Т и С1 лежат вне отрезка АВ, их совпадение легко следует из следующей леммы.
Л е м м а. Пусть А и В – две различные точки. Тогда для любого k на прямой АВ существуют две и только две точки U и V такие, что
, причём одна из этих точек принадлежит отрезку АВ, а другая лежит вне отрезка АВ. Рис. 3
Д о к а з а т е л ь с т в о. введём на прямой АВ координаты, приняв точку А за начало координат (рис. 3). Пусть для определённости k. Координата искомой точки U, лежащей внутри отрезка АВ, удовлетворяет уравнению
, откуда .
Точка V вне отрезка АВ находится однозначно из уравнения , откуда
.
Случай 0