III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
БЫСТРО СЧИТАТЬ – ЭТО ПРОСТО
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Математика была и остается одним из главных и основных предметов в школе, потому что математические знания важны и необходимы каждому. Все понимают, что математика необходима для решения многих жизненных задач: как мы рассчитываемся в магазине, оплачиваем ЖКУ, проводим расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, я узнал, что всем школьникам необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса, важно качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.
В настоящее время современные ученики не хотят занимать себя счетом в уме. Поэтому я решил показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть важным, но и что это может быть очень интересным занятием.
Цель: исследовать приемы быстрого счета, показав важность и необходимость их применения для упрощенного вычисления.
В соответствии с поставленной целью были определены задачи:
-
Изучить теоретический материал и литературу по теме из разных источников;
-
Исследовать, применяют ли школьники приемы быстрого счета[Приложение 1];
-
Изучить приемы быстрого счета, которые можно использовать, упрощая вычисления.
-
Составить буклет для учащихся 5-8 классов с целью применения приемов быстрого счета. [Приложение 3]
Объект исследования: приемы быстрого счета.
Предмет исследования: процесс вычислений.
Гипотеза исследования: если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и им будет легче решать практические задачи.
При выполнении работы мною были использованы следующие приемы иметоды: опрос (анкетирование), анализ (статистическая обработка данных), работа с источниками информации, практическая работа, наблюдения.[Приложение 1,2]
Данная работа относится к прикладным исследованиям, т.к. в ней показывается роль применения приемов быстрого счета для практической деятельности.
При работе над докладом я пользовалась следующими методами:
-
поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
-
практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
-
анализ полученных в ходе исследования данных.[Приложение 2]
Актуальность моего исследования состоит в том, что в настоящее время на помощь учащимся приходят калькуляторы, и большинство учеников не может считать устно. Но изучение математики развивает логическое мышление, память, быстроту умозаключений, приучает человека к точности, к умению выделять главное в различных областях деятельности современного человека.
Поэтому в своей работе я хочу показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только важным, но и интересным занятием. Именно использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.
ГЛАВА 1. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Умеете ли вы считать? Каждый ответит, что для этого, особого искусства не требуется. И будет прав. Но вопрос – как считать? Можно считать на калькуляторе, можно считать столбиком в тетради, а можно считать устно, используя приемы быстрого счета.
За простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом» заинтриговали. Захотелось узнать эти и другие способы вычислений, а также сравнить их с сегодняшними.
Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.
Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары. И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы – он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось сделать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.
Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли «боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине у берегах Амура нивхи. Ещё в XIX веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.
Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.
С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.
Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха–Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе…». Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон–бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе…», пока не дойдёт до «ибон–али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба–бе» (одна нога) и «самба–али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого – нибудь другого».
Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.
Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы ацтеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .
Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы ацтеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .
Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.
Приемы быстрого счета являются, одними из самых сложных и одновременно самых важных этапов освоения учащимися навыков построения устных вычислений, позволяющее качественно улучшить математические способности ученика в данный момент и, конечно, в будущем.
Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.
В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат данной работы – буклет для быстрого счета будет очень полезной для учащихся 5-8 классов моей школы
ГЛАВА 2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ
Рассмотрим приемы вычисления на примерах.
1. Умножение на 11. 45∙11=495
4 (4+5) 5
2. Умножения на 5, 50, 500
Как известно, дети любят умножать на 10, 100, 1000. Также быстро и легко можно умножать на 5, 50, 500, особенно чётные числа.
68 х 5 = 34 * 10 = 340
68 х 50 = (68 : 2) х 100 = 3400.
Можно и нечётные:17 х 50 = (16 + 1) х 50 = 8 х 100 +50= 850
3.Деление на 5, 50, 500
Всё происходит в обратном порядке: сначала делимое удваиваем и отбрасываем 1, 2 или 3 нуля. Например:135 : 5 = (135 х 2) : 10 =27
2150 : 50 = 2150 х 2 : 100 = 4300 : 100 = 43
4.Умножение на 9, 99, 999 и т.д.
Чтобы умножить любое число на число, написанное девятками, надо к первому множителю приписать справа столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.
Примеры:167 · 9 = 1670 – 167 = 1503; 26 · 99 = 2600 – 26 = 2574.
5. Умножение на 22, 33,…, 99
Чтобы двузначное число умножить на 22,33, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на 11. Пример: 15*33=15*3*11=45*11=495
6.Умножение чётных чисел на 15
Делим число на 2 и прибавляем к искомому числу, затем всё умножаем на 10. Этот приём действует только для чётных чисел. Например: 14 х 15 = (14 : 2 + 14) х 10 = 21 х 10 = 210 26 : 15 = (26 : 2 + 26) х 10 = 39 х 10 = 390 .Нечётные представлены в виде суммы слагаемых 23 х 15 = (22 + 1) х 15 = (22 : 2 + 22) х 10 +15 = 330 +15 = 345 Используя этот приём, можно умножать на 16 и 14 - (15 +1) и (15 - 1): 66 х 16 = 66 х (15 + 1) = (66 : 2 + 66) х 10 + 66 = 1156
7.Умножения чисел, оканчивающихся на 5, самих на себя
35 х 35 = 3 х 4 и приписываем 5 х 5, т.е. 35 х 35 = 1225
8. Возведение в квадрат чисел, в записи которых есть цифра 5.Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, надо число его десятков умножить на число, увеличенное на единицу, и справа дописать 25. Пример: Вычислить 352. Решение (выполняется устно). 3 · 4 = 12, дописав справа 25, получаем результат: 352 = 1225.
9. Интересные приемы устного и быстрого счета и запоминания
|
. |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Современные способы вычислений просты и доступны всем.
При знакомстве с научной литературой я обнаружил более быстрые и надежные способы вычислений.
Проведя статистическую обработку данных анкетирования и проанализировав результаты, я сделал вывод, что большинство учеников считает, что умение считать пригодится в жизни и необходимо в школе, особенно при изучении математики, физики, химии, информатики и технологии. Приемы быстрого счета знают несколько учеников и почти все хотели бы научиться быстро считать.[Приложение 1, 2]
Может быть, с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.
Результаты своей работы я оформил в памятку, которую предложу всем своим одноклассникам, также размещу её на школьном тематическом стенде «К уроку математики». Она и поможет приобрести полезные навыки быстрого счета.
Указанные методы счёта можно успешно применять в качестве дополнительного инструмента обучения математическим приёмам, при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ, что значительно экономит время на экзамене, а также, развивает память, логику, повышает интерес к математике.
Знание приемов быстрого счета позволило упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.
В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат данной работы – памятка для быстрого счета будет очень полезной для учащихся 5-6 классов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
-
Афанасенко Е.И. и др. Детская энциклопедия. Т.2. М.:Просвещение,1964.
-
Мартин Гарднер. Математические головоломки и развлечения. М.:Оникс, 1994.
-
Глейзер Г.И. История математики в школе. М.:Просвещение,1982
-
Гарднер М. Математические чудеса и тайны. — М.: Наука, 1964.
-
Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.:Педагогика,1989.
-
Кордемский Б.А. Великие жизни в математике. М.:Просвещение,1995.
-
Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.
-
Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение», 1982г.
-
Свечников А.А. Числа, фигуры, задачи. М., Просвещение, 1977г.
-
Билл Хэндли «Считайте в уме как компьютер», Минск, Попурри, 2009г.
-
http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm
-
http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html
-
Игнатьев Е.И. «Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы». – Москва, изд. «Омега»,1994.
-
Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка». – Москва, изд. «Просвещение»,1988.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Анкетирование
1. Зачем нужно уметь считать?
а) пригодится на практике , например, считать деньги;
б) чтобы хорошо учиться в школе; в) чтобы быстро решать;
г) чтобы быть грамотным; д) не обязательно уметь считать.
2. Перечисли, при изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?
а) математика; б) физика; в) химия; г) технология; д) музыка; е) физическая культура; ж) ОБЖ; з) информатика; и) география; к) русский язык; л) литература.
3. Знаешь ли ты приемы быстрого счета?
а) да, много; б) да, несколько; в) нет, не знаю.
4. Применяешь ли ты при вычислениях приемы быстрого счета?
а) да; б) нет.
5. Хотели бы вы узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать?
а) да; б) нет.
Приложение 2
Итоги анкетирования
2.Перечисли, при изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?
3. Знаешь ли ты приемы быстрого счета?
4. Применяешь ли ты при вычислениях приемы быстрого счета?
5. Хотели бы вы узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать?
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Буклет
"Быстро считать-
это просто"
"Рассмотрим приемы вычисления на примерах.
1. Умножение на 11. 45∙11=495
4 (4+5) 5
2. Умножения на 5, 50, 500
Как известно, дети любят умножать на 10, 100, 1000. Также быстро и легко можно умножать на 5, 50, 500, особенно чётные числа.
68 х 5 = 34 * 10 = 340
68 х 50 = (68 : 2) х 100 = 3400.
Можно и нечётные:17 х 50 = (16 + 1) х 50 = 8 х 100 +50= 850
3.Деление на 5, 50, 500
Всё происходит в обратном порядке: сначала делимое удваиваем и отбрасываем 1, 2 или 3 нуля. Например:135 : 5 = (135 х 2) : 10 =27
2150 : 50 = 2150 х 2 : 100 = 4300 : 100 = 43
4.Умножение на 9, 99, 999 и т.д.
Чтобы умножить любое число на число, написанное девятками, надо к первому множителю приписать справа столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.
Примеры:167 · 9 = 1670 – 167 = 1503; 26 · 99 = 2600 – 26 = 2574.
5. Умножение на 22, 33,…, 99
Чтобы двузначное число умножить на 22,33, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на 11. Пример: 15*33=15*3*11=45*11=495
6.Умножение чётных чисел на 15
Делим число на 2 и прибавляем к искомому числу, затем всё умножаем на 10. Этот приём действует только для чётных чисел. Например: 14 х 15 = (14 : 2 + 14) х 10 = 21 х 10 = 210 26 : 15 = (26 : 2 + 26) х 10 = 39 х 10 = 390 .Нечётные представлены в виде суммы слагаемых 23 х 15 = (22 + 1) х 15 = (22 : 2 + 22) х 10 +15 = 330 +15 = 345 Используя этот приём, можно умножать на 16 и 14 - (15 +1) и (15 - 1): 66 х 16 = 66 х (15 + 1) = (66 : 2 + 66) х 10 + 66 = 1156
7.Умножения чисел, оканчивающихся на 5, самих на себя
35 х 35 = 3 х 4 и приписываем 5 х 5, т.е. 35 х 35 = 1225
8. Возведение в квадрат чисел, в записи которых есть цифра 5.
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, надо число его десятков умножить на число, увеличенное на единицу, и справа дописать 25. Пример: Вычислить 352. Решение (выполняется устно). 3 · 4 = 12, дописав справа 25, получаем результат: 352 = 1225.