III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

НЕОБЫЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Василенко А.М. 1Яковлева Е.А. 1

---

1

Поздина Н.Б. 1

---

1

Работа в формате PDF

1 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»

С. Коваль

Математическое образование, получаемое в школе, очень важная часть жизни современного человека. Практически всё, что окружает нас так или иначе связано с математикой. Решение многих практических задач сводится к решению уравнений различных видов.

Уравнения – это наиболее объёмная тема всего курса алгебры. В прошлом учебном году на уроках алгебры мы познакомилась с квадратными уравнениями. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных задач, как в области математики, так и в области физики и химии.

В школьном курсе математики изучается основные способы решения квадратных уравнений. Однако, имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, некоторые из которых позволяют быстро, рационально решать их.

Нами было проведено анкетирование среди 84 учащихся 8-9 классов по двум вопросам:

• Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?

• Какие вы используете чаще всего?

По результатам анкетирование были получены следующие результаты:

Проанализировав полученные результаты, мы пришли к выводу, что большинство учащихся используют при решении квадратных уравнений формулы корней с использование дискриминанта и недостаточно осведомлены о способах решения квадратных уравнений.

Таким образом, выбранная нами тема является актуальной.

Мы поставили перед собой цель: изучить нетрадиционные способы решения квадратных уравнений, познакомить учащихся 8 и 9 классов с различными способами решения, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратного уравнения.

Для достижения указанной цели нужно решить следующие задачи:

• собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений,

• освоить найденные способы решения,

• составить программу для решения квадратных уравнений по формулам корней квадратного уравнения в Excel,

• разработать дидактический материал для проведения урока или внеурочного мероприятия по нестандартным методам решения квадратных уравнений,

• провести занятие «Необычные способы решения квадратных уравнений» с учащимися 8 – 9 классов.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: различных способы решения квадратных уравнений.

Считаем, что практическая значимость работы состоит в возможности использования банка приёмов и способов решения квадратных уравнений на уроках математики и внеурочной деятельности, а также в ознакомлении учащихся 8 - 9 классов с данных материалом.

1.  
   1. СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ (a,b,c)

Метод основан на свойствах коэффициентов a,b,c:

1. Если a+b+c=0, то = 1, =

Пример:

-6х² + 2х +4=0, то = 1, = = .

1. Если a – b+c=0, то = -1, = -

Пример:

2017х² + 2001х +16 =0, то = -1, -.

1.  
   1. ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ (a,b,c)

Справедливы следующие зависимости коэффициентов a,b,c:

Если b=a²+1, c=a, то х₁=-а; x₂ = - .

Если b=-(a²+1), a=c, то x₁=a; x₂ =.

Если b=a²-1, c=-a, то x₁=-a; x₂ = .

Если b=-(a²-1), -a=c, то x₁=a; x₂ = - .

Решим следующие уравнения:

1. 5x² + 26x + 5 = 0

x₁= -5

x₂= - 0,2.

1. 13x² - 167x + 13 = 0

x₁=13 x₂=

1. 14x² + 195x - 14 = 0

x₁= - 14 x₂=

1. 10x² - 99x - 10 = 0

x₁=10 x₂=-0,1.

1.  
   1. «ПЕРЕБРОС» ГЛАВНОГО КОЭФФИЦИЕНТА

Коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Далее корни находятся по теореме Виета. Найденные корни делятся на ранее переброшенный коэффициент, благодаря этому мы находим корни уравнения.

Пример:

2х² – 3х + 1 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у² – 3у + 2 = 0.

Согласно теореме Виета

у₁ = 2 , х₁ = 2/2 , x₁ = 1,

у₂ = 1; x₂ = 1/2; x₂ = 0,5.

Ответ: 0,5; 1.

1.  
   1. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Если в уравнении аx² + bx + c = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим ax² = –bx–c .

Построим графики зависимостей у = aх² и у = –bx–c в одной системе координат.

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи:

• прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

• прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

• прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решим следующие уравнения:

1) х² + 2х – 3 = 0

х² = - 2х + 3

В одной системе координат построим график функции у =х² и график функции у = - 2х+3. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ.

Ответ: х₁= - 3, х₂ =1.

2) х² + 6х +9 = 0

х² = - 6х - 9

В одной системе координат построим график функции у = х² и график функции у = -6х - 9. Обозначив абсциссу точки касания, получим ответ.

Ответ: х= - 3.

3) 2х² + 4х +7=0

2х² = - 4х - 7

В одной системе координат построим график функции у =2х² и график функции

у = - 4х - 7.

Парабола у =2х² и прямая у = - 4х - 7 не имеют общих точек, следовательно уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

1.  
   1. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ

Решим уравнение aх² +bх+c=0:

• Построим точки S(-b:2a,(a+c):2a)- центр окружности и точку А(0,1).

• Провести окружность радиуса SA.

• Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения.

При этом возможны три случая:

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>), окружность пересекает ось Ох в двух точках..B(х₁; 0) и D(х₂;0), где х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = ), окружность касается оси Ох в точке B(х₁; 0 ), где х₁ – корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ, или R < ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

а) AS > SВ или R > , б) AS = SВ или R = в) AS < SВ, или R < .

Два решения х₁ и х₂. Одно решение х_1.. Не имеет решения.

Пример 1: 2х² –8х + 6 = 0.

Решение: Определим координаты точки центра окружности по формулам:

у = = .

Проведём окружность радиуса SA, где А (0;1).

Ответ: х₁ = 1 , х₂ = 3.

Пример 2: х² –6х + 9 = 0.

Решение: Найдём координаты S: x=3, y=5.

Ответ: x=3.

Пример 3: х² + 4х + 5 = 0.

Решение: Координаты центра окружности: х= - 2 и y = 3.

Ответ: нет корней

1.  
   1. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ НОМОГРАММЫ

Номограмма (от греческого «nomos» – закон и грамма), графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещённый на стр. 83 сборника: Брадис В.М. «Четырехзначные математические таблицы». - М., “ДРОФА”, 2000. Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z² + pz + q = 0 (см. Приложение 1).

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам: ОВ = , АВ =

Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а (все в см), из подобия треугольников САН и СDFполучим пропорцию откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z² + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Пример 1:z² - 9z + 8 = 0.

На шкале p находим отметку -9, а на шкале q отметку 8. Проводим через эти метки прямую, которая пересекает кривую шкалу номограммы в отметках 1 и 8. Следовательно, корни уравнения 1 и 8.

Ответ: 1; 8.

Именно данное уравнение решено в таблице Брадиса стр. 83 (см. Приложение 1).

Пример 2: 2z² - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение:

z² - 4,5z + 1 = 0. Номограмма даёт корни z₁ = 4 иz₂ = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

Пример 3:x² – 25x + 66 = 0

Коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы. Выполним подстановку x = 5z, получим уравнение:

z² – 5z + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы.

Получим z₁ = 0,6 и z₂ = 4,4,

откудаx₁ = 5 z₁ = 3,0 иx₂ = 5 z₂ = 22,0.

Ответ: 3; 22.

Пример 4: z² + 5z – 6 = 0, номограмма даёт положительный корень z₁=1, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - p, т.е. z₂= - p –1= - 5 – 1= -6.

Z=1

Ответ: 1; -6.

Пример 5: z² – 2z – 8 = 0, номограмма даёт положительный корень z₁=4, а отрицательный равен z₂= - p –4 =

Z=4

= 2 – 4= -2.

Ответ: 4; -2.

Мы решили составить программу для решения квадратного уравнения с помощью Excel – это широко распространенная компьютерная программа. Нужна она для проведения расчётов, составления таблиц и диаграмм, вычисления простых и сложных функций. Она входит в состав пакета Microsoft Office.

Лист программы Excel, где отображены формулы:

Лист программы Excel, где показан конкретный пример решения квадратного уравнения x² – 14x – 15 = 0:

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путём сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

Уолтер Варвик Сойер

В ходе работы мы собрали материал и изучили способы решения (нахождения корней) квадратных уравнений. Решение уравнений разными способами представлено в Приложении 2.

Изучая разные способы решения квадратных уравнений, мы сделали вывод, что для каждого уравнения можно подобрать свой наиболее эффективный и рациональный вариант нахождения корней. Каждый из способов решения уникален и удобен в определённых случаях. Некоторые способы решения позволяют сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ, другие – помогают решить уравнение с очень большими коэффициентами. Мы постарались сравнить разные способы решения, составив таблицу, в которой отразили плюсы и минусы каждого из способов.

Нами разработан раздаточный материал. Познакомиться с банком заданий по теме можно в Приложении 3.

Используя Microsoft Excel, мы составили электронную таблицу, которая позволяет автоматически рассчитывать корни квадратного уравнения по формулам корней.

Мы провели урок, посвященный необычным способам решения квадратных уравнений, для учащихся 9 классов. Ученикам очень понравились способы, они отметили, что полученные знания пригодятся им в дальнейшем обучении. Результатом проведённого урока стали работы учащихся, в которых они представили различные варианты решения квадратных уравнений (см. Приложение 4).

Материал нашей работы можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его для небольшого элективного курса «Необычные способы решение квадратных уравнений».

Материалом работы могут воспользоваться и те, кто любит математику и те, кто хочет знать о математике больше.

1. Брадис В. М. «Четырехзначные математические таблицы для средней школы», М.: Дрофа, 2000.

2. Виленкин Н.Я. «Алгебра для 8 класса», М.: Просвещение, 2000.

3. Галицкий М.Л. «Сборник задач по алгебре», М.: Просвещение 2002.

4. Глейзер Г. И. «История математики в школе», М.: Просвещение, 1982.

5. Звавич Л.И. «Алгебра 8 класс», М.: Мнемозина, 2002.

6. Макарычев Ю.Н. “Алгебра 8 класс”, М.: Просвещение, 2015.

7. Плужников И. «10 способов решения квадратных уравнений» // Математика в школе. - 2000.- № 40.

8. Пресман А.А. «Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки»//М., Квант, №4/72, c.34.

9. Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика»,

М.: Педагогика, 1989.

Интернет ресурсы:

http://revolution.allbest.ru/

http://mat.1september.ru/2001/42/no42_01.htm

«СБОРНИК БРАДИСА В.М.»

«РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВСЕМИ СПОСОБАМИ»

Исходноеуравнение: 4х²+3х -1 = 0.

1.Формула корней квадратного уравнения с использованием дискриминанта D

4х²+3х -1 = 0

D = b² – 4ac = 9+16 = 25 > 0, => уравнение имеет два корня

x_1,2 =

x₁ ==

x₂ ==-1

2.Теорема Виета

4х²+3х -1 = 0, поделим уравнение на 4, чтобы оно стало приведённым

х²+х -=0

+ =-

* =-

х₁ = -1

х₂ =

3. Метод выделения полного квадрата

4х²+3х -1 = 0

(4х²+2*2х *+)-1=0

(2х + )² -=0

(2х + - )( 2х + + )=0, произведение =0, когда один из множителей=0

(2х - )=0 (2х +2)=0

х₁ = х₂ = -1

4. Способ группировки

4х²+3х -1 = 0

4х²+4х-1х-1=0

4х(х+1)-1(х+1)=0

(4х-1)( х+1)=0, произведение =0, когда один из множителей=0

(4х-1)=0 ( х+1)=0

х₁ = х₂ = -1

5. Свойства коэффициентов

4х²+3х -1 = 0

Если a - b+c=0, то = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Метод «переброски» главного коэффициента

4х²+3х -1 = 0

y²+3y - 4 = 0

Теорема Виета:

+ =- 3

* =- 4

y₁ = -4

y₂ = 1

Разделим найденные корни на главный коэффициент и получим корни нашего уравнения:

х₁ = -1

х₂ =

7. Способ решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

4х²+3х -1 = 0

Определим координаты точки центра окружности по формулам:

у = =

х₁ = -1

х₂ =

8. Графический способ решения

4х²+3х -1 = 0

4х²= - 3x + 1

В одной системе координат построим график функции у = 4х²и график функции

-3

у = - 3х+1. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ:

x

х₁ = -1

=

9. С помощью номограммы

4х²+3х -1 = 0, разделим коэффициенты уравнения 1/на 4, получим уравнение

1/4

х² +х -= 0.

Номограмма даёт положительный корень = ,

а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - p, т.е.

x₂= - p –=- -= -1.

10. Решение данного уравнения в EXCEL

«ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ТЕМЫ

“РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ”»

10х²+ 2017х + 2007 = 0 -1 -200,7

-10х²+ 7х + 3 = 0 -1 0,3

354х²-52х -302 = 0 1 -

100х²-99х-1 = 0 1 -0,01

5х²+ 9х + 4 = 0 -1 -0,8

2017х²+ х -2016 = 0 -1

22х²+10х-12 = 0 -1

5432х²-3087х-2345 = 0 1 -

4х²+ 2х -6с = 0 1 -1,5

55х²-44х -11= 0 1 -0,2

6х²- 7х - 3 = 0 - , 1,5

4х²-17х-15 = 0 -0,75, 5

4271х²-4272х + 1 = 0 1,

3х²+10х + 7 = 0 -1, - 2

5х²- 11х + 2 = 0 2, 0,2

2х²- 11х + 15 = 0 2,5, 3

4х²+ 4х -3= 0 -1,5, 0,5

5х² -12х + 7 = 0 1,4, 1

2х²+ 13х + 15 = 0 -1,5 -5

3х²-7х + 2 = 0 1/3 2

«РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ»