III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ЛОГИКА ЕСТЬ АНАТОМИЯ МЫШЛЕНИЯ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Мартыненко Д.М. 1

---

1

Ларина И.А. 1

---

1

Работа в формате PDF

1.7 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

...для того чтобы усовершенствовать ум,

надо больше размышлять, чем заучивать.

Рене Декарт

Когда-то я был маленьким мальчиком, как и все остальные, но очень хорошо умел складывать и вычитать числа. Мама мне предлагала решать всякие головоломки и меня это увлекало. В первом классе я познакомился с таким предметом, как математика и он до сих пор мой самый любимый. С начальной школы стал принимать участие в городских, областных, российских олимпиадах по математике и занимать призовые места. При решении олимпиадных заданий мне приходилось решать различные задачи, которые требовали нестандартного подхода: рассуждать, строить схемы, таблицы и т.д. В основном это были задачи на логику. Как то, решая одну из таких задач, я выяснил, что ее можно решить разными способами. И меня это заинтересовало. Изучение различной литературы привело к написанию первого проекта «Логика есть анатомия мышления».

Объект исследования: логические задачи, как источник развития математического мышления.

Предмет исследования: методы решения логических задач.

Гипотеза: решение логических задач – это не только очень увлекательный, но и крайне полезный способ время препровождения, как для школьников, так и для взрослых.

Цель моей работы – познакомиться с понятием «логические задачи», исследовать методы их решения.

Для достижения цели мне необходимо решить следующие задачи:

- познакомиться с основными типами логических задач;

- изучить способы решения логических задач;

- на примерах конкретных задач выяснить, какие методы более эффективные;

- подготовить подборку наиболее интересных задач;

- исследовать, как решение логических задач влияет на интерес школьников к предмету математика, и какие методы решения наиболее эффективны.

Методы исследования: анализ литературы, анкетирование, статистический опрос, статистическая обработка полученных данных, анализ, сравнение и обобщение полученных результатов.

Логические задачи это не просто задачи, а это частички, решение которых остаётся надолго в нашей памяти. Все задачи – это частицы, из которых можно собрать пазлы, а из них картину, которой является сама математика. Так вот, я считаю, что задачи на логику – это основной пазл всей картины. И моя цель – доказать, что задачи на логику самые необычные и в тоже время самые интересные из всех математических задач.

Этапы работы:

- подобрать и изучить литературу и интернет - источники по теме;

- познакомиться с основными типами логических задач;

- изучить способы решения логических задач;

- выяснить, какие методы более эффективные;

- подготовить подборку наиболее интересных задач;

- исследовать, как решение логических задач влияет на интерес школьников к предмету математика и какие методы решения наиболее эффективны.

- провести анкетирование учащихся по данной проблеме.

- по результатам исследования сделать выводы.

1.1 ЧТО ТАКОЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Логика — это искусство приходить

к непредсказуемому выводу.Сэмюэл Джонсон

Чтобы разобраться, что такое логические задачи, необходимо узнать, а что же такое логика?

Слово "логика" происходит от греческого logos – "мысль", "слово", "разум", "закономерность".

В научной литературе можно найти следующие определения логики:

1. «Логика (греч. logike), наука о способах доказательств и опровержений»; (1)

2. «Логика совокупность научных теорий, в каждой из которых рассматриваются определенные способы доказательств и опровержений»;

3. «Логика - наука о правильном мышлении». (2)

Теперь попробуем выяснить, а что же такое логические задачи?

Логические задачи – это занимательные игровые истории, где анализируется содержание с количественной, пространственной, качественной и временной точки зрения. (3)

Решение логически задач помогают развивать умение решать их другим нетрадиционным способом, где символика используется для замещения отношений (равенство - неравенство, больше - меньше, порядок следования, соответствие, логическое отрицание) и позволяют ориентироваться в реальности и получать о ней новую информацию, а при этом развивать умение делать умозаключения, как одну из логических форм мышления.

Логические задачи занимают особое место в среде математического мира. Они дают нам возможность проявить творческую активность, расширяют кругозор, развивают находчивость, смекалку, пробуждают интерес к знаниям и способствуют успешному интеллектуальному развитию.

Логическая задача ставит перед нами вопрос, на который непременно должен быть найден ответ. Причем успех зависит не только от правильности ответа, но и от быстроты реакции, способа решения. Именно при решении логической задачи можно демонстрировать свои способности, а так же удивлять сообразительностью и особенностью логического мышления (гибкость ума).

Развитие логического мышления – залог будущих стремительных успехов в школе, посредством овладения учащихся умениями анализировать, сравнивать, абстрагировать, обобщать. В процессе решения логических задач интеллектуальная деятельность учащихся связана с его действиями к окружающей действительности, предметам.

Математические отношения представлены разными способами (отрицание, детективный сюжет, количественные и качественные соотношения и др.) и решение логических задач осуществляется интересными методами: (5)

• методом рассуждений;

• с помощью таблиц истинности;

• методом блок-схем;

• графическим (в том числе, «дерево логических условий», метод кругов Эйлера).

Раскроем сущность методов и приведём примеры.

1.2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИ ЗАДАЧ

Метод рассуждений

Самый простой способ решения несложных задач заключается в последовательных рассуждениях с использованием всех известных условий. Выводы из утверждений, являющихся условиями задачи, постепенно приводят к ответу на поставленный вопрос. (13)

Идея метода: последовательные рассуждения и выводы из утверждений, содержащихся в условиях задач.

Преимущества метода: самый простой способ решения задач; нет необходимости в построении таблиц, схем.

Недостатки: применяется при решении только простых задач.

Пример 1: Возраст мамы и дочки в сумме составляет 98 лет. Дочь родилась, когда маме было 22 года. Сколько лет обеим?

Решение: так как разница в их возрасте 22 года (именно в этом возрасте у мамы родилась дочь), то 98 – 22 = 76 (лет). Это удвоенный возраст дочери, тогда 76 : 2 = 38 (лет). Значит, матери 98 – 38 = 60 (лет).Пример 2: Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение: Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Метод таблиц истинности

Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи. (5)

Идея метода: оформлять результаты рассуждения в виде таблицы.

Преимущества метода:

- наглядность;

- возможность контролировать процесс рассуждений;

- возможность формализовать некоторые суждения;

- компактность решения.

Недостатки: применяется для решения только определённых типов задач.

Пример: Игорь, Петя и Саша ловили рыбу. Каждый из них поймал либо ершей, либо пескарей, либо окуней. Кто из них каких поймал рыб, если известно:

1) колючие плавники есть у окуней и ершей, а у пескарей их нет;

2) Игорь не поймал ни одной рыбы с колючими плавниками;

3) Петя поймал на 2 окуня больше, чем поймал рыб Игорь?

Решение: В строках таблицы запишем имена мальчиков, а в столбцах названия рыб. Положительный ответ будем обозначать «+», а отрицательный «-».

Зная 1 и 2 высказывания, можно сделать вывод, что Игорь поймал пескарей.

Зная, что Петя поймал на 2 окуня больше, чем поймал рыб Игорь, можно сделать вывод, что Петя поймал окуней, тогда второй столбец заполнится:

Получаем, что Саша поймал ершей, так как каждый поймал один вид рыб.

Ответ: Игорь поймал пескарей, Петя - окуней, Саша - Ершей.

Метод блок-схем

Это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости, а также задачи, связанные с операцией взвешивания на чашечных весах. Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач. (12)

Более систематический подход к решению задач "на переливание" заключается в использовании блок-схем. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи. Для этого достаточно отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы. При этом обычно заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

Идея метода: описать последовательность выполнения операций, определять порядок их выполнения и фиксировать состояния.

Преимущества метода:

- наглядность представления последовательности действий процесса;

- все этапы процесса представлены в виде отдельных блоков;

- определенность последовательности действий, ограниченная прямыми связями между блоками схемы;

- возможность записи в блоки последовательности действий процесса;

- возможность повторения отдельных этапов процесса;

- наличие обратных связей.

Недостатки: применяется для решения только определённых типов задач.

Пример: Есть 8 литровый сосуд, полный воды.Как отлить 4 литра, если есть пустые емкости объемом 3 и 5 литров? Решение:

Графический метод решения логических задач

(«дерево логических условий»)

Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. (6)

Точки называются вершинами графа, а линии— рёбра.

Графический метод решения логических задач предназначен для наглядного представления информации в форме графов, для построения которых необходимо сначала определить вершины графа и соединить их по правилам, образовав ребра.

Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины.

Идея метода: Оформлять результаты логических рассуждений в виде графов.

Преимущества метода:

- применяется для нахождения соответствий между несколькими типами объектов;

- возможность обобщить метод на широкий класс задач;

- компактность решения.

Недостатки: запутанное условие (из-за соединяющих графы линий); применяется для решения определённых типов задач.

Пример: Пятеро учёных, участвовавших в научной конференции, обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

1

2 5

3 4

Решение: Обозначим ученых вершинами графа и проведем от каждой вершины линии к четырем другим вершинам. Получаем 10 линий, которые и будут считаться рукопожатиям

Ответ: было сделано 10 рукопожатий.

Метод кругов Эйлера

«… круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления»

Леонард Эйлер

Круги Эйлера — это геометрическая схема. С ее помощью можно изобразить отношения между подмножествами (понятиями), для наглядного представления.

Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. (5)

Леонард Эйлер был гениальным математиком, который умел применять математические приемы на практике. Он успешно использовал для решения различных задач идею изображения понятий и классов предметов в виде кругов. Впервые Эйлер их применил в письмах к немецкой принцессе. Он писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». И действительно, с помощью этих диаграмм можно легко и наглядно решить задачи, для решения которых обычным способом понадобилось бы составление системы из нескольких уравнений, например, с тремя неизвестными. Способ изображения понятий в виде кругов позволяет развивать воображение и логическое мышление не только детям, но и взрослым (конечно, для взрослых подойдут более сложные задачи).

Идея метода: определить количество элементов, обладающих общими свойствами.

Преимущества метода:

- необязательно знание формул;

- простота рассуждений;

- наглядность.

Недостатки: применяется для решения определённых типов задач; необходимость в построениях.

Пример 1: Каждый ученик в классе изучает либо английский, либо французский язык, либо оба эти языка. Английский язык изучают 25 человек, французский - 27 человек, а то т и другой - 18 человек. Сколько всего учеников в классе?

Решение: Английский язык изучают 7 учеников, французский - 9, и тот и другой 18, получаем, что всего в классе 7+9+18 = 34 ученика в классе.

Ответ: в классе 34 ученика.

Пример 2: Все мои друзья занимаются каким-нибудь видом спорта. 17 из них увлекаются футболом, а 14 — баскетболом. И только двое увлекаются и тем и другим видом спорта. Угадайте, сколько у меня друзей?

Решение: Обратимся к кругам Эйлера:

1.Изобразим два множества, так как два вида спорта. В одном будем фиксировать друзей, которые увлекаются футболом, а в другом — баскетболом2.Поскольку некоторые из друзей увлекаются и тем и другим видом спорта, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть (пересечение)

17 из них увлекаются футболом, а 14 — баскетболом. И только двое увлекаются и тем и другим видом спорта. Расставить числа, согласно условию задачи:

1)В общей части ставим цифру 2(двое увлекаются и тем и другим видом спорта) 2)В оставшейся части «футболистов» круга ставим цифру 15 (17 − 2 = 15). В свободной части «баскетболистов» круга ставим цифру 12 (14 − 2 = 12). футболомбаскетболом3)Всего друзей 15+2+12=29

Ответ: 29 друзей

1.3 Синквейны основных методов логических задач

Синквейн (от фр. cinquains, англ. cinquain) — это творческая работа, которая имеет короткую форму стихотворения, состоящего из пяти нерифмованных строк.

Синквейн – это не простое стихотворение, а стихотворение, написанное по следующим правилам:

1 строка – одно существительное, выражающее главную тему cинквейна.

2 строка – два прилагательных, выражающих главную мысль.

3 строка – три глагола, описывающие действия в рамках темы.

4 строка – фраза, несущая определенный смысл.

5 строка – заключение в форме существительного (ассоциация с первым словом).

Метод рассуждений

Рассуждение

Логическое, необычное

Мыслить, рассуждать, решать

Заставляет рассуждать над решением задачи

Логика

Метод таблиц истинности

Таблица

Достоверная, понятная

Оформлять, контролировать, решать

Возможность контролировать процесс рассуждения

Логика

Метод блок-схем

Блок-схема

Обрабатываемая, последовательная

Составлять, обрабатывать, решать

Определённая последовательность действий

Логика

Метод «Дерево логических условий»

Дерево

Запутанное, компактное

Оформлять, соединять, решать

Дерево логических условий – это целая картина

Логика

Метод кругов Эйлера

Круг

Обычный, простой

Построить, рассуждать, решать

Простота решения задач – это круги Эйлера

Логика

Вывод: составлять cинквейн очень просто и интересно. И к тому же, работа над созданием синквейна развивает образное мышление.

2.1 ИЗУЧЕНИЕ УМЕНИЯ РЕШАТЬ ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Для ответа на вопрос, как решение логических задач влияет на интерес школьников к предмету математика, и какие методы решения наиболее эффективны мною была проведена следующая работа:

- рассказал ребятам, что такое логические задачи, какими методами они решаются;

- подобрал по одной задаче по каждому методу логических задач:

Задача 1:Четыре брата Юра, Петя, Вова, Коля учатся в 1,2,3,4 классах. Петя- отличник, младшие братья стараются брать с него пример. Вова учится в 4 классе. Юра помогает решать задачи брату. Кто в каком классе учиться?

Задача 2:Три школьника, Миша (М),Коля (К) и Сергей (С), остававшиеся в классе на перемене, были вызваны к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчики ответили следующее: Миша: «Я не бил окно, и Коля тоже…» Коля: «Миша не разбивал окно, это Сергей разбил футбольным мячом!» Сергей: «Я не делал этого, стекло разбил Миша». Стало известно, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Зная это, директор смог докопаться до истины.Кто разбил стекло в классе? В ответе запишите только первую букву имени.

Задача 3:Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую банку, набрать из реки ровно три литра воды?

Задача 4: Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

и предложил решить их учащимся 6 Б и В классов;

- после попросил ребят ответить на вопросы анкеты: 1. Влияет ли решение логических задач на развитие интереса у школьников к предмету математика? 2. Какие методы решения наиболее эффективны? 3. Развивает ли умственное мышление, память, внимание умение решать логические задачи? 4. Легко ли вам даётся решение логических задач? 5. Умение решать логические задачи помогут вам лучше учиться?

Учащиеся решили задачи с удовольствием. Справились все. Анализируя результаты анкетирования, можно подвестиитог, что решение логических задач влияет на развитие интереса у школьников к уроку математики. Также выяснилось, что наиболее эффективный метод решения логических задач – метод рассуждений.

Если уметь решать логические задачи, то можно лучше учиться, так как развивается память, мышление, ум, внимание. Школьникам обязательно нужно научиться решать логические задачи. С логикой и логическими задачами мы сталкиваемся не только в школе на уроках математики, но и на других предметах.

Глава II. Заключение

Поставленная цель проекта была достигнута, так как я узнал, что такое «логические задачи», а также исследовал методы их решения.

В ходе работы над проектом я пришёл к выводам:

- наиболее эффективный метод решения логически задач является метод рассуждений;

- решение логических задач влияет на развитие интереса у школьников к уроку математики.

Сформулированная гипотеза о том, что решение логических задач – это не только очень увлекательный, но и крайне полезный способ время препровождения, как для школьников, так и для взрослых, полностью подтвердилась.

Работая над проектом, я научился работать с различными источниками информации. Узнал, какие существуют методы решения логических задач. Составил, обработал и анализировал анкеты учащихся.

Практическая значимость моего проекта нашла своё отражение в двух продукта:

- в сборнике задач; - в составлении буклета.

Сборник задач содержит 45 решенных логических задач. В среднем по 9 задач каждого метода. Каждая задача имеет объяснение и решение. Данный сборник будет полезен как учащимся 5 - 9 классов так и взрослым. Буклет поможет всем желающим научиться решать логические задачи разными методами.

Считаю, что информация в буклете и составленные задачи помогут ребятам лучше подготовиться и сдать итоговую аттестацию за курс основной школы.

В дальнейшем я планирую попробовать сам составлять логические задачи, так как это интересно и занимательно, развивает память, мышление, внимание.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. Математические основы информатики. Элективный курс. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2007;

2. Гейн А.Г. Математические основы информатики. Лекции 5–7 – М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2008;

3. Лыскова В.Ю., Ракитина Е.А. Логика в информатике – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001;

4. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Арифметика: Учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений / - 2-е изд. – Москва: Просвещение, 2002;

5. Рыбак К.Ю. Методы решения логических задач // Сборник материалов по результатам проведения недели математики в ДВГГУ. Выпуск 1 / под ред. М.А. Кисляковой. – Хаба- ровск: Изд-во Дальневост. гос. гуманит. ун-та, 2015;

6. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике. - М.: Просвещение, 2005;

7. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы – М.: Айрис-пресс, 2008;

8. Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5 – 6 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000.

Интернет – ресурсы:

9. http://metodist.lbz.ru/authors/informatika/3/eor8.php

10. https://logiclike.com/blog/reshaem-logicheskie-zadachi/kak-reshat-logicheskie-zadachi

11. http://works.doklad.ru/view/PvTYLgnk2CA/all.html

12.http://ped-kopilka.ru/blogs/ekaterina-viktorovna-solov-va/tema-logika-urok-reshenie-logicheskih-zadach-tablichnym-sposobom.html

13. http://wiki.iteach.ru/index.php/Способы_решения_логических_задач

14. http://www.informatika-1332.ru/al/al_10.html.

17