III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Данная работа проделана мною с целью изучения диофантовых уравнений и способов их решений. Диофантово уравнение – это уравнение (как правило с несколькими неизвестными) решение которого ищется в целых, иногда натуральных, числах. Сегодня я уделю внимание решению уравнений с геометрическим построением, рассмотрю метод координат, а также остановлюсь на аналитическом способе решения.
Задачи по этой теме предлагаются как на олимпиадах, так и в заданиях ОГЭ и ЕГЭ.
Безусловно, тема решений уравнений в целых числах была, есть и будет актуальна. Недаром ей занимались с самого зарождения математики. Конкретные задачи такого ряда были решены ещё в Древнем Вавилоне около 4 тыс. лет назад. Древнегреческий мыслитель Диофант, который жил около 2 тыс. лет назад в своей книге «Арифметика» решил большое число задач в целых числах и описал общие методы.
Основная часть.
Задача 7.1. Пусть на клетчатой бумаге нарисован прямоугольник размерами a×b клеток и отметим узлы сетки, которые на ней лежат. На сколько частей эти узлы делят диагональ?
15
Рис. 1
.
.
7
5
Рис. 4
12
8
.
.
.
.
.
10
C
.
.
.
Рис. 6
А
.
D
Пусть прямая проходит через А и В. Будем двигаться в направлении А В. Пусть следующим за узлом А будет С, а следующим за В будет D. Ясно, что |AC|=|BD|: если передвинуть лист вдоль прямой АВ так, что А перейдет в В, то ближайший к А узел С перейдет в D. Тем самым мы показали, что узлы расположены на равных расстояниях.
• Диагональ прямоугольника а×b разбита узлами сетки на d=НОД(a,b) частей.• Удобнее доказать более сильное утверждение: диагональ делится узлами на d=НОД(a,b) равных отрезков.
a
a1
b1
Рис. 7
Пусть k – общий делитель a и b. Тогда мы можем разбить каждую сторону узлами на k равных частей. Проведя через точки деления линии сетки, мы разобьём весь прямоугольник на k² меньших прямоугольников, а диагональ разобьётся на k равных частей (рис. 7). Обратно, если узлы разбивают диагональ на k равных частей, то проведя через них линии сетки, мы разобьём стороны на k частей, то получим, что k-общий делитель a и b (a=k ∙ a₁, b=k ∙ b₁)
Итак, каждому общему делителю k чисел a и b соответствует разбиение диагонали на k равных частей. Задача 1 решена.
Также связь между узлами клеток и целыми числами легко объясняется методом координат.
∙
·
∙
·
·
0
(9,6)
(6,4)
(3,2)
(-3,-2)
Рис. 8
Выберем за оси координат две линии сетки, за единицу масштаба – сторону клетки.
На рис. 8 проведена прямая, задаваемая уравнением y =xили 2x=3y.Легко видеть, что все точки решётки, лежащие на этой прямой – это (3,2), (6,4), (9,6), (12,8) … по одну сторону от начала координат и (-3,-2), (-6,-4) … по другую сторону. Все эти точки можно записать общей формулой: x=3t, y=2t, где t – любое целое число. В общем виде сформулируем наше наблюдение так.
Теорема 1. Если целые числа a и b взаимно просты, то все целые точки (x, y), лежащие на прямой ay=bx, находятся по формуле x=at, y=bt, где t – произвольное целое число.
Решим Задачу 2 Сколько целых точек лежит на отрезке, соединяющем точки:
А) (0,0) и (20,28) (включая его концы)
Решение: d = НОД (20,28) = 4, значит отрезок разделён на 4 части, отсюда следует на отрезке лежит 5 целых точек.
Б) (20,0) и (0,28)
Решение: d = 4, значит на отрезке лежит 5 целых точек.
Задача 3 Нарисуйте прямую заданную уравнением и напишите общую формулу, задающую все целые точки этой прямой.
А) 20x = 28y, y = x
x=7t, y=4t
Б) 20x+28y=0, 20x=-28y, y= − x
x=7t, y= − 4t
20x=28y
20x+28y=0
Мы научились решать однородное уравнение ay + bx=0 в целых числах (x, y).
Обсудим теперь, как устроено множество решений неоднородного уравнения
аy+bx=c. Начнём с примеров.
Пример 1. Рассмотрим уравнение 28x-20y=22, л.ч. делится на 4, а п.ч. – нет. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.
Пример 2. Рассмотрим уравнение 28y-20x=12. Разделим обе части на 4.
Получим 7y-5x=3. Теперь начертим несколько прямых, уравнения которых:
7y-5x=0, 7y-5x=1, 7y-5x=2, 7y-5x=7.
1
2
1
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
Рис. 9
·
Все эти прямые параллельны (рис. 9), нужная нам прямая четвёртая снизу. Заметим, что она проходит через целую точку (5,4), а остальные целые точки этой прямой расположены на равных расстояниях.
Отсюда ясно, что все решения нашего уравнения в целых числах:
X=5+7t
Y=4+5t
Теорема 3
А) Уравнение ay+bx=c тогда и только тогда имеет решение (x, y) в целых числах, когда c делится на НОД (a, b)
B) Если НОД (a, b) =1, c – произвольное число, то уравнение ay+bx=c имеет бесконечное число решений (x, y) в целых числах. Если известно одно решение (x0, y0), то все решения имеют вид x= x0+at, y=y0+bt
Доказательство.
Если a и b делятся на d, то при целых x, y число ay+bx=c тоже делится на d.
Если c не делится на d=НОД (a, b), то уравнение не имеет решений. Если же a, b и c делятся на d, то поделив все члены на d, мы придём к случаю, когда НОД (a, b) =1. Рассмотрим такое уравнение.
Пусть одно решение (x₀, y₀) уравнения мы нашли: ay₀+bx₀=c. Тогда легко найти общую формулу для остальных решений. Уравнение ay+bx=c мы можем записать так:
аy+bx=ay₀+bx₀или a(y+y₀) =b(x+x₀). Отсюда по теореме 1 получаем: x+x₀=at, y+y₀=bt.
Эти формулы выражают геометрически очевидный факт: если прямая ay+bx=c проходит через целую точку (x, y), то все другие целые точки расположены на ней с такими же интервалами, как и на параллельной прямойay+bx=0.
Осталось показать, как найти хотя бы одно решение (x₀, y₀) уравнения ay+bx=c
(если НОД (a, b) =1). Заметим, что достаточно сделать это для c=1: если (x₁, y₁) – решение уравнения ay+bx=1, то есть ay₁+bx₁=1, то x₀=cx₁, y₀=cy₁ будет решением уравнения
аy+bx=c. Итак нужно доказать эту теорему.
Теорема 4
Если НОД (a, b) =1, то существует целые числа x, y такие, что ay+bx=1.
Рассмотрим множество точек (x, y): 0≤ x ≤a и 0≤ ay+bx ≤ a
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
a=7
8
(0, 0)
(0, 1)
(a, b)
(a, b+1)
·
·
·
·
·
·
На рис. 10 параллелограмм с вершинами (0, 0), (0, 1), (a, b+1), (a, b): см. рис. 10, где a=7, b=5. Внутри него лежат a-1 целых точек (на каждой прямой x=1, x=2, …, x=a-1 по одной – ведь эти прямые пересекают параллелограмм по отрезку длины1). Посчитаем для каждой из этих (a-1) целых точек (x₁, y₁) значение c₁=ay₁+bx₁.
Это – целое число 0˂ay₁+bx₁˂a. При этом разным точкам (x₁, y₁) обязательно соответствуют разные c₁. Значит соответствие (x₁, y₁) (ay₁+bx₁) между (a-1) целыми точками и (a-1) числами
1, 2, …, a-1 взаимоодназначно. В частности, найдётся (x₁, y₁) такая, что ay₁+bx₁=1.
Задача 4
3+5х
А)3у-5х=1, НОД (3,5) =1 У= ( Рис. 1)
3
По теореме 3 НОД (а, b) =1, и известно одно решение (1,2), то все решения имеют вид х=1+3t и у=2+5t
Б) 3y+8x=2, НОД (3, 8) =1
y=
По теореме 3. НОД (a, b) =1 и известно одно решение (1,-2), то все решения имеют вид: x=1+3t y= -2+8t
(Рис. 2)
2-8x
3
3y+8x=2
Рис. 2
-10
-2
4
1
•
1
2
4
7
•
Рис. 1
3y-5x=1
.
•
Задача 6
Может ли число делится на 8, а при делении на 12 давать остаток 10?
Решение: число которое делится на 8, принимает вид 8х, а при делении на 12 с остатком 10 принимает вид 12х+10.
Рассмотрим все остатки при делении на НОК (8, 12) =24. делятся на 8 числа вида: 24m, 24m+8, 24m+16, …, и ни одно из них при делении на 12 не даёт остаток 10.
Задача 7
Двум мастерам приказали просверлить в рейке длинной 3 метра отверстия на равных расстояниях друг от друга и от концов рейки: одному мастеру – на расстоянии 20см, другому – 12см. Сколько всего отверстий проделано в рейке?
Решение: рейка имеет длину 300см. Первый мастер сверлит дырки на отметках: 20, 40, 60, …, 300. возьмём для подсчёта 300. но она не войдёт. Значит в ответе нужно будет вычесть единицу. Первый просверлит 300÷20=15 отверстий. Второй мастер сверлит на отметках: 12, 24, …, 300. он просверлит 300÷12=25 отверстий. В обоих списках отметок есть числа, которые делятся и на 12, и на 20, то есть делятся на НОК этих чисел.
НОК (12, 20) =60. Значит 5 отверстий совпадут. Тогда в конечном итоге отверстий получится: (15+25) -5=35. Так как мы взяли и число 300, вычитаем из ответа единицу и получаем 34 отверстия.
Задача 8. Две группы людей посадили вместе 850 деревьев. Первая группа работала 10 дней, а вторая 9 дней. Сколько деревьев сажала каждая группа в день, если первая группа за 4 дня сажала на 10 деревьев больше, чем вторая за 3 дня?
Решение: Пусть х – количество деревьев, которое сажала первая группа в день, у – количество деревьев, которое сажала вторая группа в день. Тогда первая группа посадила 10х деревьев, вторая – 9у. Вместе они посадили 850 деревьев, т.е. 10х+9у=850. далее за 4 дня первая посадила 4х, что на 10 деревьев больше, чем те 3у деревьев, которые посадила вторая группа за 3 дня – 4х-3у=10
10х+9у =850
4х-3у=10 ×3
10х+9у+12х-9у=30 +850
22х=880
Х=40
Подставим х=40 во второе уравнение системы: 4×40-3у=10. Получим 160-3у=10, -3у=10-160, у=50.
Ответ: 40 и 50 деревьев.
Заключение
В процессе работы над темой «Диофантовы уравнения» я заметила множество интереснейших фактов, связанных с решением уравнений в целых числах. Решение диофантовых уравнений – очень увлекательное занятие. Я открыла для себя, что теорема Пифагора тоже является диофантовым уравнением. Решение уравнений в целых числах – один из самых красивых разделов математики. Я узнала, что все великие математики Ферма, Эйлер, Гаусс и Чебышев оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теореме. Я буду дальше изучать эту теорию. И решая задачи, совершу для себя много новых открытий.
Литература
1. Алгебра. И.М. Гельфанд, А.Х. Шень, Фазис, Москва, 2000г.
2. «Всероссийские математические олимпиады». Яковлев Г.Н, Купцов Л.П., Резниченко С.В., Гусятников П.Б. М.: Просвещение, 1992г
3. Путешествие в историю математики. Александр Свечников. Педагогика-Пресс, 1995г.
4. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Под редакцией Сканави М.И.
5. Энциклопедия для детей. Анатолий Савин. Москва Аванто, 2003г.
Приложение
Задачи на самостоятельное решение
Задача 1. Отметим на числовой оси точки, дающие при делении на 12 остаток 5, красным карандашом, а точки, дающие при делении на 18 остаток 13 – синим. Каково будет наименьшее расстояние между красной и синей точкой?
Задача 2. Имеются контейнеры весом 130 кг и 160 кг. Нужно полностью загрузить ими грузовик грузоподъёмностью 3 тонны. Как это можно сделать?
Задача 3. Имеют ли следующие уравнения решения в целых числах:
а) 6х-16у=220
б) 105х+42у=56
в)-104х+65у=243
Задача 4. а) Начертите прямую 5у=8х=49; через какую целую точку она проходит? Как записать все множество решений этого уравнения в целых числах?
Тот же вопрос для прямых:
б) -42у+54х=-18
в) 3х-2у+11=0