IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ МИРЫ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ОБЪЕКТОВ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Идея «параллельных миров» многим знакома по научной фантастике. Сейчас в науке возникает парадигма «параллельных миров», основой которой служит идея логической многомерности [1 — 3] и метод когнитивной компьютерной графики [4].
Трансцендентные объекты в философии
Трансцендентным (от лат. transzendere - выходить за пределы) объектом называют такой, в реальности которого мы не сомневаемся, но познать его с помощью здравого смысла или научного знания - не можем. Трансцендентную природу имеют душа, совесть, свобода воли, нравственные и эстетические определенности. Эти объекты недоступны теоретическому познанию, и мы не можем иметь в отношении них какие-либо конкретные знания. Тем не менее, мало кто из людей сомневается в реальности совести или души. Идеальные факторы и мотивы оказывают на поведение людей иногда даже большее значения, чем материальные интересы. Об этом свидетельствуют бесчисленные примеры героизма, верности долгу, религиозного и идеологического фанатизма. [5]
Трансцендентные объекты встречаются и в математике, о них мы и поговорим.
Цель исследования: знакомство с идеей второго логического измерения и демонстрация возможностей идеи «параллельных миров» для получения «портретов» трансцендентных чисел.
Гипотеза: Концепция параллельных миров становится символом прогресса науки и техники. Наглядный образ параллельных миров дают радиошкалы, непрерывное перемещение по которым сменяется дискретным перескоком при изменении диапазона.
Задачи проекта:
изучить целесообразность применения графики Pascal ABC в программировании обусловленные спецификой задач;
определить область памяти, предназначенной для хранения промежуточных значений локальных переменных.
Методы исследования:
анализ информационных источников
изучение возможностей программных средств для решения специфических задач.
История.
В 1882 году немецкий математик Линдеман доказал, что число π трансцендентно. Из этого сразу следует невозможность решения одной из знаменитых задач древности.
Этих задач было три: об удвоении куба, о трисекции угла и о квадратуре круга. Их пытались решить еще математики Древней Греции.
По древнейшим библейским легендам о числе «Пи» было известно еще вавилонским жрецам. Они пользовались им для расчетов при строительстве Вавилонской башни. Однако справиться с проектом они не смогли, так как не удалось точно высчитать точное значение этого числа.
Впервой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил p с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1'. Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии. Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число p только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что p можно отыскать, исользуя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить p с какой угодно точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом p английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое У.Джонсоном обозначение стало обшеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.В конце XVIII в. А. М. Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что число p иррационально. Затем немецкий математик Ф. Линдеман, опираясь на исследования Ш.Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине окружности, невозможно, а следовательно, не существует решения задачи о квадратуре круга.Поиски точного выражения p продолжались и после работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540-1610) (некоторое историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа p с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа. К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа p. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число "пи". Некоторые из этих формул позволяют вычислить "пи" приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. Ряд [6].
В процессе вычислений этих самых знаков было открыто множество разных научных методов и целых наук. Но самое главное — в десятичной части числа пи нет повторений, как в обычной периодической дроби, а число знаков после запятой у него — бесконечно.
На сегодняшний день проверено, что в 500 млрд. знаков числа пи повторений действительно нет.
Поскольку в последовательности знаков числа пи нет повторений — это значит, что последовательность знаков пи подчиняется теории хаоса, точнее, число пи — это и есть хаос, записанный цифрами. Более того, при желании, можно этот хаос представить графически, и есть предположение, что этот Хаос разумен.
В 1965 году американский математик М. Улэм, сидя на одном скучном собрании, от нечего делать начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число пи. Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Попутно он обводил все простые числа кружками. Каково же было его удивление и ужас, когда кружки стали выстраиваться вдоль прямых! Позже он сгенерировал на основе этого рисунка цветовую картину с помощью специального алгоритма. Что изображено на этой картине — засекречено.
Этот случай произошедший с М.Улэм вдохновил меня на исследование графического построения числа Пи с помощью системы программирования PascalABC. Тем самым я хотел приоткрыть завесу на миры трансцендентных чисел. Используя текстовый файл pi.txt, в котором хранится число Пи как источник ввода для создания двумерного массива чисел, а также заполнения графического окна окружностями залитыми цветами, закодированными числовым кодом Пи.
Основная часть
Концепция параллельных миров становится символом прогресса науки и техники. Наглядный образ параллельных миров дают радиошкалы, непрерывное перемещение по которым сменяется дискретным перескоком при изменении диапазона. Примером может служить современная организация компьютерной памяти как системы прямого доступа (реализованная при помощи треков магнитных дисков). Сегодня никто не захочет вернуться вспять к системе последовательного доступа (на магнитной ленте), основанной на логически непротиворечивой непрерывности. Нормаль к параллельным мирам порождает новое измерение, образуя двумерные логические объекты.
Математика обязана своей поразительной эффективностью сверхмощи парадоксальных понятий. Математики уже давно оперируют логическими векторами. Сила парадокса в том, что смысл всегда берется в нескольких направлениях одновременно.
Трансценде́нтность (трансценденция, прил. трансценде́нтный) (от лат. transcendens — переступающий, превосходящий, выходящий за пределы) — философский термин, характеризующий то, что принципиально недоступно опытному познанию или не основано на опыте. В широком смысле трансцендентное понимается в качестве «потустороннего» в отличие от имманентного как «посюстороннего» [1].
Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами (не равного тождественно нулю).
Их свойства
Множество трансцендентных чисел континуально.
Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число — иррациональное,
но не трансцендентное: оно является корнем многочлена (и потому является алгебраическим).
Порядок на множестве вещественных трансцендентных чисел изоморфен порядку на множестве иррациональных чисел.
Мера иррациональности почти всякого трансцендентного числа равна 2.
Примеры
Число π
Число е
Десятичный логарифм любого целого числа, кроме чисел вида 10n.
sin a, cos a и tg a для любого ненулевого алгебраического числа a (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).
Объектом исследования является трансцендентные числа π и e.
Первым шагом исследовательской работы стало создание программы формирования двумерного массива целых чисел ввод которых осуществляется из текстового файла pi.txt в котором содержится число π., или e.txt в котором содержится число e. Программа позволяет регулировать размер матрицы за счет ввода пользователем количества строк и столбцов.
Эксперименты с программой «π»
program p1;
Const
str = 1000;
st = 1000;
type matrix= Array [1..str, 1..st] of integer;
var p,i,j,x,z,y:integer;
f:text;
m:matrix;
begin
assign (f, 'C:/pi .txt');
reset (f);
writeln('введите параметры двумерного массива по горизонтали и вертикали z,y');
readln(z,y);
p:=0;
while not eof (f) do begin
for j:=1 to y do
begin
for i:=1 to z do
begin
readln(f,x);
write('',x);
end;
writeln ('');
end;
end;
close(f);
end.
Размер массива по вертикали y=10, по горизонтали z=100
Размер массива по вертикали y=20, по горизонтали z=50
Эксперименты с программой «E»
……..
assign (f, 'C:/E.txt');
……
Размер массива по вертикали y=10, по горизонтали z=100
Вторым шагом исследовательской работы стало создание программы формирования графического изображения образно представляющей трансцендентное число π, или e данные содержащиеся в исходных файлах pi.txt или e.txt представляли код цветовой палитры. Эта программа позволяет формировать по выбору пользователя размер графического окна в котором будет изображен графический код трансцендентных чисел π или e.
Программа построения графического изображения трансцендентных чисел π и e.
program pi;
uses GraphABC;
var i,j,x,q,m,n:integer;
f: text;
begin
writeln('Введите параметры двумерного массива по горизонтали и вертикали z,y ');
readln(m, n);
SetWindowSize(m,n);
assign(f, 'c:pi .txt');
reset(f);
i:=10;
while not eof(f) do begin
while i