IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
В ЧЕМ КРАСОТА МАТЕМАТИКИ?
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
"..А если это так, то что есть красота
И почему её обожествляют люди?
Сосуд она, в котором пустота,
Или огонь, мерцающий в сосуде?»
Н. Заболоцкий, 1955г.
Введение
Принято считать, что математика – основа рационального знания, точная наука, оперирующая лишь сухими цифрами и символами, совершенно далекая от красоты музыки, идеалов гармонии и мира искусства в целом. Между тем, многие выдающиеся математики видят в ней красоту. Наиболее полно охарактеризовал это британский математик Бертран Рассел: «Правильный взгляд на математику открывает не только истину, но и безупречную красоту — холодную и суровую, как скульптура, отстранённую от человеческих слабостей, лишённую вычурных уловок живописи и музыки - горную кристальность и строгое совершенство великого искусства. Подлинный вкус наслаждения, восторг, освобождение от бренной человеческой оболочки — всё это критерии высшего совершенства, которыми математика обладает наравне с поэзией» [1]. Обращаясь к истории, мы можем узнать, что в древней Греции «математикой занимались ради её красоты», то же самое о математике пишут А.Н. Колмогоров и Г. Харди, называя «красивыми» и «изящными» некоторые теоремы, гипотезы и их решения. [2,3,4] Бесспорно, совершенно очевидна полезность математики для точных и естественных наук, таких как физика, химия, экономика, медицина и многие другие. Математику смело можно назвать языком современной науки. Но в чем же ее эстетическая привлекательность? Может ли обычный человек, не являющийся ученым-математиком постичь эту красоту?
Целью нашей работы стало изучение эстетического потенциала математики.
Исследования математической красоты
Орбитофронтальная кора
Рис.1
Как уже было сказано, многие из математиков - Бертран Рассел, Герман Вейль, физик Пол Дирак и искусствовед Клайв Белл, писали о важности красоты в математической формулировке и сравнивали ощущение математической красоты с ощущением, полученным от произведений искусства [1,4,5]. Их описания показывают, что ощущение математической красоты имеет много общего с ощущением, полученным из других источников, хотя математическая красота обладает гораздо большей интеллектуальной глубиной, чем визуальная или музыкальная красота, которые более «разумны» и основаны на восприятии. Неоднократно проводились исследования, в которых изучалась нейробиология красоты - исследования изображений отдельных областей мозга, реагирующих на визуальные, музыкальные и психологические воздействия [6,7]. Как выяснилось, все они взаимосвязаны с деятельностью одной и той же области мозга – орбитофронтальной коры (рис. 1) [8].
Действительно ли ощущение красоты, полученное из такого высокоинтеллектуального и абстрактного источника, как математика, взаимосвязано с деятельностью той же части мозга, что и впечатления от источников, основанных на зрительном и слуховом восприятии? Ответ на этот вопрос был недавно получен. В феврале 2014 года в журнале Frontiers in Humann Neuroscience было опубликовано совместное исследование нейробиологов и математиков, посвященное изучению феномена красоты математики [9]. Чтобы определить это, была использована функциональная магнитно-резонансная томография для изображения активности мозга 16-ти математиков, когда они рассматривали математические формулы, которые они оценивали индивидуально как красивые, нейтральные или уродливые. Результаты показали, что восприятие математической красоты тесно взаимосвязано с активностью в той же части эмоционального мозга, что и восприятие музыки, поэзии, живописи, а именно орбитофронтальной борозды [9].
Какие же математические формулы красивы?
Формулой, наиболее часто оцениваемой как красивая, в вышеприведенном исследовании, оказалось тождество Эйлера, которое связывает 5 фундаментальных математических констант с тремя основными арифметическими операциями:
eiπ+1=0;
где е - число Эйлера, основание натурального логарифма, предел последовательности (1+1/n)n,
i- "мнимая единица", квадрат которой равен минус единице, "основание" комплексных чисел,
π - число "пи".
Формула Эйлера, из которой сразу следует данное тождество, была опубликована Эйлером в 1740 году. Тождество уже тогда произвело глубокое впечатление на научный мир. Были даже попытки мистически истолковать его как символ единства математики: числа 0 и 1 относятся к арифметике, i — к алгебре, число π — к геометрии, а число e — к математическому анализу [10].
Сама формула Эйлера, утверждающая, что для любого комплексного числа (действительного в частности) x выполнено следующее равенство: eix= isinx + cosx, тожерасценивалась участниками как красивая (рис 2) [10].
Другой, высоко оцененной формулой стала теорема Пифагора:
Рис. 2
a 2 + b 2 = c 2;
«В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах» (рис.3) [11].
Рис.3
Это одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, которая устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. В этой теореме верно и обратное утверждение: треугольник, сумма квадратов длин двух сторон которого равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным [11]. В научной литературе имеется около четырехсот доказательств теоремы Пифагора [11], что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия), метод площадей, существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений) [12].
К красивым формулам были отнесены и уравнения Коши-Римана:
- дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют вещественная и мнимая части аналитической функции [13].
Формулы, считающиеся нейтральными, включали формулу Эйлера для многогранников: В-Р+Г=2, где В – число вершин, Р- число ребер, Г – число граней. Данная теорема устанавливает взаимосвязь между числом ребер, граней и вершин для многогранников, топологически эквивалентных сфере (например: тетраэдр, куб, октаэдр) [15].
Теорема Гаусса Бонне также была отнесена к нейтральным:
Данная теорема относится к области дифференциальной геометрии и топологии [16].
К числу нейтральных отнесена также спектральная теорема — наименование утверждений из класса теорем о линейных операторах или о матрицах в линейной алгебре и функциональном анализе.
Наиболее негативные эмоции у испытуемых вызывала формула, которая выражает обратную π в виде бесконечной суммы, предложенная индийским математиком Сринивасом Рамануджаном в 1910 году [13]:
Обсуждение
Искусство и математика, по большей части совершенно противоположны друг другу: искусство имеет более «разумный» источник и является доступным для многих, в то время как математика обладает высоким познавательным, интеллектуальным началом и доступна не для всех. Тем не менее, и то и другое может спровоцировать эстетические эмоции, вызывая ощущение красоты, хотя не все великие произведения искусства и не все великие математические формулы и теоремы способны на это.
Математическая красота, описанная Платоном, является высшей формой красоты, поскольку происходит от одного только интеллекта и связана с вечными и неизменными истинами, также является одним из самых абстрактных эмоциональных переживаний [17]. Несмотря на свою абстрактную природу, для Клайва Белла, сильна связь между математической и художественной красотой, потому что математик чувствует эмоцию для своих размышлений, которые «возникают ... из сердца абстрактной науки»[5]. В то время как для Бертрана Рассела «Истинный дух восторга, блаженства, чувства что ты больше, чем Человек, каковое есть критерий высшего совершенства, присутствует в математике так же несомненно, как и в поэзии» [1]. Платоновская традиция подчеркивала бы, что математические формулировки воспринимаются как прекрасные, потому что они дают представление о фундаментальной структуре вселенной [17]. Для Иммануила Канта, напротив, эстетический опыт так же обоснован в нашей собственной природе, потому что для него «эстетические суждения могут поэтому рассматриваться как выражение нашего чувства, что что-то имеет для нас смысл» [17].
Очевидно, что математическая и художественная красота были написаны с одним и тем же вдохновением математиками и гуманистами, и именно поэтому вызывают похожие физиологические и эстетические эмоции. Это означает, что существует и общий абстрактный характер ощущения красоты, полученного из самых разных источников. В свете этого деятельность в области эмоционального мозга, которая взаимосвязана с чувством красоты, полученным из разных источников, просто отражает нейробиологически тот же мощный и эмоциональный опыт красоты, о котором говорили и математики и художники.
Отношения взаимосвязи красоты с удовольствием и вознаграждением обычно обсуждались в философии эстетики без четкого вывода [17]. С точки зрения физиологии это, наверное, не удивительно, потому что все три сливаются друг с другом, без четких границ между ними, вызывая активность орбитофронтальной коры, что отражает, возможно, субъективную трудность разделения этих переживаний. Ученые, исследуя красоту математики, давали различные формулы эстетической привлекательности математического объекта. Например, Г. Биркгоф дал следующую формулу: M = O/C,
где M — мера красоты объекта, O — мера порядка, а C — мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта [18].
Другой подход к оценке красоты математического объекта предложил российский советский математик В. Г. Болтянский [19]. Предложенная им формула включает изоморфизм между математическим объектом и его наглядной моделью, простоту модели, а также неожиданность появления модели:
КРАСОТА = НАГЛЯДНОСТЬ + НЕОЖИДАННОСТЬ = ИЗОМОРФИЗМ + ПРОСТОТА + НЕОЖИДАННОСТЬ [19].
И та, и другая формулы созвучны: в них красота математического объекта обусловлена взаимодействием его обобщенного образа, созданного нашей психикой, и оригинальности, выделяющей этот объект из множества других.
Заключение
В ходе нашего исследования мы сделали вывод, что ощущение красоты, полученное от математических формулировок, представляет собой наверное самый уникальный случай ощущения красоты, который зависит от уровня обучения и культуры. О красоте математики написано немало. Многие авторы видят её в гармонии чисел и форм, геометрической выразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами, изяществе математических доказательств, порядке, универсальности математических методов.
Таким образом, красота математики, как правило, не лежит на поверхности, для ее постижения нужны некоторые — иногда значительные интеллектуальные и волевые усилия. Математик находится посередине между наукой и искусством, и это подтверждает неизбежную связь между самой абстрактной из наук и человеческими эмоциями.
Нельзя не вспомнить слова Анри Пуанкаре: «Думать, что математика затрагивает лишь интеллект, означало бы забыть о красоте математики, элегантности геометрии, которые прекрасны в самом полном смысле этого слова».
Перспективы дальнейшей разработки темы
В ходе нашей работы я узнала очень много нового и интересного. Большая часть формул и теорем до этого была мне не известна, однако первое знакомство состоялось и со многими из них я еще встречусь в своей школьной и студенческой жизни! В дальнейшей перспективе, я хотела бы провести исследование на восприятие школьниками формул из физики и математики курса средней общеобразовательной школы на предмет их «красоты». Таким образом, я надеюсь не только узнать: какие же формулы из школьных учебников самые красивые, но и привлечь внимание учеников к изучению точных наук.
Список литературы
Russell Bertrand. The Study of Mathematics. Mysticism and Logic: And Other Essays. — Longman, 1919. — P. 60.
Лурье Л. И.. Математическое образование в пространстве эстетического опыта. Образование и наука (Известия уральского отделения Российской академии образования). — 2006. — № 6 (42). - С 120.
Колмогоров А. Н. О профессии математика. Квант. — 1973. — № 4. (выдержки из брошюры «О профессии математика»).
Панов В. Ф. Математика древняя и юная. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: МГТУ им. Баумана, 2006. — С. 330—332. — 648 с.
Клайв Белл [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://en.wikipedia.org/wiki/Clive_Bell (дата обращения 27.11.2017)
Kawabata, H., and Zeki, S. Neural correlates of beauty. J. Neurophysiol. 91, 1699–2004. doi: 10.1152/jn.00696.2003
Kringelbach, M. H., O'Doherty, J., Rolls, E. T., and Andrews, C. Activation of the human orbitofrontal cortex to a liquid food stimulus is correlated with its subjective pleasantness. Cereb. Cortex 13. 2003: 1064–1071. doi: 10.1093/cercor/13.10.1064
[Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/ Орбитофронтальная_кора (дата обращения 28.11.2017)
Semir Zeki, John Paul Romaya, Dionigi M. T. Benincasa, Michael F. Atiyah. The experience of mathematical beauty and its neural correlates. Front. Hum. Neurosci.2014;13 | https://doi.org/10.3389/fnhum.2014.00068
Данциг Тобиас. Числа - язык науки. — М.: Техносфера. 2008. — С. 111.
Глейзер Г. И. История математики в школе. — М., 1982
Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://th-pif.narod.ru/other.htm (дата обращения 30.11.2017)
Уравнения Коши-Римана. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://slovar.wikireading.ru/98619 (дата обращения 29.11.2017)
Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 336 с.
Курант Р., Роббинс Г.Что такое математика? Перевод с английского под редакцией А. Н. Колмогорова Издательство: М.: МЦНМО. Год издания: 2015. 564 С.
[Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/ Формула_Гаусса_—_Бонне (дата обращения 28.11.2017)
Современная философия: Словарь и хрестоматия. Ростов-на-Дону. Феникс, 1996 г. 511 с.
Биркгоф Г. Математика и психология. — М.: Советское радио, 1997.
Болтянский Б. Г. Математическая культура и эстетика. Математика в школе. 1982. N 2.