IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

УДИВИТЕЛЬНЫЙ МИР МНОГОГРАННИКОВ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Гаврилова А.А. 1

---

1

Егорова Н.Т. 1

---

1

Работа в формате PDF

2.2 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

В раннем детстве все мы играли кубиками, пирамидками, с интересом разглядывали мамины и бабушкины серьги и кольца с камушками. Придя в школу, с удивлением узнали, что держали в руках правильные многогранники, а камушки не что иное, как октаэдры. На внеурочных занятиях по математике мы научились моделировать многогранники из бумаги и трубогранники из трубочек. Проблема при моделировании многогранников у нас возникла тогда, когда мы начали моделировать многогранник с шестигранными углами при вершине. У нас ничего не получилось! Пробовали мы сконструировать такой же трубогранник из трубочек и опять потерпели поражение. Поэтому нам захотелось больше узнать о многогранниках и выбрать тему работы: «Удивительный мир многогранников».

В своей научно-исследовательской работе мы решили изучить виды и свойства многогранников, а также показать способы моделирования многогранников и трубогранников. Актуальность. Выбранная нами тема исследования имеет широкое применение в различных сферах. Многогранники интересны и сами по себе. Они имеют красивые формы. Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах. Идёт это с глубокой древности. Пирамида – это норма тектоники – внутреннего устройства каменных зданий прошлого. «Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остаётся грамматикой архитектора» - это высказывание принадлежит великому французскому архитектору Ле Корбюзье.

В своей работе мы выдвинули следующее предположение: можно ли моделировать звездчатый многогранник с шестигранными углами при всех вершинах. На основании вышесказанного мы ставим перед собой следующую цель: изучить виды многогранников и раскрыть тайны моделирования многогранников.

Для реализации поставленной цели нами были выдвинуты задачи:

1)Изучить соответствующую историческую и математическую литературу.

2) Расширить знания о многогранниках, изучить их свойства.

3) Раскрыть тайны моделирования многогранников.

4) Исследовать способы создания различных моделей многогранников и трубогранников.

5) Показать практическое применение данной темы.

6) Разработать мастер классы и пособие по моделированию многогранников и трубогранников.

Для решения задач мы применили следующие методы исследования: аналитические методы, практическое моделирование, анализ, фотофиксация. Объект исследования: модели различных многогранников. Данная исследовательская работа реализуется в предметных рамках математики и геометрии, также можно использовать на уроках черчения, химии и биологии. Пособие по моделированию многогранников может быть использовано для внеурочной деятельности.

1. 
   
   Правильные многогранники

Немного о многогранниках

Многогранником называется фигура, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, которые называют гранями. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как многогранники.

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Правильным называют выпуклый многогранник, у которого все элементы одного и того же вида равны, т. е. все ребра равны, все углы на гранях равны и все двугранные углы равны.

Существует только 5 правильных многогранников (тел Платона), 13 полуправильных многогранников, открытых Архимедом, бесконечные серии полуправильных многогранников, 4 типа правильных звёздчатых многогранников. (ПРИЛОЖЕНИЕ ).

Правильный тетраэдр составлен из 4-х равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 3-х треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180⁰.

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной 4-х треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240⁰.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300⁰.

Гексаэдр (куб) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270⁰.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324⁰.

Эти многогранники носят название правильные Платоновы тела – по имени древнегреческого философа Платона (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).

Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства. Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка:

«эдрон» – грань, «тетра» – четыре; «гекса» – шесть; «окто» – восемь; «додека» – двенадцать; «икоси» – двадцать.

В древности они олицетворяли: землю, воздух, воду, солнце, космос.

Тетраэдр – четырёхгранник - символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх.

Гексаэдр (куб) – шестигранник - землю, как самый устойчивый.

Октаэдр – восьмигранник - воздух, как самый воздушный.

Додекаэдр – двенадцатигранник - воплощал в себе все сущее, символизировал все мироздание, считался главным.

Икосаэдр - двадцатигранник - воду, т.к. он самый обтекаемый.

1.  
   Полуправильные многогранники

У правильных многогранников все грани – правильные равные одноименные многоугольники и все многогранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани – правильные, но разноименные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такого типа открыл Архимед (287 – 212 гг. до н.э). Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда (ПРИЛОЖЕНИЕ)

Перечислим их: первые пять многогранников очень просто получить из пяти правильных многогранников операцией «усечения», которая состоит в отсечении плоскостями углов многогранника.

1.Усеченный тетраэдр – многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин тетраэдра. Многогранник имеет 12 вершин, 18 ребер, 8 граней. Гранями являются 4 правильных шестиугольника и 4 правильных треугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 шестиугольника и треугольник.

2.Усечённый октаэдр – многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин октаэдра. Многогранник имеет 24 вершины, 36 ребер, 14 граней. Гранями являются 8 правильных шестиугольников и 6 правильных треугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 шестиугольника и квадрат.

3.Усечённый икосаэдр – многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин икосаэдра. Многогранник имеет 60 вершины, 90 ребер, 32 граней. Гранями являются 12 правильных пятиугольников и 12 правильных шестиугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 шестиугольника и пятиугольник. Каждый из пятиугольников со всех сторон окружён шестиугольниками. Усеченный икосаэдр очень напоминает изображение футбольного мяча.

4.Усечённый гексаэдр (усечённый куб) – многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин гексаэдра. Многогранник имеет 24 вершины, 36 ребер, 14 граней. Гранями являются 6 правильных восьмиугольника и 8 правильных треугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 восьмиугольника и треугольник.

5.Усечённый додекаэдр - многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин додекаэдра. Многогранник имеет 60 вершины, 90 ребер, 32 граней. Гранями являются 12 правильных десятиугольников и 20 правильных треугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 десятиугольника и треугольник

6.Кубооктаэдр. Если теперь в кубе провести плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины, получим еще один шестой равноугольно полуправильный многогранник – кубооктаэдр. Многогранник имеет 12 вершины, 24 ребер, 14 граней. Гранями являются 6 квадратов и 8 правильных треугольников. В каждой из вершин сходятся по 2 квадрата и по 2 треугольника.

8.Усеченный кубооктаэдр - многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин кубооктаэдра. Многогранник имеет 48 вершин, 72 ребра, 26 граней. Гранями являются 8 правильных шестиугольника, 6 правильных восьмиугольника и 12 квадрата. В каждой из вершин сходятся 1 шестиугольника, 1 восьмиугольник и квадрат.

9.Усеченный икосадодекаэдр - многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин икосадодекаэдра. Многогранник имеет 120 вершин, 180 ребра, 62 граней. Гранями являются 20 правильных шестиугольника, 12 правильных десятиугольника и 30 квадратов. В каждой из вершин сходятся 1 квадрат, 1 десятиугольник и 1 шестиугольник.

10.Ромбокубооктаэдр он состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов. Многогранник имеет 24 вершин, 28 ребра, 26 граней. Гранями являются 18 квадратов и 8 правильных треугольников. В каждой из вершин сходятся по 3 квадрата и 1 треугольник.

11.Ромбоикосододекаэдр состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. Многогранник имеет 60 вершин, 120 ребер, 62 граней. Гранями являются 30 квадратов, 12 правильных пятиугольников и 20 правильных

треугольников. В каждой из вершин сходятся по 2 квадрата, 1 пятиугольник и 1 треугольник.

12.«Плосконосый» куб состоит из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками. Многогранник имеет 24 вершин, 60 ребер, 38 граней. Гранями являются 6 квадратов и 32 правильных треугольников. В каждой из вершин сходятся 1 квадрат и по 4 треугольника.

13.«Плосконосый» додекаэдр состоит из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками. Многогранник имеет 60 вершин, 150 ребер, 92 грани. Гранями являются 12 правильных пятиугольников, 80 правильных треугольников. В каждой из вершин сходятся 1 пятиугольник и по 4 треугольника.

1.3 Звездчатые многогранники

Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники.

Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам. Правильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники. В отличие от пяти классических правильных многогранников, данные многогранники не являются выпуклыми телами. Тетраэдр, куб, октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму.

В 1811 году Огюстен Лу Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела (они называются телами Кеплера — Пуансо), которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел.

К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. (ПРИЛОЖЕНИЕ). Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера — Пуансо.

Полуправильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются правильные или звёздчатые многоугольники, но не обязательно одинаковые. При этом строение всех вершин должно быть одинаковым. Г. Коксетер, М. Лонге-Хиггинс и Дж. Миллер в 1954 году перечислили 53 таких тела и выдвинули гипотезу о полноте своего списка. Только значительно позже в 1969 году Сопову С. П. удалось доказать, что представленный ими список многогранников действительно полон. Со всеми этими видами звездчатых многогранников вы можете ознакомиться на сайте http://zvzd3d.ru/FromBumaga.html.

2.Свойства выпуклых многогранников

2.1 Сумма углов выпуклого многогранника

Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.

Исследуем, какие многогранники могут получиться, если в гранях правильные треугольники, четырёхугольники, пятиугольники, шестиугольники и т.д.

1.Пусть грани правильного многогранника – правильные треугольники. Каждый угол правильного треугольника по 60^о. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то

60n < 360 n < 6, n = 3, 4, 5, т.е. существует 3 вида правильных многогранников с треугольными гранями. Это тетраэдр, октаэдр, икосаэдр.

2.Пусть грани правильного многогранника – правильные четырехугольники - квадраты. Каждый угол квадрата по 90^о. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то

90n < 360, n < 4, n = 3, т.е. квадратные грани может иметь лишь правильный многогранник с трехгранными углами – куб (гексаэдр)

3.Пусть грани правильного многогранника – правильные пятиугольники(пентагоны.). Каждый угол правильного пятиугольника 108^о. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то

108 n < 360, n < 3,333, n = 3, т.е. пятиугольные грани может иметь лишь один правильный многогранник с трехгранными углами, это додекаэдр.

4.Пусть грани правильного многогранника – правильные шестиугольники (гексагоны). Каждый угол правильного шестиугольника равен 120^о. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то

120 n < 360, n < 3, n = 2,

В этом случае невозможен даже трехгранный угол. Значит, правильных многогранников с шестиугольными и более гранями не существует.

Звездчатые многогранники получаются из правильных и полуправильных многогранников продолжением граней или ребер. Звёздчатый многогранник у которого все многогранные углы – шестигранные невозможно моделировать, так как не существует выпуклого многогранника с шестиугольными гранями.

2.2 Теорема Эйлера

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов Платоновых тел и занесём результаты в таблицу № 1.

Анализируя таблицу № 1, возникает вопрос: “Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?” По-видимому, нет. Например, в столбце “грани” казалось бы, просматривается закономерность (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), но затем намеченная закономерность нарушается (8 + 2 ? 12, 12 + 2 ? 20). В столбце “вершины” нет даже стабильного возрастания.

Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12) . В столбце “рёбра” закономерности тоже не видно.

Таблица № 1.

Таблица № 2.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Составим новую таблицу своих подсчётов (см. табл. № 2). Во второй таблице можно заметить закономерность. Сформулируем её так:

Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2

Г + В = Р + 2 или В — Р + Г= 2

(где В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер, Г — число граней)

Итак, мы получили формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

3. Моделирование многогранников

3.1 Модульное моделирование

Модульное оригами - одно из направлений древнего японского искусства складывания из бумаги. Оно позволяет создать множество интересных моделей из одинаковых элементов (модулей). Достаточно научиться складывать один простой модуль, чтобы собрать разнообразные поделки: выпуклые и звездчатые многогранники, объемные игрушки, оригинальные сувениры.

Приступаем к созданию модуля, берем бумагу (можно стикер).

Складываем его пополам. Складываем ещё раз пополам.

Раскрываем нашу работу. Разворачиваем на 90 градусов и складываем на пополам. Раскрываем нашу работу

Сгибаем левый верхний угол по диагонали верхнего левого прямоугольника (см. рис.).

Также сгибаем правый нижний угол по диагонали (см. рис.).

Раскрываем полученные углы (см. рис.).

Раскрываем полностью стикер так, чтобы по центру горизонтальная линия сгиба смотрела вверх (см. рис.).

Теперь складываем на пополам придерживая двумя пальцами центр бумаги и продавливаем пальцем по линиям сгиба (см. рис.).

Нижний левый угол по линиям сгибов складываем во внутрь (см. рис.).

Полученную работу развернуть на 90 градусов, и сложить на пополам

(см. рис.)

После сгибаем верхний правый угол на себя (см. рис.).

И ещё раз согнуть полученного угла уголок (см. рис.)

Оставить в таком же положении, только закрыть получившиеся углы (см. рис.).

Переворачиваем работу и также складываем верхний угол (см. рис.).

Наш модуль готов.

Сейчас приступим к созданию многогранника. Надо язычок одного модуля заклеить в кармане второго модуля (см. рис.) и так далее. Таким образом можно создавать различные звездчатые многогранники.

Существуют еще другие виды модулей для моделирования многогранников (ПРИЛОЖЕНИЕ). Изготовление этих модулей можно найти на сайте https://www.youtube.com/watch?v=Pku1_MXT0cQ.

3.2 Моделирование трубогранников

Мы захотели посмотреть вовнутрь наших многогранников и решили изготовить каркасы этих многогранников (трубогранники). Трубогранники — это каркасные модели многогранников, сделанные из трубочек. Трубочки соединяются между собой леской. Оказалось, что внутри каждого нашего многогранника находится тела Платона или тела Архимеда. Процесс создания трубогранников отлично развивает пространственное воображение и мелкую моторику рук. По примеру этих выпуклых многогранников, можно смоделировать множество других многогранников.

1. Тетраэдр – состоит из 6 ребер.

1.Соединяем 3 трубочки так, чтобы они образовали треугольник.

2.К одной из трубочек присоединяем ещё 2 трубочки, чтобы образовался второй треугольник.

3.Соединяем последнюю трубочку и формируем тетраэдр.

2. Гексаэдр – состоит из 12 ребер.

1.Соединяем 4 трубочки так, чтобы они образовали квадрат.

2. К одной из трубочек присоединяем ещё 3 трубочки.

3. Повторяем 2 пункт.

4.Соединяем две оставшиеся трубочки и формируем гексаэдр.

3.Октаэдр - состоит из 12 ребер.

1.Соединяем 3 трубочки так, чтобы они образовали треугольник.

2.К одной из трубочек присоединяем ещё 2 трубочки, чтобы образовался второй треугольник.

3.Повторяем 2 пункт.

4.Присоединяем ещё одну трубочку, тем самым образовываем четвёртый треугольник.

5.Повторяем 2 пункт.

6. Соединяем две оставшиеся трубочки и формируем октаэдр.

4.Додекаэдр – состоит из 30 ребер.

1.Соединяем 5 трубочек так, чтобы они образовывали пятиугольник.

2.К каждой паре трубочек присоединяем ещё по 1 трубочке.

3.Добавляем ещё 2 трубочки, чтобы получился второй пятиугольник.

4. Продолжаем присоединять трубочки к другим граням пятиугольника.

5.Добавляем по 3 трубочке к каждой из пяти образовавшихся пар трубочек.

6.Присоединяем последние 5 трубочек, соединяя их между собой и замыкая фигуру в шар.

5.Икосаэдр – состоит из 30 ребер.

1.Соединяем 3 трубочки так, чтобы образовался треугольник.

2.К одной из этих трубочек присоединяем ещё 2 трубочки, чтобы образовать второй треугольник.

3.Писоединяем ещё 2 трубочки для третьего и четвёртого треугольника.

4.Добавляем ещё 1 трубочку, и образуем пятый треугольник.

5.К одному из модулей добавляем 2 трубочки, чтобы снова образовался треугольник.

6. Продолжаем присоединять трубочки, пока не получим трубогранник - икосаэдр.

6. Звёздчатый октаэдр.

Для данной фигуры необходимо 12 красных трубочек и 18 синих трубочек.

Моделируем октаэдр.

У одной стороны октаэдра продолжаем грани и ребра (образуем трёхгранный угол)

3. 
   
   Моделирование с помощью разверток

С 3-9 пункт повторяем 2 пункт.

Моделировать многогранники можно еще с помощью разверток. Развертки всех правильных или полуправильных многогранников можно найти на сайте http://zvzd3d.ru/FromBumaga.html. Но на этом сайте и в других источниках литературы мы не нашли развертку для следующей модели, которая состоит из гексаэдра и 4 четырехугольных пирамид (ПРИЛОЖЕНИЕ). Поэтому в дальнейшем мы хотим изучить принципы создания разверток для многогранников. В своей работе мы предлагаем развертку календаря на 2017 год в виде додекаэдра (ПРИЛОЖЕНИЕ).

Многогранники вокруг нас

Многогранники были известны еще в Древнем Египте и Вавилоне. В то же время теория многогранников – современный раздел математики, имеющий практическое приложение в алгебре, теории чисел, в естествознании, в областях прикладной математики – линейном программировании, теории оптимального управления. Где же мы в повседневной нашей жизни сталкиваемся с многогранниками? Да везде! Они – повсюду. Многогранники живут во всех областях знаний (архитектура, медицина, машиностроение и т.д.), многие профессии, так или иначе, используют их. Многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Постоянный интерес к изучению и изображению многогранников испытывали и многие художники разных эпох и стран.Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах. Мы смогли создать творческий проект «Детский игровой комплекс как арт-объект», где все элементы объекта выполнены в форме многогранников. С данным проектом мы принимали участие в работе Всероссийского Промышленного Форума в Уфе (ВДНХ 22 – 24 марта 2017г.) (ПРИЛОЖЕНИЕ). Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. Некоторые из правильных и полуправильных многогранников встречаются в природе в виде кристаллов, другие — в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Например: кристаллы поваренной соли NaCl (натрий хлор) имеют форму куба; кристаллы медного купороса представляют собой октаэдры;кристаллы пирита имеют форму додекаэдра; молекула молочной кислоты имеет форму тетраэдра; икосаэдр передает форму кристаллов бора. Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр (ПРИЛОЖЕНИЕ). Так же многогранники широко используются в дизайне интерьера. Модели многогранников часто используют в производстве игрушек. Считается, что уже со­зерцание многогранников способствует гармонизации внутреннего состояния человека.Моделирование и конструирование многогранников имеет большое значение в обучении детей, так как расширяет знания учащихся об окружающем мире, прививает любовь к труду, развивает мелкую моторику. В процессе начального технического моделирования дети создают различные по сложности конструкции, развивая тем самым свои технические способности. К примеру, моделирование многогранников учит их применять свои рационализаторские способности и развивает пространственное и инженерное мышление.

Заключение

«Мышление начинается с удивления» - заметил 2500 лет назад Аристотель. Наш современник Сухомлинский считал, что «Чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления. Именно это мы попытались показать, изучая тему «Удивительный мир многогранников». В своей научно-исследовательской работе мы смогли решить задачу о моделирования звездчатого многогранника с шестигранными углами при всех вершинах. Изучив виды и свойства известных многогранников мы доказали, что невозможно моделировать такой звездчатый многогранник, так как не существует выпуклый многогранник со всеми шестиугольными гранями. Кроме этого мы рассмотрели теорему Эйлера для выпуклых многогранников. В данной работе предложены алгоритмы моделирования многогранников с помощью оригами, также показаны основные правила конструирования трубогранников. В работе представлены мастер классы по модульному моделированию и по изготовлению звездчатого многогранника – трансформера. Также приведены примеры практического применения моделирования многогранников в различных сферах. Моделировать многогранники можно еще с помощью разверток. В работе предложена развертка календаря 2017 года в виде додекаэдра. В дальнейшем мы хотим изучить принципы создания разверток для многогранников и научиться создавать развертки для звездчатых многогранников. Также хотим научиться созданию различных видов разверток многогранников с помощью компьютерных технологий. Наши планы на будущее: издать пособие по моделированию многогранников (ПРИЛОЖЕНИЕ)

Список использованной литературы:

http://zvzd3d.ru/FromBumaga.html

М. Веннинджер "Модели многогранников", 1974

В мире многогранников», И.М.Смирнова, М, «Просвещение», 1995 год.

Википедия.

А.П.Савин «Энциклопедический словарь юного математика»

В.Гончар. "Модели многогранников" (1997, 2010)

http://folk.uib.no/nmioa/kalender/

https://www.youtube.com/watch?v=Pku1_MXT0cQ

ПРИЛОЖЕНИЯ

феодарии (Circogonia icosahedra)

Правильные и полуправильные многогранники

(тела Платона и тела Архимеда)

Правильные звездчатые многогранники (тела Кеплера – Пуансо)

Модульное моделирование многогранников

Моделирование с помощью разверток

Многогранники вокруг нас

Мои работы по моделированию

Ваза Конфетница Модель детской площадки Украшения

Моделирование многогранника – трансформер

Склеиваем между собой жёлтые модули, как показано на рисунках.

К этому элементу добавляем синие модули (см. рис.)

Аналогично приклеиваем остальные 10 элементов (всего 12).

Творческий проект

«Детский игровой комплекс как арт-объект»

Творческий проект

«Детский игровой комплекс как арт-объект»

Авторское пособие по моделированию многогранников