IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В РЕШЕНИИ АКТУАЛЬНЫХ НАУЧНЫХ ЗАДАЧ АСТРОФИЗИКИ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В круге задач теоретической астрофизики актуальным является широкое использование математических методов исследования.
Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками Древней Греции.
Одним из актуальных и важнейших разделов теоретической астрофизики является теория переноса излучения. Эта теория получила большое развитие в математических задачах астрофизики в связи с решением ряда актуальных задач астрофизики последних десятилетий. Использование интегрального уравнения Милна, дающего распределение температуры в атмосфере звезды, - пример актуального применения интегральных уравнений в решении важнейших научных задач астрофизики.
Цель – изучить возможности использования интегральных уравнений в решении актуальных научных задач астрофизики.
Основные задачи:
Охарактеризовать понятия «интеграл» и «интегральное уравнение».
Изучить историю развития интегральных вычислений.
Показать роль математических методов исследования при изучении небесных объектов в астрофизике.
Описать интегральное уравнение для проведения расчёта переноса излучения для изотропного рассеяния в теории переноса излучения - важнейшего раздела теоретической астрофизики.
1. Определение и характеристика понятий «интеграл» и «интегральное уравнение»
Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и т. п., а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл). Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть — двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и т. д.; также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и др.
Основные понятия интегрального исчисления введены в работах Ньютона и Лейбница в конце XVII века. Лейбницу принадлежит обозначение интеграла {displaystyle int ydx}, напоминающее об интегральной сумме, как и сам символ , от буквы («длинная s») — первой буквы в латинском слове summa (тогда ſumma, сумма). Сам термин «интеграл» предложен Иоганном Бернулли, учеником Лейбница.
Готфрид Вильгельм
Лейбниц
(21 июня (1 июля) 1646(16460701) — 14 ноября1716)
Иоганн Бернулли
27 июля (6 августа) 1667, Базель — 1 января1748, там же)
Обозначение пределов интегрирования в виде введено Фурье в 1820 году.
Жан Бати́стЖозе́ф Фурье́
21 марта1768, Осер, Франция — 16 мая1830, Париж)
Строгое определение интеграла для случая непрерывных функций сформулировано Коши в 1823 году, а для произвольных функций — Риманом в 1853 году. Определение интеграла в смысле Лебега впервые дано Лебегом в 1902 году (для случая функции одной переменной и меры Лебега).
Пусть дана f(x) — функция действительной переменной. Неопределённым интегралом функции f(x) или её первообразной называется такая функция F(x), производная которой равнаf(x), то есть F'(x)=f(x). Обозначается это так:
F(x) =
В этой записи — знак интеграла, f(x)называется подынтегральной функцией, а dx— элементом интегрирования.
Пусть f(x)определена на отрезке [a;b]. Разобьём [a;b] на части несколькими произвольными точками: a=x0