IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В СКУЛЬПТУРЕ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Тема золотого сечения была и будет актуальной, ведь мы всегда и во всем ищем красоту. Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
Цель: познакомиться с определением золотого сечения, его математическим истолкованием и использованием золотого сечения в архитектуре, а также, изучить золотое сечение в скульптуре М.Ю. Лермонтова, установленной в сквере имени М.Ю. Лермонтова в родном городе Пятигорске.
Задачи:
1. Познакомиться с историей золотого сечения.
2. Изучить гармоническую пропорцию, второе золотое сечение и золотой треугольник.
3. Познакомиться с золотым сечением в архитектуре и скульптуре.
4. Исследовать на предмет золотого сечения памятник М.Ю.Лермонтову в родном Пятигорске, выполненный скульптором А.М.Опекушиным в 1889 году.
Эту информацию мы сможем получить из книг по математике и пользуясь различными сайтами интернета.
История золотого сечения
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.
Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии. Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать». Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).
Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».
Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д. Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.
В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.
Золотое сечение – гармоническая пропорция
В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений:a : b = c : d. Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:
на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.
Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.
Геометрическое изображение золотой пропорции
Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.
Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB;CD = BC
Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.
Свойства золотого сечения описываются уравнением: x2 – x – 1 = 0. Решение этого уравнения: .
Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.
Второе золотое сечение
Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.
Построение второго золотого сечения
Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 44 : 56 .
Деление прямоугольника линией второго золотого сечения
На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.
Золотой треугольник
Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.
Построение правильного пятиугольника и пентаграммы
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Построение золотого треугольника
Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.
Золотое сечение в архитектуре
В книгах о “золотом сечении” можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими “золотое сечение”, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. “Золотое сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.
Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).
Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. выступы сделаны целиком из квадратов пентелийского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по “золотому сечению”, то получим те или иные выступы фасада.
Другим примером из архитектуры древности является Пантеон.
Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал “золотое сечение”.
Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, “золотое сечение” можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова.
Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В.Баженова. Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г.
При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертеж нижнего этажа.
Многие высказывания зодчего заслуживают внимание и в наши дни. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: “Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания... К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок”.
А вот Спасский Кафедральный собор в Пятигорске мы собираемся проверить на соответствие правилам «золотого сечения».
Золотое сечение в скульптуре
Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения.
Пропорции “золотого сечения” создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал “золотое сечение” в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.
Оказывается, не только скульпторы древности использовали «золотое сечение» в своих скульптурах. Мы исследовали на предмет золотого сечения памятник М.Ю.Лермонтову в родном Пятигорске, выполненный скульптором А.М.Опекушиным в 1889 году. Для этого мы посетили дом-музей Лермонтова, где нам подарили ксерокопию эскиза памятника, находящегося в
хранилище музея.
Скульптор А.М.Опекушин.
Гравюра И.Матюшина
И нас также заинтересовала история этого памятника. Вот что у нас получилось, но об этом по порядку.
Поэт в раздумье сидит на уступе скалы. Сброшена шинель, расстегнут офицерский сюртук. Раскрытая книга упала к ногам, взор устремлен на снежную цепь Кавказских гор. Так выглядит памятник Лермонтову в Пятигорске, созданный скульптором А.М.Опекушиным. Его бронзовый Пушкин стал украшением Москвы. Бронзовый Лермонтов стал символом Пятигорска.
Идею сооружения памятника поэту поддержал тогдашний главный арендатор Кавказских Минеральных Вод А.М.Байков. Он обратился к начальнику Главного управления Кавказского наместника барону А.П.Николаи с докладной запиской, в которой говорилось: «В Пятигорске все напоминает Лермонтова. Там он писал свои лучшие сочинения и там кончил свою жизнь. Лермонтов поэт Кавказа и увековечить память его нужно в Пятигорске...» Ответ пришел быстро: «Высочайше разрешено 23 июля 1871 года сооружение в Пятигорске памятника М.Ю.Лермонтову и открытие повсеместной в Империи подписки для сбора пожертвований на этот памятник».
Восемнадцать лет собирались народные средства на памятник М.Ю.Лермонтову. 30 октября 1883 года комиссия подвела итоги конкурса. Автором модели оказался академик А.М.Опекушин, известный как автор памятника А.С.Пушкину, открытого за три года перед тем в Москве. Работа Опекушина отличалась простотой композиции, высоким профессиональным мастерством.
А.М.Опекушин выполнил огромную подготовительную работу, прежде чем создал окончательный вариант памятника. Он не оставлял работы над поиском образа и после того, как получил первую премию. Самым сложным для скульптора оказался вопрос о внешности поэта, чей образ он должен был представить в бронзе. При исполнении бюстов и статуй Пушкина скульптор мог видеть посмертную маску поэта и ряд превосходных его портретов. А вот с лица Лермонтова посмертная маска не была снята, портреты его были весьма противоречивы и вызывали споры среди тех, кто знал его лично.
Опекушин стремился не только передать портретное сходство, но и создать высокохудожественный образ поэта. Скульптор строил фигуру, учитывая окружающую природу. Монументальные качества не должны были быть подавлены масштабом гор.
Скульптура высотой в 2,35 метра отливалась на заводе Морана в Санкт-Петербурге. Она изображает Лермонтова сидящим на обломке скалы в задумчивой позе, военная шинель сброшена с плеч и красивыми складками драпируется сбоку. Памятник предполагалось открыть 15 октября, в день 75-летия М.Ю.Лермонтова. Но после завершения курортного сезона в Пятигорске осенью жизнь замирала, и поэтому торжество по случаю открытия памятника перенесли на август этого же года. В Пятигорске шли приготовления по завершению работ в сквере, где должно было состояться открытие памятника.
Крутой обрыв с рытвинами, по которым во время летних ливней неслись потоки грязи и камни, укрепили подпорной стеной из машукского камня. Сквер обнесли чугунной решеткой, балюстрадой с фонарями по углам, сделали каменный грот и сторожку. Сама планировка сквера по очертаниям напоминала лиру. Проект оформления сквера был выполнен гражданским инженером и архитектором из Ростова-на-Дону Н.А.Дорошенко.
16 (28) августа 1889 года в Пятигорске состоялось открытие монумента. «Это был праздник Пятигорска, – писала газета «Северный Кавказ», – все от мала до велика пришли на площадь к Лермонтовскому скверу».
Окруженный флагами, цветами, гирляндами, на площадке, усыпанной чистым песком, высился огромный памятник, завешанный белым покрывалом.
С монумента упала завеса. Перед заполнившей сквер публикой возник образ певца Кавказа. Оркестр Тенгинского полка заиграл гимн, а потом исполнил сочиненный В.Саулем марш «Лермонтов». Тенгинцы возложили к памятнику поэта серебряный венок. В торжествах участвовал осетинский поэт Коста Хетагуров. Он напомнил всем собравшимся лермонтовского «Пророка». «Пусть поэзия Лермонтова жжет наши сердца и учит нас правде», – заключил он свою речь. Памятник М.Ю.Лермонтову в Пятигорске стал символом всенародной любви к поэту. Здесь всегда букеты живых цветов.
Вот этот эскиз памятника. В основании памятника мы провели диагонали, затем к полученной точке пересечения диагоналей провели перпендикуляр, по длине равный высоте памятника. И через основание ног поэта построили «золотой треугольник». Наши измерения показали, что отношение боковой стороны этого треугольника к его основанию, а также отношение основания получившегося треугольника к отрезку, полученному при делении боковой стороны окружностью, считая от вершины, равны приблизительно 1,6.
Наши исследования еще раз подтвердили то, что скульпторы используют в своих произведениях пропорции “золотого сечения”, которые создают впечатление гармонии красоты.
Мы также проанализировали еще одну скульптуру на наличие «золотого сечения». Это скульптура Кисы Воробьянинова Равиля Юсупова в парке «Цветник». К сожалению, автор при создании скульптуры «золотые пропорции» не использовал.
Но, тем не менее, Киса стал любимым персонажем пятигорчан и гостей города.
Заключение
В заключение хотелось бы отметить, что золотое сечение в природе, искусстве, архитектуре является непременным условием правильного и красивого изображения предмета, впоследствии украшающего нашу жизнь. Проделав данную работу, мы убедились в том, что использование «золотого сечения» актуально всегда. В работе представлены доказательства истории развития и использования золотого сечения в разные эпохи. Мы попытались подтвердить наличие золотого сечения в архитектуре и скульптурах. А также мы пришли к выводу, что красота таинственна, разнообразна и окружает нас повсюду, но вся она поддается одним и тем же законам, знание и применение которых делает нас и нашу жизнь прекраснее.
Список литературы:
Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Высшая школа, 1989.
Кеплер И. О шестиугольных снежинках. – М., 1982.
Дюрер А. Дневники, письма, трактаты – Л., М., 1957.
Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. – София, 1983.
Стахов А. Коды золотой пропорции.
Бендукидзе А. Д. Золотое сечение «Квант» № 8, 1973.
Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
Шмигевский Н.В. Формула совершенства // Страна знаний. - 2010. - №4. - С.2-7.
В.А.Захаров, Л.Н.Польский Первый в России.- Северокавказское издательство МИЛ Москва-Кисловодск. 2005
Золотое сечение. (https://ru.wikipedia.org/)