IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ВОЛШЕБНАЯ СИЛА ТРЕУГОЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Шамшурин А.В. 1

---

1

Гагарина Н.А. 1

---

1МБОУ «СОШ No31» г. Ижевска

Работа в формате PDF

653.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

В своей исследовательской работе я рассмотрел использование фигурных чисел не только в математике, но и в окружающей жизни.

Во время изучения обыкновенных дробей обратил внимание на то, что в учебнике математики [1, 41] есть небольшая историческая сводка о фигурных числах. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что фигурные числа встречаются в окружающей жизни, просто люди об этом не задумываются.

Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники.

Мне стало интересно, а знают ли другие школьники о фигурных числах. Поэтому я провёл анкету, на вопросы которой ответили 42 ученика 8 классов.

Всего 14,4% учащихся знают какие числа называются фигурными. 29,8% считают, что фигурные числа – это плоские фигуры, 32,5 % - объёмные фигуры, 58,7 % думают, что они могут изображаться и плоскими и объёмными фигурами. 66,5 % предполагают, что эти числа изобрёл Пифагор. Половина опрошенных считает, что мы ежедневно встречаемся с фигурными числами в повседневной действительности.

Цель работы: знакомство с треугольными числами.

Задачи:

выяснить существует ли связь между понятием числа и геометрической фигурой;

заинтересовать волшебной силой чисел, основанной на их свойствах;

выяснить значимость треугольных чисел.

В первой главе вы представлена история треугольных чисел, их связь с геометрическими фигурами.

Во второй главе дано определение треугольных чисел, способы их получения [7].

В нашей работе вы встретите свойства треугольных чисел, удивительные исследования, с помощью которых раскрыты секреты треугольных чисел и сделаны выводы [6].

В следующей главе мы приглашаем вас, оглянуться кругом. Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с треугольными числами. А ведь это так просто и интересно.

Занимайтесь математикой! Эта наука раскроет вам особый мир игр и чисел; она поможет вам поверить в свои силы и никогда не останавливаться на достигнутом.

Глава1

Связь между понятием числа

и геометрической фигурой

Математические понятия – число или простейшие геометрические фигуры, возникли задолго до появления математических текстов. Понятие числа и геометрические фигуры могли образоваться только в результате длительной умственной работы.

Когда первобытному охотнику нужно было узнать, все ли собаки в своре на месте, он не считал их, а просто, окинув взором свору, видел, какой собаки не хватает. Такой «чувственный счет» существовал задолго до появления счета.

Первым шагом к возникновению счета было установление, как сейчас говорим, «взаимнооднозначного соответствия» между считаемыми предметами и некоторым другим множеством. Оба сравниваемых множества предметов могут быть заранее не известными; например, при обмене между первобытными племенами обмениваемые предметы просто раскладывались в два ряда, так что взаимно однозначное соответствие между ними устанавливалось фактически.

Затем появляются своего рода счеты – камешки или палочки.

С возникновением понятия числа, геометрической фигуры появляется новый вид знаний – математическое, в котором счет и измерение сделались важным средством его развития и вычислительно-измерительной практики людей.

Исторически первые понятия математики «число» и «фигура» лежат в основе всех математических знаний. «Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счётной доске – абаке.

Давным - давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все чётные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получаются числа, делящиеся на три и т.д. [3, 112]

Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это развитие счёта на камушках. Множество закономерностей, возникших при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. В 5-4 веках до нашей эры учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.

С возникновением понятия числа, геометрической фигуры появляется новый вид знаний – математическое, в котором счет и измерение сделались важным средством его развития и вычислительно-измерительной практики людей.

Глава 2

Определение треугольных чисел

Многоугольные числа – это числа, связанные определённым образом с плоским многоугольником. Простейшими из многоугольных чисел являются треугольные числа [6].

Нарисованные и попарно соединённые три точки создают правильный (то есть равносторонний) треугольник. Если взять три точки и не соединять их, то и так создаётся «впечатление» треугольника.

Я попробовал взять четыре точки и разложить их аналогичным способом. Оказывается – нет. Пять точек расположить, тоже нет. Шесть точек расположить в требуемом порядке уже можно. При этом новый треугольник получается линейным увеличением в 3 раза.

Итак, треугольные числа – это такие числа, из которых (имея столько камушков), можно выложить правильные многоугольники.

Число 1 Пифагорейцы решили считать первым треугольным числом. Каждое следующее число получается прибавлением строки снизу к предыдущему, в которой на одну точку больше.

1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15 1+2+3+4+5+6=21 1+2+3+4+5+6+7=28 и т.д.

Получаем треугольные числа: 1, 3, 6,10, 15, 21, 28, ……

А можно ли найти треугольное число, не вычисляя предыдущего числа?

Найдём десятое треугольное число. Для этого запишем сумму, как бы мы нашли число. И под полученной суммой запишем сумму этих же слагаемых только в обратном порядке.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

Сумма каждой пары = 11.

Количество пар = 10.

10•11:2=55

Значит, десятое треугольное число – это число 55.

Я подумал, а если мне надо узнать сотое треугольное число, я решил попробовать этот способ.

101 – сумма каждой пары, количество пар -100. Получаем 101•100:2=5050. Т.е. получаем формулу для нахождения треугольного числа по любым номером Тn =(n+1)•n:2=1/2•(n+1)•n.

Подсчитаем с помощью схемы несколько первых треугольных чисел и составим таблицу

Глава 3

Свойства треугольных чисел

1. Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат – квадратное число[2,132].

6+10=16=4²

10+15=25=5²

2. Если номер треугольного числа при делении на 4 даёт остаток 1 или 2, то треугольное число нечётное.

Проверим данное свойство, составив таблицу.

Вывод. Свойство 2 выполняется. Дополнительно из таблицы видно, что треугольные числа расположены так: нечётное, нечётное, чётное, чётное, нечётное, нечётное,… Оказалось, что есть ещё свойство треугольных чисел.

Свойство 3. Каждое совершённое число является треугольным числом.

Совершенное число — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей. По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14

496 =1+2+4+8+16+31+62+124+128

8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Проверим действительно ли числа 6, 28, 496, 8128 являются треугольными.

6=1+2+3, 28=1+2+3+4+5+6+7, 406+29= 435, 435+30=465, 465+31= 496

Вывод. Число 8128 - сто двадцать седьмое треугольное число.

Проверка по формуле: Т₂₇ =1/2(127+1)•127=64•127=8128

Что интересно число 666 – звериное число оказалось треугольным. Под этим символом скрыто имя зверя, и многим людям хорошо известно, что 666 число дьявола и воплощение сатаны. Наряду с пентаграммой и перевернутым крестом, данное число часто используется в атрибутике сатанистов[5].

Рассмотрим треугольные числа, номера которых делятся на 10.

55, 210, 465, 820, 1275, 1830, 2485, 3240, 4095, 5050, 6105, 7260, 8515,…..

1. Все числа делятся на 5.

2. Последние цифры чередуются: 5,0,5,0,5,0,…

3. Найдём разность последовательных треугольных чисел:

210-55=155 465-210=255 820-465=355 1275-820=455

1830- 1275=555 2485-1830= 655 3240-2485=755 4095-3240=855

5050-4095=955 6105-5050=1055 7260-6105=1155 8515-7260=1255 т.д.

155, 255, 355, 455, 555, 655, 755, 855, 955, 1055, 1155, 1255,…

Удивительно, получилась последовательность чисел, которой увеличиваются на 100, начиная со второго числа. В Интернете я вычитал, что такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.

Треугольные числа, номера которых делятся на 10 можно найти и таким образом.

Свойство 4.Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное,…1,3, 6, 10, 15, 21, 28, 36,…

Треугольное число 10

Пифагорейцам была присуща и особая числовая мистика. Особенно почиталось

Особенно почиталось у пифагорейцев треугольное число 10.

10 = 1 + 2 + 3 + 4:

1 – единица, «матерь всех чисел»

2 – выражает линию

3 – треугольник

4 – пирамиду

Поскольку 10, кроме того, само является треугольным числом со стороной, равной 4, число 4, как бы в зародыше содержащее 10, также считалось священным и именовалось «истоком и корнем высшей природы»

Величайшей клятвой у пифагорейцев считалась клятва Четверицей.

Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с треугольными числами. А ведь это так просто и интересно[2,51].

При решении задач:

1. Шары уложили в равносторонний треугольник, в котором 25 рядов. Сколько потребовалось шаров?

2. Чему равно треугольное число с номером 35? С номером 50? С номером 1000?

3. а) Несколько шаров уложили на плоскости в равносторонний треугольник – остались лишними 3 шара. А когда построили треугольник, сторона которого содержит на 1 шар больше, то не хватило 4 шаров. Сколько было шаров?

б) Несколько шаров уложили на плоскости в равносторонний треугольник – остались лишними 24 шара. А когда построили треугольник, сторона которого содержит на один шар больше, то не хватило 11 шаров. Сколько было шаров?

4. В каком порядке идут четные и нечетные числа в последовательности треугольных чисел? Четным или нечетным является число с номером 17, 18, 19, 20? Четным или нечетным является число с номером 60, 78, 35?

5. Найдите сумму:

а) 15-го и 16-го треугольных чисел;

б) 47-го и 48-го треугольных чисел.

• Треугольные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.

• Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа.

• В различных играх.

Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах

Заключение

Я благодарю всех, кто прочитал мою научную работу. Математика – это скучная наука или весёлая и интересная? Математика повсюду: дома, на улице, на огороде, в саду… Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах.

Цель – знакомство с треугольными числами достигнута. В первой главе вы познакомились с историей треугольных чисел, их связь с геометрическими фигурами.

Во второй главе дано определение треугольных чисел, способы их получения.

В нашей работе вы встретили свойства треугольных чисел, удивительные исследования, с помощью которых раскрыты секреты треугольных чисел и сделаны выводы.

В следующей главе мы приглашали вас, оглянуться кругом. Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с треугольными числами. А ведь это так просто и интересно.

Занимайтесь математикой! Эта наука раскроет вам особый мир игр и чисел; она поможет вам поверить в свои силы и никогда не останавливаться на достигнутом.

Литература

1. Математика: Учеб. Для 6 кл. общеобразоват. учреждений. М34 Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 16-е изд., перераб.- М.: Мнемозина, 2005. – 288 с. : ил.

2. Математическая энциклопедия. Книги 1-5. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

3. Юшкевич А.П. История математики в средние века. - М.: Наука, 1961.

[ Электронный ресурс]/Режим доступа:http:ru.knowledgr.com›00150533/ТреугольноеЧисло