IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
О СПОСОБАХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, ОСНОВАННЫХ НА ИДЕЕ РАВНОСИЛЬНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
При решении практических задач в большинстве случаев приходят к уравнениям. На уроках математики мы изучаем различные методы решения алгебраических, тригонометрических уравнений. В процессе решения возникает немало вопросов, например, о том, когда появляются посторонние корни или когда уравнение теряет корни, всегда ли нужно делать проверку и находить ОДЗ? На эти и другие вопросы, как показало исследование, хотели бы знать ответы большинство (85%) учащихся 10 и 11классов.
Поэтому получить целостное представление о способах решения уравнений и в конечном счете ответить на главный вопрос: как правильно решать уравнения?
Итак, объектом исследования являются алгебраические и тригонометрические уравнения.
Предмет исследования – способы решения уравнений, основанные на идеи равносильности преобразований.
Гипотеза исследования – способы решения уравнений, основанные на идее равносильности преобразований, позволяют исключить потерю корней, предупредить появление посторонних корней, т.е. находить верные решения уравнений.
Цель исследования: изучение способов решения уравнений, основанных на идее равносильности преобразований, разработка рекомендаций для учащихся 10-11 классов по применению этих способов на практике.
В соответствии с целью и выдвинутой гипотезой предполагается решить следующие задачи:
- провести исследование актуальности для учащихся 10 и 11 классов рассматриваемых в работе вопросов, связанных с решением уравнений;
- изучить различные подходы к решению уравнений на основании идеи равносильности;
- ответить на следующие вопросы:
1) как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием;
2) какие преобразования могут привести данное уравнение к уравнению-следствию;
3) если мы в конечном итоге решили уравнение - следствие, то как сделать проверку в случае, когда непосредственная подстановка найденных корней в исходное уравнение сопряжена со значительными вычислительными трудностями;
4) в каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить;
- описать основные способы решения некоторых видов уравнений, сделать анализ их достоинств и недостатков;
- рассмотреть вопрос о необходимости нахождения ОДЗ;
- подготовить рекомендации по решению уравнений.
Глава 1
К вопросу о равносильности уравнений
1.1.Теоремы о равносильности уравнений
Задача с формулировкой «решите уравнение », где соответственно, в школьном курсе математики относится к наиболее часто встречающимся. Методике решения уравнений посвящено немало работ. Так работы А.Г.Мордковича [1], [6] позволяют, по мнению автора, сформировать целостное представление о методах решения уравнений на основании идеиравносильности уравнений.
При этом решение уравнения осуществляется в три этапа:
Первый этап - технический. На этом этапе осуществляется цепочка переходов от данного уравнения до последнего (самого простого).
Второй этап – анализ решения. На этом этапе отвечают на вопрос, все ли преобразования равносильные.
Третий этап – проверка. Если анализ показал, что некоторые преобразования приводят к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней.
Рассмотрим основные положения теории равносильности уравнений.
Определение 1. Два уравнения с одной переменной называются равносильными, если множества их корней совпадают; иными словами, если они имеют одинаковые корни или оба не имеют корней.
Например, уравнения равносильны, т.к. оба имеют своими корнями только числа 2 и -2. Равносильны и уравнения и = -5, т.к. они не имеют корней на множестве действительных чисел, т.е. множества их корней совпадают.
Определение 2. Если каждый корень уравнения является в то же время корнем уравнения , то второе уравнение называют следствием первого.
Например, уравнение является следствием уравнения , т.к. уравнение имеет только один корень - число 6, в то время как уравнение имеет два корня 6 и 0.
Замечание. Очевидно следующее утверждение: два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
В процессе решения уравнений мы переходим от одного уравнения к другому до тех пор пока не придем к более простому, корни которого мы можем найти. И вот здесь возникает главный вопрос, будут ли его корни корнями исходного уравнения? Если все преобразования будут равносильными, то ответ на этот вопрос однозначный: да, будут. Если в некоторых преобразованиях мы не уверены (но точно знаем, что перешли к уравнению-следствию), то найденные корни последнего уравнения надо проверить, подставив их поочередно в исходное уравнение. Если такая подстановка показывает, что найденный корень последнего уравнения не удовлетворяет заданному, то он называется посторонним корнем для данного уравнения и отбрасывается.
Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием? На этот вопрос нам помогут ответить следующие теоремы.
Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получиться уравнение равносильное данному.
Теорема 3. Показательное уравнение , где равносильно уравнению .
Определение 3. Областью определения уравнения или область допустимых значений переменной (О.Д.З.) называют множество тех значений переменной ,при которых одновременно имеют смысл выражения и
Теорема 4. Если обе части уравнения умножить на одно и тоже выражение , которое:
а) имеет смысл всюду в области определения ( в О.Д.З) уравнения
б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение
равносильное данному.
Следствие. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число, то получиться уравнение равносильное данному.
Теорема 5. Если обе части уравнения неотрицательные в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же чётную степень, получится уравнение , равносильное данному.
Теорема 6. Если и то логарифмическое уравнение
, где равносильно уравнению
1.2. О преобразованиях, переводящих уравнение в уравнение-следствие
Ответим на второй вопрос, какие преобразования переводят уравнение в уравнение-следствие?
Если в процессе решения уравнения мы применили заключение одной из теорем 4, 5, 6, не проверив ограничительных условий, заложенных в формулировке теоремы, то получится уравнение - следствие.
Например, уравнение имеет один корень 4. Умножив его обе части на получим уравнение – следствие имеющее два корня: 4 и 2, причем 2 – посторонний корень для уравнения (при множитель обращается в 0; теорема 4 этого не допускает). Возведя обе части того же уравнения в квадрат, получим уравнение имеющее 2 корня: 4 и -2, причем -2 –посторонний корень для уравнения
Промежуточный итог: если на каком-либо этапе решения мы умножили обе части уравнения на одно и то же выражение (имеющее смысл в области определения уравнения) или возвели обе части уравнения в одну и ту же четную степень, или опустили знаки логарифмов в левой и правой частях уравнения, то обязательна проверка всех найденных корней.
Однако главной причиной перехода от уравнения к уравнению-следствию является расширение области определения. К нему приводит:
а) освобождение от знаменателя. Был знаменатель - было ограничение не стало знаменателя - не стало ограничения. Рассмотрим, пример, уравнение = 8. Его область определения Если в левой части уравнения сократить дробь, т.е. освободиться от знаменателя, то получим уравнение область определения которого - множество всех действительных чисел. Его корнем является число 4. Однако оно не будет корнем данного уравнения. Следовательно, данное уравнение решений не имеет;
б) освобождение от знаков логарифма;
в) использование формулыдля четного n.
В самом деле, если было выражение то его область определения задается неравенством если же заменить на и рассмотреть выражение как самостоятельное, то ограничение снимается, т. е. область определения расширяется.
Например: решить уравнение
Р е ш е н и е. 5
,
+
В процессе преобразований дважды расширялась область определения и дважды применялась неравносильная операция возведение в квадрат. Значит, мы получили уравнение - следствие. Проверка обязательна.
Проверка. Подставим в исходное уравнение первый корень 2, получим При подстановке второго корня мы замечаем, что уже больше 5, т.е. второй корень не может удовлетворять заданному уравнению, следовательно, этот корень является посторонним.
О т в е т: 2.
1.3. К вопросу о потере корней уравнения
Ответим на вопрос о том, когда уравнение теряет корни и как этого недопустить ?
Существует несколько причин потери корней:
а) деление обеих частей уравнения на одно и тоже выражение в случае, когда оно может принимать значение равное 0; так при решении уравнения необходимо переходить к уравнению (а не к уравнению ).
б) сужение ОДЗ в процессе решения уравнения; это, например, происходит при использовании некоторых тригонометрических формул. Покажем это на примере.
При решении уравнения
= ; =
происходит сужение области определения данного уравнения. Действительно, его областью определения является множество всех действительных чисел, а для появляется ограничение .
Положим u= , получим =1, откуда u= +2, n. Но множество тоже является решением уравнения.
О т в е т: +2, n.
Существуют и другие случаи потери корней.
1.4. О решении уравнений на основании идеи их равносильности
А теперь попытаемся ответить на вопрос: можно ли на основе положения о равносильности уравнений создать полное представление о методах их решения?
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решить уравнение
(1)
Р е ш е н и е. Задача решения этого уравнения сводится к задаче нахождения области определения функции , т.е. к решению неравенства Решить уравнение без О.Д.З. невозможно. Если перейти к уравнению - следствию, возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение
(2)
корнями которого являются все действительные числа. Т.к. корней бесконечно много, то проверить их путем подстановки нельзя. Возможность одна, учесть, что уравнение (2) равносильно уравнению (1) на области определения уравнения (1).
О т в е т:
Задача «решить уравнение (1)» свелась к задаче «найти О.Д.З. уравнения (1), которая сводится к задаче «решить неравенство ». Т. е от уравнения мы перешли к равносильному неравенству не с помощью преобразований, при помощи переформулирования исходной задачи.
Пример 2. Решить уравнение
+ =0 (3)
Р е ш е н и е. Каждое слагаемое левой части неотрицательное, поэтому левая часть равна нулю тогда и только тогда, когда каждое ее слагаемое равно нулю. Решение уравнения сводится к решению равносильной системы уравнений
(4)
О т в е т: 3.
Таким образом, задача «решить уравнение (3)» свелась к задаче «решить систему уравнений».
Пример 3. Решить уравнение
(5)
Р е ш е н и е. Пусть Получим уравнение
корни которого 1 и 2. Значит, исходное уравнение равносильно совокупностиуравнений
(6)
Первое уравнение не имеет решения (исходя из множества значений функции косинус), а решением второго уравнения будет
Таким образом, равенство в процессе решения использовалось как уравнение, следовательно, от задачи «решить уравнение (5)» мы перешли к задаче «решите систему уравнений
(7)
Решение уравнения (5) и системы уравнений (7) взаимно определяют друг друга.
Число решение уравнения (5) тогда и только тогда, когда найдется число такое что пара чисел является решением системы (7). Это можно взять за определение равносильности уравнения и системы уравнениний. Система уравнений (7) равносильна совокупности систем уравнений
которая равносильна совокупности уравнений (6).
О т в е т :
Рассмотренные выше примеры 1-3 содержат лишь некоторые переходы, которые используются при решении задач «решите уравнение». Совершая эти переходы (преобразования), мы соблюдали важный принцип, - не терять корней и, по возможности, не приобретать новые. Это значит, что идея равносильности является основной при решении таких задач. Однако, как мы видели, она не сводится только к равносильности уравнений. Эта идея равносильныхпереходов (преобразований) должна включать в себя понятие равносильности уравнений, неравенств, их систем и совокупностей, уравнений и неравенств с несколькими переменными. Очевидно, чтобы правильно решать уравнения, нужно владеть этими понятиями. Вопросы равносильности уравнений и неравенств, равносильности уравнений и систем уравнений и неравенств рассматриваются в работах С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова [2]. Мы будем рассматривать эти вопросы в следующей главе.
Глава 2
К вопросу о равносильности уравнений, неравенств,
их систем и совокупностей
2.1. О способах решения уравнений
Рассмотрим уравнения средней сложности. При этом мы ограничимся уравнениями нескольких видов. Для каждого из этих уравнений существует свой способ преобразования:
а) для уравнения - возведение уравнения в квадрат, т.е. замена его уравнением (х) = g2(
б) для уравнения - приведение подобных, т.е. замена разности нулем;
в) для уравнения - освобождение уравнения от знаменателя, т. е. замена его уравнением
г) для уравнения – применение формулы
т.е. замена его уравнением
Каждый, кто будет решать конкретное уравнение вида а) - г), применит к нему указанное выше преобразование. Заметим, что существует только три способа применения указанных преобразований:
• переход к уравнению-следствию,
• переход к уравнению, равносильному на некотором множестве исходному уравнению,
• переход к системе (уравнений и неравенств), равносильной исходному уравнению.
Практически каждое уравнение вида а) - г) можно решать любым из этих трех способов. Далее рассмотрим примеры решения уравнений этими способами, а затем обсудим ситуации, в которых применение того или иного способа предпочтительнее.
2.2. Переход к уравнению-следствию
Отметим, что каждое из перечисленных выше преобразований уравнений вида а) - г) приводит к уравнению-следствию.
Пример 4. Решить уравнение
(8)
Р е ш е н и е: возведя уравнение (8) в квадрат, получим уравнение,
, (9)
являющееся следствием уравнения (8). Уравнение (9) имеет два корня = 3 и = -2.
Проверим, являются ли эти числа корнями уравнения (8). Подставляя каждое из них в левую и правую части уравнения (8), получим:
Это означает, что число является корнем уравнения (8), а число - нет. Следовательно, уравнение (8) имеет единственный корень
О т в е т: 3.
Пример 5. Решить уравнение
(10)
Р е ш е н и е: перенося все члены уравнения (10) в одну сторону, приводя подобные, получим уравнение
, (11)
являющееся следствием уравнения (10). Уравнение (11) имеет два корня
= 4 и = 2.
Проверка показывает, что число является корнем уравнения (10), а число— нет, так как - 3 = -1 < 0, а под знаком корня должно быть неотрицательное число. Следовательно, уравнение (10) имеет единственный корень 4.
О т в е т: 4.
Пример 6. Решить уравнение
= 1. (12)
Р е ш е н и е: освобождаясь от знаменателя, получим уравнение
, (13)
являющееся следствием уравнения (12). Уравнение (13) имеет два корня
= 1 и = 7.
Проверка показывает, что число является корнем уравнения (12), а число - нет, так как 49 - 42 - 7 = 0, а делить на нуль нельзя.
Следовательно, уравнение (12) имеет единственный корень .
О т в е т: 1.
Пример 7. Решить уравнение
. (14)
Р е ш е н и е: применяя формулу, получим уравнение
, (15)
являющееся следствием уравнения (14). Уравнение (15) имеет два корня
= 6 и = 1.
Проверка показывает, что число является корнем уравнения (14), а число – нет, так как а под знаком корня должно быть неотрицательное число. Следовательно, уравнение (14) имеет единственный корень .
О т в е т: 6.
Подводя итог, можно сказать, что при переходе к уравнению-следствию (не важно, какое преобразование при этом проводилось) не надо искать ОДЗ, но надо знать, что проверка найденных корней является обязательным элементом решения уравнения.
2.3. Переход к уравнению, равносильному
на некотором множестве исходному уравнению
Каждое из преобразований а) - г) приводит к уравнению, равносильному на некотором множестве Мисходному уравнению. При этом для каждого преобразования это множество отыскивается своим способом, определяемым именно этим преобразованием.
Сформулируем необходимые утверждения о равносильности уравненийна множестве.
Уравнениеравносильно уравнению f(x)=g2(x)на множестве М тех x, для каждого из которых обе части исходного уравнения определены и неотрицательны.
Уравнение равносильно уравнению = g(x)на множестве Мтех , для каждого из которых определена функция
Уравнение равносильно уравнению на множестве М тех x, для каждого из которых не обращается в нуль ни функция ни функция .
Уравнениеравносильно уравнению
на множестве Мтех , для каждого из которых обе функции и неотрицательны.
Пример 8. Решить уравнение
(16)
Р е ш е н и е: обе части уравнения (16) определены и неотрицательны на множестве Мтех , для каждого из которых одновременно выполняются неравенства т.е. М =. На множестве Муравнение (16) равносильно уравнению
(17)
имеющему два корня
и .
Так как , то уравнение (17) имеет на множестве М единственный корень .Он и является единственным корнем уравнения (16).
О т в е т: .
Пример 9. Решить уравнение
(18)
Р е ш е н и е: на множестве М всех уравнение (18) равносильно уравнению
(19)
имеющему серию решении .
Ясно, что только для. Поэтому уравнение (19) имеет на множестве Мсерию решений x. Эти решения (и только они) являются решениями уравнения (18).
О т в е т: .
Пример 10. Решить уравнение
(20)
Р е ш е н и е: так как на множестве М = [4; +) обе функции y = и
у = неотрицательны, то уравнение (20) равносильно на множестве Муравнению
(21)
имеющему два корня = 5 и = 5. Так как , то уравнение (21) имеет на множестве Мединственный корень . Он и является единственным корнем уравнения (20).
О т в е т: 5.
Подводя итог, можно сказать, что при переходе к уравнению, равносильному исходному на некотором множестве М, проверка найденных корней подстановкой их в исходное уравнение не является необходимым элементом решения, но надо обязательно отобрать из всех полученных корней те, которые принадлежат множеству М.
Также очевидно, что можно не искать ОДЗ уравнения, надо лишь найти то множество М значений неизвестной х, на котором применяемое преобразование приводит к уравнению, равносильному на этом множестве исходному уравнению.
Отметим, что множествоМможет:
а) совпадать с ОДЗ уравнения (как в примере 10),
б) содержаться в ОДЗ уравнения (как в примере 8),
в) содержать в себе ОДЗ уравнения (как в примере 9).
Поясним последний случай. В примере 9 ОДЗ уравнения состоит из всех х, кроме х = 1 и x= + 3k, kа множество Мсостоит из всех х, кроме х=1.
2.4. Переход к системе, равносильной исходному уравнению
Если не находить множество М, на котором исходное уравнение равносильно уравнению, полученному из него с помощью соответствующего преобразования, а задать это множество неравенствами, то для каждого исходного уравнения вида а)-г) можно указать равносильную ему систему. Сформулируем необходимые утверждения о равносильности уравнения системе (уравнения и неравенств).
Определение 4. Говорят, что уравнение равносильно системе, если каждое решение уравнения является решением системы, а каждое решение системы является решением уравнения.
Определение 5. Уравнение равносильно совокупности нескольких систем, если любое решение уравнения является решением хотя бы одой из этих систем, а любое решение каждой из систем является решением уравнения.
Уравнение равносильно системе
Уравнение равносильно системе
,
где M - область существования функции .
Уравнение равносильно системе
Уравнение равносильно системе
Пример 11. Решить уравнение
. (22)
Р е ш е н и е: уравнение (21) равносильно системе
(23)
Система (23) равносильна системе
которая равносильна совокупности двух систем
Ясно, что решения первой системы есть x, а второй
. Все эти решения и будут решениями уравнения (22).
О т в е т: ;
Пример 12. Решим уравнение
(24)
Уравнение (24) равносильно системе
Перепишем эту систему в виде
(25)
Уравнение системы (25) имеет два корня = 0 и =. Число удовлетворяет неравенствам системы (25), а число — нет. Следовательно, эта система, а значит, и равносильное ей уравнение (24) имеют единственное решение .
О т в е т: 0.
Пример 13. Решим уравнение
(26)
Р е ш е н и е: уравнение (26) равносильно системе
Эта система равносильна системе
которую можно переписать в виде
(27)
Решения уравнения системы (27) запишем в виде двух серий
и x
Так кактолько дляк = 2т и для , то
система (27) имеет решения x и x
Все эти решения и будутрешениями уравнения (26), равносильного системе (27).
О т в е т:
Таким образом, можно сказать, что при переходе к системе, равносильной исходному уравнению, даже не возникает вопрос о проверкенайденных корней и нахождении ОДЗ уравнения.
2.5. Рекомендации по применению рассмотренных
способов решения уравнений.
Как видно из изложенного выше, каждое из уравнений вида а) – г)можно решить любым из трех способов.
При этом первый способ (переход к уравнению-следствию) чаще применяется в тех случаях, когда после простых преобразований находятся «хорошие» корни, легко проверяемые непосредственной подстановкой в исходное уравнение.
Второй способ (переход к уравнению, равносильному на некотором множестве исходному уравнению) чаще применяется в тех случаях, когда легко найти множество М, на котором делается соответствующее преобразование, когда корни «плохие», но легко проверяются на принадлежность множеству М.
Третий способ (переход к системе, равносильной исходному уравнению) чаще применяется в тех случаях, когда или проверка корней, или нахождение множества Мдостаточно затруднительно. Тогда система позволяет либо найти корни уравнения системы и затем отобрать те из них, которые удовлетворяют неравенствам системы (как в примере 19), либо неравенства системы позволяют существенно упростить решение этой системы (как в примере 15).
В заключение отметим, что «по большому счету» все эти три способа решения уравнений на самом деле являются разными оформлениями одного, а именно третьего, способа решения. Ибо при первом способе решения, не выписывая явно системы, сначала решают уравнение этой системы, а затем проверяют, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению (хотя при этом выполнение неравенств системы явно не проверяется). При втором способе, не выписывая явно системы, сначала находят множество Мрешений всех неравенств системы, затем решают уравнение и отбирают те его корни, которые принадлежат М. При третьем — явно выписывают систему, а затем решают ее.
Еще раз вернемся к вопросу об ОДЗ. Проведенное нами исследование показало, что 38% учащихся считают обязательным нахождение ОДЗ при решении уравнения. Описанные способы, как было показано выше, не требуют нахождения ОДЗ.
Термин ОДЗ появился в некоторых пособиях примерно в середине шестидесятых годов прошлого века. Сам термин трактуется по-разному. В некоторых случаях найти ОДЗ невозможно или технически сложно, а в большинстве случаев это и не нужно: достаточно выписать условия, его обеспечивающие, а затем использовать их для проверки полученных корней.
И, наконец, самое существенное, - указание ОДЗ никак не «страхует» от потери корней или приобретения посторонних корней. Например, в уравнении = x корень x = -1 который получается при возведении в квадрат, является посторонним, но в ОДЗ ( он входит.
Вывод ясен: применение ОДЗ – лишь один из многих методов отсеивания посторонних корней, и возведение его в ранг какого-то универсального, обязательного метода неправильно.
Заключение
Опрос, проведенный перед началом данного исследования, среди учащихся 10 – 11 классов показал (см. Приложение1), что 83% хотели бы знать ответы на вопросы, связанные с решением уравнений. Поэтому, в своем исследовании я постарался рассмотреть все, приводимые в анкете вопросы, а также рассмотреть способы решения уравнений на основании идеи равносильности преобразований.
Надеюсь, что нам удалось доказать выдвигаемую гипотезу, о том, что
действительно, переход к уравнению-следствию, или переход к системе, равносильной исходному уравнению, или переход к уравнению, равносильному на некотором множестве исходному уравнению – эти способы решения уравнений, основанные на идеи равносильных преобразований, позволяют исключать потерю корней, предупреждать появление посторонних корней, т.е. находить верные решения уравнений.
Нами даны рекомендации по применению рассмотренных способов решения уравнений.
В заключение, хотелось бы отметить, что для каждого уравнения можно найти свой, оптимальный метод решения. Отдавая предпочтение методу равносильности преобразований, стоит подчеркнуть, что к наибольшему успеху приводит овладение различными методами решения уравнений при условии глубокого понимания их достоинств и недостатков.
Приложение
Анкета
Вопрос 1. Знаете ли Вы, какие уравнения называются равносильными ?
Вопрос 2. Знаете ли Вы, что такое уравнение-следствие?
Вопрос 3. Считаете ли Вы, что решение уравнения всегда нужно начинать с нахождения ОДЗ?
Вопрос 4. Знаете ли Вы, когда в уравнении нужно делать проверку?
Вопрос 5. Знаете ли Вы, в результате каких преобразований могут появляться посторонние корни?
Вопрос 6. Как Вы думаете, может ли найденное в результате решения уравнения значений переменной входить в ОДЗ, но не являться корнем уравнения?
Вопрос 7. Хотели бы Вы знать ответы на все эти вопросы?
Замечание: данные приведены в процентах от числа испытуемых.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 11 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин – М.: Просвещение, 2006.
2. Гибш И.А. Приобретения и потери корней при решении уравнений // Математика в школе. – 2003. - №9. – С.23-28.
3. Красильников В.Д. Об ОДЗ и не только // Математика в школе. – 2002. - №7. – С.77-79.
4. Мирошин В.В., Климентьева М.Г. Когда же появляются посторонние корни? // Математика в школе. – 2003. - №9. – С.21-23.
5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений.-4-е изд.- М.: Мнемозина, 2003.
6. Мордкович А.Г. О некоторых методических вопросах, связанных с решением уравнений // Математика в школе. – 2006. - №8. – С.25-33.
7. Мордкович А.Г. Решаем уравнения.- М.: Школа – Пресс, 1995.
8. Рыжик В.И. В который раз про ОДЗ и не только… // Математика в школе. – 2006. - №8. – С.36-39.
9. Чучаев И.И. О некоторых вопросах, связанных с решением уравнений // Математика в школе. – 2006. - №8. – С.39-48.