IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ДВЕ "ФОТОГРАФИИ" СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Арифметика. Алгебра. Геометрия. Одним словом математика. Арифметика зачастую не в силах собственными средствами доказать правильность некоторых из ее утверждений. Ей приходится в таких случаях прибегать к обобщающим приемам доказательства алгебры, геометрии, а иногда и физики. Решая задачи по математике, физике я увидела особую привлекательность средних величин. Мне стало интересно узнать, какая существует связь между этими величинами. Оказалось, что есть много красивых тождеств и тождественных неравенств, относящихся к этим «средним». Я нашла историю возникновения средних величин, множество задач, связанных с ними и провела ряд доказательств. Просмотрев часть учебников, нашла их определения. Среднее арифметическое встречается при решении задач в 5,6 классах, в алгебре 7-9 классах, в 8 классе на уроках геометрии, среднее гармоническое и среднее квадратичное – на уроках физики.
Актуальность данной темы состоит в том, что при подготовке к ЕГЭ встречаются задачи, в которых применяются формулы средних величин. Зная эти формулы, сокращается время на решение задач не только на ГИА, но и на олимпиадах по математике.
Цель: доказать формулы средних величин и показать их применение в учебных предметах.
Задачи:
Расширить знания по средним величинам и показать их взаимосвязь.
Рассмотреть ряд задач, встречающихся в алгебре, геометрии, физике, и показать их применение в олимпиадных задачах. (Приложение 1)
Гипотеза: связь средних величин помогает решить многие олимпиадные задачи.
В процессе работы был изготовлен буклет, выпущен сборник задач с применением формул средних величин, проведено представление данной работы перед параллелью 9-х классов, организована экскурсия в отдел статистики, применила эти формулы при решении олимпиадных задач на муниципальном этапе.
Глава 1. Историческая справка
Классическими средними значениями, составленными из двух положительных чисел a и b, принято считать: среднее арифметическое, среднее геометрическим, среднее гармоническое и среднее квадратичное. Эти средние были известны еще античным математикам, они играли большую роль, в частности, в древнегреческой теории музыки. В одном из математических текстов, который приписывают древнегреческому математику Архиту, среднее арифметическое m, среднее геометрическое g и среднее гармоническое h определялись, как равные средние члены соответственно арифметической, гармонической и геометрической пропорций:
а – m = m - b; a/g = g/b; (a - h)/а = (h - b).
Из этих равенств легко получаем:
b = m, g =, h ==
По преданию гармоническое среднее ввел Пифагор, выразив с его помощью отношение основных гармонических интервалов. Пифагор установил, что вместе со струной длиной 12l, созвучно сливаясь с ней, звучат струны того же натяжения с длиной 6l, 8l, 9l, при этом 9 есть среднее арифметическое чисел 6 и 12, а 8 он определил как среднее гармоническое этих чисел. Это созвучие называлось тетрадой. Пифагорейцы считали, что тетрада есть «та гамма, по которой поют сирены».
В древнегреческой математике, которая была по преимуществу геометрической, было известно несколько способов построения средних по двум данным отрезкам a и b. У Паппа Александрийского в его «Математическом собрании», своде результатов древнегреческой математики, приведено построение среднего геометрического двух отрезков по способам его предшественников Эратосфена, Никомеда и Герона, дано так же описание построения на одной фигуре всех трех средних.
Глава 2. Основная часть
Пусть имеется несколько действительных чисел a1, а2,…, аn.
Средней величиной для этих чисел называется всякое число а, удовлетворяющее неравенством min(a1,…, аn) ≤ a ≤ max(a1,…, аn).
2.1. Среднее арифметическое
Определение. 5-6 класс.
Средним арифметическим нескольких чисел называют частное, которое получается при делении суммы этих чисел на количество слагаемых.
7 - 9 класс. - среднее арифметическое чисел а и b.
Общематематическое понятие.
Средним арифметическим n положительных чисел а1,а2,…,an называется число m = .
Задача 1.(5-6 классы). В нашей компании 5 человек. У нас есть некоторое количество денег, в среднем по 8 франков на человека. У меня 10 франков. Сколько в среднем денег у остальных четырех членов компании?
Решение. Пусть у остальных четырех членовкомпании x франков. Тогда всего у нас 10+х франков, а в среднем - = 8, откуда х = 30. Значит, у моих четырех друзей в среднем по = 7,5 франков.
Задача 2. (7-8 классы) У Васи в саду растут мандарины и апельсины. В прошлом году с одного мандаринного дерева он собрал в среднем по 300кг плодов, а с апельсинового - по 800кг. В среднем он собрал по 600кг плодов с одного дерева. Чему равен процент мандариновых деревьев в саду у Васи?
Решение. К сожалению, мы не знаем, ни сколько каких деревьев, ни каков урожай апельсинов и мандаринов. Мы знаем лишь средние величины. Обозначим через А вес собранных апельсинов, М- мандаринов, а- количество апельсиновых деревьев, m- количество мандариновых деревьев. Мы знаем, что , ,.
Отсюда M = 300m, А = 80a и . Нас интересует доля мандариновых деревьев, то есть число вычислим его:
=
Итак, мандариновые деревья составляют 40% от общего числа деревьев в саду.
Задача 4. (9 класс).
При хранении бревен строевого леса их укладывают в виде треугольника. Сколько бревен находится в одной кладке, если в её основании положено 12 бревен?
Решение. а1 = 1, аn= 12, d = 1. Sn = ? Sn= (a1 +an)n:2 , аn= а1 + (n – 1)d.
12 = 1 + ( n - 1)1, n = 12.
Sn= 78.
2.2. Среднее геометрическое
Определение. 8-9 класс.
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов a2n = an-1an+1.
- среднее геометрическое чисел а и b.
Общематематическое понятие.
Средним геометрическим n положительных чисел a1,a2,…,an называется корень n-ой степени из произведения этих чисел: g =.
Среднее геометрическое используется для нахождения отрезков прямоугольного треугольника и геометрической прогрессии.
Рис.1
1). Высота прямоугольного треугольника (рис.1), проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Действительно, треугольники АDC и CBD подобны, поэтому , и, следовательно СD2 = AD∙DB, СD =.
2) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
В самом деле, ABC ~ ACD, поэтому , и, следовательно, АС =Задача 1. (7-9 классы) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5, а высота, проведенная к ней, равна 2. Найдите катеты и отрезки, на которые эта гипотенуза делится высотой.
Решение.
Пусть один из отрезков, на которое гипотенуза делится высотой, равен х, тогда второй равен 5-х. Имеем 4 = х(5-х), х1 = 1,х2 = 4. Катеты равны ,.
Геометрическое - средний член из трех, образующих геометрическую прогрессию а, , b.
Задача 2. Между числами 3 и 4 вставить такое положительное число, что бы эти три числа были последовательными членами геометрической прогрессии.
Решение b1,b2,b3- последовательные члены геометрической прогрессии, тогда b2= =.
3, ,4- последовательные члены геометрической прогрессии.
2.3.Среднее гармоническое.
- среднее гармоническое чисел а и b.
Общематематическое понятие.Средним гармоническим n чисел a1,a2,…,an называется число h =.
Примером среднего гармонического является средняя скорость движения.
Если автомобиль проехал путь l = 500м за промежуток времени t = 20с, то можно предположить, что за секунду автомобиль проезжал 25м. Однако реально в течение первых 5 секунд автомобиль мог двигаться медленно, следующие 8 секунд - стоять, а последние 7 секунд двигаться очень быстро.
Поэтому путь, проходимый телом в среднем за секунду, характеризует среднюю путевую скорость.
Определение. Физика 10 кл.
Средняя путевая скорость - скалярная величина, равная отношению пути к промежутку времени, затраченному на его прохождение: Vср = .
Задача-ловушка. Автомобиль проехал 300км. первую половину пути он двигался со скоростью 100км/ч, а вторую-60км/ч. Чему равна средняя скорость?
Решение. Многие вычисляли среднюю скорость, как нахождение среднего арифметического
Сейчас мы увидим, что это неверно. Первая половина пути - это 150км. поскольку средняя скорость равнялась 100км/ч, то времени на первую половину пути было затрачено =1,5часа. На вторую половину пути было затрачено =2,5часа. Общее время (затраченное на весь путь) равно 1,5+2,5=4 часа. Тогда средняя скорость равна =75км/ч.
Задача 1 Автобус курсирует между пунктами А и В, находящимися друг от друга на расстоянии S=120км, если из А в В он двигался со скоростью V1=60км/ч, а из В в А возвращался со скоростью V2=40км/ч. Найдите среднюю скорость автобуса.
Решение. Путь, пройденный автобусом, 2S=240км. Время движения t складывается из времени движения t1 из А в В и времени движения t2 из В в А:
t=t1+t2.
Путь из А в В автобус проходит за 2часа, а из В в А за 5 часов. Следовательно, полное время движения t = . Полученный результат не совпадает со средним арифметическим значением 40 и 60, равным 50.
Решим ту же задачу в общем виде: так как t1 = , t2 = , то t = +, следовательно,Vср = , откуда видно, что средняя скорость автобуса не зависит от расстояния S. Однако заранее, это не было ясно.
Итак, что бы найти среднюю скорость на участке пути, нужно длину этого участка пути поделить на время, за которое он пройден.
Число, обратное среднему гармоническому = , есть среднее арифметическое чисел, обратных числам а и b.
Докажем, что среднее гармоническое a и b всегда меньше, чем их среднее арифметическое на примере средней скорости.
Задача 3 . Докажите, что средняя скорость автобуса движущегося из пункта А в пункт В со скоростью V1, а из В в А со скоростью V2, меньше либо равна .
Решение. Средняя скорость на всем пути: , ;
Время пути: t = t1+t2 =+=
Таким образом, средняя скорость: Vcр =
Докажем, что полученное выражение меньше или равно .
-= ≥ 0. Следовательно, ≤.
Глава 3. Делаем «открытия»
Термин «среднее гармоническое» имеет, несомненно, какое-то касательство к музыке, но об этом позже. А сначала пофантазируем: какие отрезки и на каком «фоне» явились бы подходящими «фотографиями» (геометрической интерпретацией) этих знаменитых трех «средних». Можно предложить две «фотографических карточки»: одну на «фоне» окружности, другую на «фоне» трапеции.
Пусть АС = а, СВ = b, АВ = а + b-длина диаметра окружности О. Построим СD┴AB, ОD,СF┴OD. Тогда любой отрезок, равный радиусу окружности, например ОD, где ОD = , изображает среднее арифметическое, СD, где СD = - среднее геометрическое, и DF, где DF = - среднее гармоническое чисел a и b.
Доказательство: Рассмотрим подобные треугольники DFC и FOC, где . а). Докажем, что ОD =. OD = OA = OB = 0,5AB = 0,5(a+b) = .
б). Докажем, что СD = ; DC = .
OC = OB – BC = - b = ; DC =
; OF = .
Рассмотрим прямоугольный треугольник OFC:
FC2 = OC2 - OF2, FC2 = ; FC = , тогда DC =.
в). Докажем, что DF = . DF = DO – OF, DF = - =
Из доказательств а), б), в) следует, что CD2 = ODDF, аb =
Последние равенства рассказывают о любопытной связи между тремя «средними»: среднее геометрическое двух положительных чисел является средним геометрическим между их средним арифметическим и средним гармоническим.
Для получения второго «фотоснимка» (тоже красивая интерпретация) изобразим трапецию АBCD. AD = b и BC = a.
Если MN – это средняя линия, то MN - среднее арифметическое чисел а и b. Это очевидно. Если же ЕF делит трапецию на две подобных фигуры, то ЕF – среднее геометрическое чисел а и b. Если PQ проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, то PQ- среднее гармоническое чисел a и b.
Доказательство этих утверждений - хорошая задача для учащихся.
Доказательство. а). ΔВОС ~ ΔAOD. .
PQ = , PQ = PO+QO, , OD = , ΔADB ~ ΔPBO.
; PO = ; PO =
ΔBCD ~ ΔDOQ. ; OQ = ; PQ = + =
б). EF =. Трапеции ВСЕF и ADEF подобны.
, EF2 = BC AD, EF =.
Если в трапеции провести отрезок, разбивающий еѐ на две равновеликие трапеции, то этот отрезок есть среднее квадратичное оснований:
Из выше сказанного следует: , для любых а, в .
Следовательно, в трапеции среднее геометрическое оснований трапеции
расположено следующим образом:
m-среднее гармоническое основание; n-среднее геометрическое;
p-среднее арифметическое; q-среднее квадратичное.
Следует отметить, что при различных значениях a и b последовательность этого расположения не меняется.
Глава 4. Гармоническая последовательность и музыкальные интервалы
Напишем подряд а, , b, где: а =, b =. Образовались три члена последовательности:, , , …, которую называют гармонической. Полагая n = 1, 1, ½, , …, … .
Одна из особенностей членов этой последовательности состоит в том, что отношение ее соседних членов почти точно равно отношению частот двух защитных струн, формирующих гармоничные музыкальные интервалы.
Если колеблющаяся струна длины l дает некоторый определенный тон, например звучит как «до», то струна длины (1/2:1)l = 1/2 l дает верхнюю октаву для этого тона, струна длины (:)l =l- квинту, т.е. в нашем примере звучит как «соль»; струна длины(: )l =l-верхнюю кварту( «до-фа»), т.е. зазвучит как «фа»; и так далее.
Таким образом, при любых положительных a и b справедливы неравенства: ≤ ≤ и в каждом из них знак равенства достигается лишь в случае a = b.
Неравенство ≤ называется неравенством о среднем геометрическом и среднем арифметическом.
Общематематическое понятие - неравенство Коши:
среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел: причём равенство имеет место в том и только в том случае, когда а1 = а2 = … = аn.
Заключение
В своей работе я доказала утверждения трёх средних величин на примере трапеции и окружности, показала их применение в математике, физике, музыке. Таким образом, могу сделать такой вывод, что неравенства для средних и сами средние широко применяются не только в алгебре, геометрии, физике, но и в статистике, в теории вероятностей (оттуда пришло среднее квадратичное), при обработке результатов измерений. Средняя урожайность, средняя плотность населения, средняя температура, средняя рождаемость, средняя глубина реки, – это примеры средних величин, постоянно окружающих нас.
Продолжением моей работы будет исследование средних величин в учебных предметах: химии, биологии, информатике, а также, применение формул в решении задач.
Список литературы
Алимов Ш.А. Алгебра: Учебники для 7, 8, 9 классов общеобразоват. Учреждений/ Ш.А.Алимов и др. – М.: Просвещение,2001. – 287 с.
АтанасянЛ.С. Геометрия,7-9: Учебник для общеобразоват. Учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов идр. – М.: Просвещение,2003. – 335 с.
Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 5кл.,6 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов и др. – М.: Мнемозина, 2006. – 288 с.
Зив Б.Г. Задачи по геометрии для 7-11 классов / Б.Г.Зив, В.М.Мейлер. – М.: Просвещение,1991. – 245 с.
Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов.- М.: Просвещение,1991. 209 с.
Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. – М.: Просвещение,1981. – 196 с.
Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учебное пособие для 9-11 кл. сред. ш. – М: Просвещение,1990. – 234 с.
Степанова Г.Н. Сборник задач по физике: Для 9-11 кл. общеобразоват. Учреждений/ Сост.– М.: Просвещене,1996.
Приложение 1
Задачи
5 – 6 класс.
1. В течение пяти дней средняя температура воздуха была: 170, 150, 120, 230, 180. Определите среднюю температуру воздуха за эти дни.
2. Взвесили три початка кукурузы сорта «Партизанка», масса одного початка оказалась равной 0,407 кг, второго 0, 469 кг и третьего 0,54 кг. Определите среднюю массу початка.
3.Из топки котла тепловой электростанции через трубу в воздух выбрасывается в виде мельчайшей пыли 5% топлива, что составляет 4 т в час. Сколько топлива сжигается в топке котла за сутки?
4.Поезд прошёл за первый час 43 км, за второй час 51 км, за третий час 53 км и за четвёртый час 45 км. Какова средняя скорость поезда?
5. Средний рост восьми баскетболистов равен 2м 1см. некоторые из них имеют рост ниже, чем 1м 98см. каким может быть самое большое число таких «низкорослых» баскетболистов?
7 – 9 класс.
1. Определите среднюю скорость движения плота, если за 20 мин он переместился на 900 м. Скорость выразите в км/ч.
2. Бегун бежал 4 с со скоростью 10 м/с и 5 с – со скоростью 12 м/с . С какой средней скоростью он пробежал всю дистанцию?
3. П.П.Ершов. Конёк-Горбунок.
Ну-с, так едет наш Иван
За кольцом на окиян.
Горбунок летит, как ветер,
И в почин на первый вечер
Верст сто тысяч отмахал
И нигде не отдыхал.
Оцените, с какой средней скоростью двигался Конёк-Горбунок. Сколько раз за первый вечер он мог бы обогнуть земной шар?
4.В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АС проведена высота ВD, ВС = 2 см, АD = 3 см. Найдите DС, ВD, АВ.
5. В трапеции АВСD угол А равен 900, луч DМ, являющийся биссектрисой острого угла АDС, пересекает отрезок АВ в его середине – точке М. Из точки М проведён перпендикуляр МК к стороне СD. КС = 4 см, КD = 9 см. Найдите МК.
6.Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6:5.
7.В треугольнике, стороны которого равны 5см, 12см и 13см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.
8. Даны два отрезка, имеющие длины а и в. Постройте отрезок длиной ⅔, используя циркуль и линейку.
9. Докажите, что при всех положительных значениях а, в, с верно неравенство
8авс ≤ (а + в)(в + с)(с + а). (олимпиада)
8. Докажите, что если а + в ≥ 1, то верно неравенство а4 + в4 ≥ 1/8. (олимпиада)
10 клас – 11 класс.
1.Самолет первую треть пути летел со скоростью 1100 км/ч, остальные две трети пути - со скоростью 800 км/ч. Определить среднюю скорость на всём пути.
2. Первую четверть пути поезд прошёл со скоростью 60 км/ч. Средняя скорость на всём пути оказалась равной 40 км/ч. С какой скоростью поезд двигался на оставшейся части пути?
3. При массовом производстве обуви брак составляет 4% выпускаемой продукции. Сколько изделий нужно отобрать для проверки качества продукции. Чтобы с вероятностью 9,9 можно было бы утверждать, что в случайном наборе обуви доля брака по абсолютной величине отличается от 45 не более чем на 1%?