IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В школьном курсе алгебры решаются уравнения второго порядка, а также биквадратные уравнения. Некоторые уравнения решаются способом замены переменной или целого выражения, входящего в уравнение. Однако существуют уравнения высших порядков, к которым эти способы не применимы. Появилась гипотеза: существует способырешения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям, которые расширят множество способов, изучаемых в школьной программе.
Объект исследования - алгебра, предмет исследования – методы решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям.
Цель: убедиться в том, что существуют способы решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям, основанные на законах алгебры.
Задачи:
-
Применять метод выделения квадрата двучлена при решении уравнения.
-
Убедить в том, чтознание формул сокращенного умножения позволяет решить уравнения, приведением их к виду квадратных уравнений.
-
При возможности решить уравнение несколькими способами и сравнить эти способы.
-
Распространить приобретенный опыт в решении уравнений с помощью формул сокращённого умножения среди учащихся среднего и старшего звена лицея.
ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Некоторые уравнения удаётся решить, используя метод введения новой переменной. Уравнение вида называют биквадратными. Биквадратное уравнение можно решить, используя подстановку . Подсказкой для такой подстановки является само уравнение.
В некоторых других случаях уравнения также удаётся решить с помощью введения новой переменной, но найти подстановку бывает сложнее.
Решим уравнение
Если записать его в стандартном виде, то получится уравнение: для которого трудно найти какой-либо способ решения.
Поступим иначе. Заменим многочленом произведение первого и четвертого множителей, а также второго и третьего. Получим:
В левой части дважды встречается выражение , причём переменная ни в какое другое выражение не входит. Введём новую переменную . Тогда уравнение сводится к уравнению с переменной :
Упростив его, получим:
Решив это уравнение, найдём
Подставив найденные значения в равенство :
или
Уравнение не имеет корней, а уравнение имеет два корня: -3,5 и 1,5.
Ответ: -3,5; 1,5.
ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ
СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Рассмотрим уравнения, которые решаются с помощью «достраивания» до квадрата двучлена.
Пример 1. Решить уравнение
Решение.
1 способ.2 способ.
Пусть
Тогда получаем уравнение:
Возвращаясь к подстановке, решая уравнения
Получаем решения исходного уравнения:
Ответ:
Первый способ решения является рациональным.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Ответ:
Пример 3. Решить уравнение
Решение. ОДЗ:
Ответ:
Пример 4. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Пример 5. Решить уравнение
Решение.
1 способ.
2 способ.
Пусть
Тогда
Значит,
Ответ:
Последнее уравнение можно было привести к квадратному уравнению относительно второго множителя. Стоит отметить, что второй способ, рассматриваемый в школьном учебнике более рационален.
Пример 6. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Рассмотрим уравнения, которые решаются путём деления обеих частей уравнения на степень, при этом учитывается ОДЗ:
Пример 7. Решить уравнение
Решение.
После умножения крайних скобок и внутренних скобок, поделим обе части уравнения на одночлен
Ответ:
Пример 8. Решить уравнение
Решение.
Поделим обе части уравнения на одночлен
Ответ:
Пример 9. Решить уравнение
Решение.
Поделим обе части уравнения на одночлен
Ответ:
Пример 10. Решить уравнение
Решение.
Поделим обе части уравнения на одночлен
Ответ:
Пример 11. Решить уравнение
Решение.
Поделим обе части уравнения на одночлен
Ответ:
Рассмотрим уравнения, решаемые с помощью формулы сокращенного умножения разность/сумма кубов и разложения на множители.
Пример 12. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Пример 13. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Далее уравнения будут решены с помощью формулы разность квадратов двух выражений.
Пример 14. Решить уравнение
Решение.
Ответ: .
Пример 15. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Пример 16. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Уравнения будут решены с помощью приведения к сумме квадратов выражений.
Пример 17. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Пример 18. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Пример 19. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Алгоритм решения квадратных уравнений прост и понятен и используется практически во многих примерах и задачах. Однако, трудно об этом говорить, имея уравнения третьей, четвертой и более высоких степеней. В тех из них, где можно привести к виду квадратного уравнения следует тщательно потрудиться. Во многих случаях это приводит к нахождению решения уравнения.
Уравнения были решены с помощью формул сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы/разности двух выражений, сумма/разность кубов двух выражений, а также в отдельных случаях применялась сумма квадратов и деление обеих частей уравнения на одночлен
Из рассмотренных в работе уравнений только два удалось решить двумя способами, причем в одном случае рациональным оказался способ с применением формулы сокращенного умножения, а во втором - традиционный способ замены переменной. Еще раз убеждаемся в том, что знание формул сокращенного умножения позволяет решать многие разнообразные по виду уравнения, содержащие и радикалы, и знак модуля и степени переменной выше второй.
В ходе учебного занятия кружка 8 класса «Решение уравнений» после представления наработанного материала были предложены для решения следующие уравнения:
1 уравнение выбрали и решили вышеуказанным способом 26% респондентов (33 учащихся, возраст 14-17 лет), 2 – выбрали 30%, но пришли к верному ответу 12%, последнее уравнение решили правильно 34% оставшихся учащихся. Стоит отметить, что учащиеся 10 класса (12 учащихся) решали третье уравнение D-методом, который изучали на элективном курсе.
Занятие показало актуальность выбранной темы исследования, так как уравнения решаются не только на уроках математики, но и на уроках других предметов.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1.Алгебра, 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк., К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов – Москва: Мнемозина, 2010. – 384 с.