IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ТРИГОНОМЕТРИЯ В ПОМОЩЬ АЛГЕБРЕ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Часто при решении алгебраических уравнений возникает необходимость введения вспомогательной переменной, выраженной тригонометрической функцией. Например, если в уравнении , то можно переменную выразить следующим образом:
Если же в уравнении , то можно переменную выразить следующим образом:
Гипотеза: в школьной программе изучения математики отсутствуют такие математические приёмы, а они могут значительно облегчить решение уравнений.
Цель: применять метод тригонометрической подстановки при решении уравнений.
Задачи исследования:
-
Выявить эффективность метода тригонометрической подстановки при решении уравнений.
-
Определить рациональность метода тригонометрической подстановки при решении уравнений.
-
Составить банк уравнений, решаемых методом тригонометрической подстановки и, возможно, другим методом или способом. Сравнить способы решения.
-
Распространить опыт решения метода тригонометрической подстановки при решении уравнений или его замены на более рациональный.
ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Пример 1.1. Сколько корней уравнения принадлежат отрезку
Решение. 1 способ. Решим уравнение методом тригонометрической подстановки.
Преобразуем выражение:
Получаем уравнениеУмножим обе части уравнения на :
, получаем четыре корня:
Ответ: четыре корня.
Пример 1.2. Решить уравнение
Решение. Метод тригонометрической подстановки.
Область определения данного уравнения содержится в отрезке . Отсюда следует, что замена , где . После подстановки получаем:
Пусть Тогда
Тогда
Из второго уравнения получаем:
Ответ:
ГЛАВА II. ПРИМЕРЫ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ
Пример 2. Решить уравнение
Решение.1 способ. Метод тригонометрической подстановки.
Уравнение имеет смысл, если то есть .
Осуществим замену переменной и используем формулу косинуса тройного угла:
Так как , то и уравнение примет вид
Отберем корни уравнения, удовлетворяющие условию:
Получили три корня:
Ответ:
2 способ. Возведём обе части уравнения в квадратна ОДЗ:
Полученное уравнение известными способами также не удается решить. Как видно, эффективным оказался только метод тригонометрической подстановки.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. 1 способ. Метод тригонометрической подстановки.
Уравнение имеет смысл, если .
Осуществим замену переменной и получим уравнение
Учитывая условие , получаем только один корень.
Пусть
Тогда уравнение (*) примет вид:
Так как , то из полученных корней удовлетворяет только корень
Итак,
Ответ:
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Метод тригонометрической подстановки.
Осуществим замену переменной и получим уравнение
Учитывая, что, получаем
Учитывая условие , получаем толькоодин корень.
Ответ:
Пример 5. Решить уравнение
Решение. 1 способ. Метод тригонометрической подстановки.
Область допустимых значений уравнения получим, решив систему неравенств:
После замены переменной , уравнение примет вид:
Поскольку , получаем единственный корень ,
Ответ:
2 способ. Метод «мини-максов».
ОДЗ:
Ответ:
Второе решение является рациональным.
Пример 6. Решить уравнение
Решение. 1 способ. Метод тригонометрической подстановки.
Область определения данного уравнения содержится в отрезке . Отсюда следует, что замена , где .После подстановки получаем:
ПустьТогда
Решим первое уравнение (1):
Отберём корни, удовлетворяющие условию: .
Значит, ,
Решим второе уравнение (2): Отберём корни, удовлетворяющие условию: .
Значит, ,
Решим третье уравнение (3):
Отберём корни, удовлетворяющие условию: , то есть
Но , поэтому корней нет.
Ответ:
2 способ. Возведём обе части уравнения в квадрат:
Решением неравенства системы является множество
Решим первое уравнение совокупности, воспользовавшисьдвукратным возведением в квадрат:
Пусть тогда
Решим первое уравнение совокупности:
Корень не удовлетворяет.
Решим второе уравнение совокупности:
Пусть тогда
Воспользуемся формулой сложного корня:
По ОДЗ , поэтому получаем окончательный ответ:
Ответ:
Оба способа решения равносильны по трудоёмкости и времяёмкости.
Пример 7. Решить уравнение
Решение. 1 способ. Пусть
Положив откуда
Итак, Эта система не имеет решения, поэтому не имеет решения и исходное уравнение.
Ответ: нет решения.
2 способ. Метод тригонометрической подстановки.
Область определения данного уравнения содержится в отрезке . Отсюда следует, что замена , где .
После подстановки получаем:
Ответ: нет решения. (Решение проведено самостоятельно).
Уравнение решилось рационально методом тригонометрической подстановки.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Во время проведения элективного курса в 10 классе было предложено в 6 группах (по 4 человека) решить Пример 2. После нескольких неудачных попыток прийти к ответу, учащимся (24 респондента, возраст 15-17 лет) был пояснен метод тригонометрической подстановки. Затем каждый из учащихся решал самостоятельно Пример 7. Ребята решали указанное уравнение только методом тригонометрической подстановки. Это подтверждает тот факт, что он является эффективным методом решения уравнений, содержащих радикалы такого типа как, например, . К правильному ответу пришли 82% учащихся, остальные респонденты довели решение до конца с несколькими подсказками.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
-
Нараленков М.И. Вступительный экзамен по математике. Алгебра. Как решать задачи: учебно-практическое пособие- М.: Экзамен, 2003. 346-351 с.
-
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 классов – М.: Просвещение, 1980, 244-245 с.