IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
КРУГИ ЭЙЛЕРА КАК НАГЛЯДНЫЙ И УДОБНЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Актуальность. В наше время вокруг нас собрано огромное количество информации и разобраться в ней бывает непросто. Находить логические связи между явлениями и понятиями помогают «Круги Эйлера» - это практичный и удобный метод решения логических задач. Многие слышали о них, но не все могут объяснить, что это такое. Круги Эйлера находят широкое применение, как в повседневной жизни, так и в науке, поэтому ими стоит уметь пользоваться каждому.
В исследовательской работе собрана вся необходимая информация для понимания, что такое Круги Эйлера и где их удобно применять.
Цель работы – познакомиться с методом решения задач теории множеств с использованием кругов Эйлера и составить сборник задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера.
В связи с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:
изучить основные понятия теории множеств,
рассмотреть основные операции, которые можно производить с множествами,
рассмотреть понятие кругов Эйлера и изучить возможность их применения для решения задач,
разработать сборник задач, решаемых методом кругов Эйлера.
найти практическое применение кругов Эйлера.
Объектом исследованияявился процесс изучения раздела математики – теории множеств.
Предмет исследования – задачи из теории множеств, решаемые с использованием кругов Эйлера.
Гипотеза исследования: изучение темы «Элементы теории множеств» и разработка задач, решаемых с использованием кругов Эйлера, способствует повышению уровня математических знаний и развитию логического мышления учащихся.
Для решения поставленных задач будут использованы следующие методы исследования: анализ литературы по теме; изучение и сравнение методов решения.
Новизна работы заключается в авторском составлении задач по теме исследования и нахождении практического использования кругов Эйлера в современном мире.
Теоретическая и практическая значимость данной работы определяется тем, что результаты могут быть использованы на информатике, математике и других школьных предметах и сферах жизни. Исследовательская работа имеет выраженную практическую направленность, так как в работе автором представлены примеры применения кругов Эйлера во многих областях знаний, составлены свои задачи, которые могут быть использованы при изучении основ теории множеств. Данный материал можно использовать на факультативных занятиях по математике.
НАУЧНАЯ СТАТЬЯ
1. Теоретическая часть
1.1 Основные понятия из теории множеств
Слово «множество» мы часто используем в своей повседневной жизни. Вместе с тем, множество – это одно из основных понятий, используемых в математике. Что же такое множество?
В математике есть ряд понятий, которые не имеют определений. Они называются аксиоматическими, т.е они принимаются как исходные без доказательств.
К числу таких понятий относится и понятие множество.
Можно дать такое определение множества.
Множество – это набор элементов, который принимается как нечто целое.
Создателем теории множеств считается известный немецкий математик Георг Кантор (1845–1918). Он дал свое знаменитое определение понятия множества, которое звучит следующим образом:
«Под «множеством» мы понимаем объединение в одно целое М определенных вполне различаемых объектов m нашего восприятия или мышления (которые будут называться «элементами» множества M)» [2].
Примерами множеств могут быть следующие: множество учащихся 7 «А» класса школы № 2, множество натуральных чисел, множество дней недели, множество корней данного уравнения, множество учащихся гимназии № 5, посещающих музыкальную школу и т.п.
Обычно обозначают множества прописными (большими) буквами латинского алфавита. Т.е. множество A, множество Z и т.п. Есть общепринятые обозначения, например, множество N – это множество всех натуральных чисел. Элементы множества обозначаются обычно строчными (маленькими буквами), иногда с указанием номера, например, a1.
При этом принадлежность (или наоборот, непринадлежность) элемента к множеству описывается следующим образом:
х X, что означает элемент x принадлежит в множество X;
yX, что означает элемент y не принадлежит множеству X/
Если количество элементов состоит из определенного количества элементов (т.е. конечно), то такое множество называется конечным. Например, множество дней недели – конечно. Оно состоит из 7 элементов.
Если количество элементов множества неизвестно, т.е. бесконечно, то такое множество называется бесконечным. Например, множество всех натуральных числе является бесконечным [1].
На первый взгляд кажется, что слово «множество» предполагает, что элементов в нем «много». Однако, это не так. Существует понятие пустого множества. Пустое множество – это множество, которое не содержит ни одного элемента. Обозначается пустое множество знаком . Примером пустого множества может служить множество точек пересечения параллельных прямых.
Число элементов, входящих в множество, называется мощностью множества. Если множества содержат одинаковое число элементов, то они называются равномощными.
Есть несколько вариантов задания множества. Самый простой способ – это перечисление элементов, входящих в множество. При этом обычно элементы множества заключаются в фигурные скобки.
Например, множество A, состоящее из дней недели выглядит так:
A={понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}
Однако, такой способ задания применим только к конечным множествам, да и то не ко всем. Поэтому, чаще множества задаются при помощи определения какого-то условия, характеризующего свойства элементов, входящих в заданное множество.
Например, множество положительных чисел будет задано так:
X={x | x>0}
Есть еще одно понятие, используемое в теории множеств. Это подмножество. Подмножество – это часть множества. Т.е если элементы множества B являются и элементами множества A, то множество B является подмножеством множества A. Математически это записывается так:
A={1, 2, 3, 4. 5} – множество оценок, которые может получить ученик, B={3, 4, 5} – множество положительных оценок, BA, множество B является подмножеством множества A.
1.2 Операции с множествами
Как с объектами математики, с множествами можно выполнять определенные действия (операции) [1]. К основным операциям, которые можно выполнять над множествами, относятся следующие:
Пересечение двух множеств A и B есть множество, каждый элемент которого принадлежит одновременно и множеству А, и множеству B. Проще говоря, пересечение множеств – это общая часть множеств. Обозначается пересечение множеств значком .
Например, есть множество A – это совокупность учащихся класса и множество B – это совокупность учащихся школы, занимающихся в спортивных секциях. Пересечением этих двух множеств будет множество C – совокупность учащихся данного класса, занимающихся в спортивных секциях. Математически запись выглядит следующим образом:
Объединение множеств – это множество, каждый элемент которого принадлежит либо множеству A, либо множеству B. Обозначается пересечение множеств значком . Т.е. в объединение множеств входят все элементы и множества A, и множества B.
Например, пусть множество A – множество мальчиков класса, B – множество девочек класса, тогда объединением этих множеств будут все учащиеся данного класса.
Математически это запишется следующим образом:
Разностьюдвух множеств A и B называют множество, каждый элемент которого принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B. Причем, разность множеств B и A – это уже другое множество. Обозначается разность множеств значком . При этом если B является подмножеством множества A, то разность AB называется дополнением множества B до множества A [7].
Например, пусть А – множество учеников гимназии № 1, B – это множество школьников, посещающих бассейн. Тогда множество C является разностью множеств A и В и состоит из учеников гимназии № 1, которые не посещают бассейн, а множество D, являющееся разностью множеств B и A состоит из школьников, посещающих бассейн и не являющихся учащимися гимназии № 1.
Математически запись выглядит следующим образом:
1.3 Великий математик Леонард Эйлер и его вклад в науку
Выдающийся ученый Леонард Эйлер (Euler) (годы жизни 1707–1783 г.г.), по происхождению швейцарец, однако основную часть своей жизни работал в России.
Почти половину своей жизни Эйлер прожил в России. Неоспорима его заслуга в становлении российской науки. В 1726 году Петр I пригласил Эйлера в Петербургскую Академию наук и в 1727 году ученый переехал в Россию. В период с 1731 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской академии наук. В период с 1741 по 1766 годы ученый работал в Берлине, при этом он оставался почётным членом Петербургской Академии. Эйлер быстро выучил русский язык и часть его работ, в частности, ряд учебников написаны им на русском языке.
Эйлер был не только выдающимся математиком. Всего Эйлер написал более 800 работ. Сферы его интересов – это математический анализ, дифференциальная геометрия, теория чисел, приближенные вычисления. Кроме этого, Эйлер публиковал работы по небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, а также теории музыки и других дисциплин.
Человек, достаточно серьезно изучающий математику, понимает, что математика – это не определенная область науки, состоящая из чисел и вычислений. Это образ мышления, универсальный инструмент, который позволяет решать задачи не только в точных науках, но даже в искусстве, биологии, медицине, химии, изучении языков.
Что касается математики, то XVIII век заслуженно считается «веком Эйлера» [6].
Основная заслуга Эйлера, по мнению ряда исследователей [4] – это систематизация знаний в области математики и построение единой системы. Если до Эйлера, исследования в области математики были достаточно разрозненны и не всегда согласовались друг с другом, то Эйлер собрал отдельные части (алгебра, геометрия, тригонометрия и другие математические дисциплины) в единую систему. Кроме этого, Эйлер фактически создал новые математические дисциплины. К ним относятся теория чисел, математическая физика и ряд других.
По мнению биографов, Эйлер был виртуозным алгоритмистом [6].
И основная задача математики, по моему мнению, путем логических рассуждений выстроить алгоритм решения задачи.
2. Практическая часть
2.1. Круги Эйлера
Круги Эйлера – это схематическое изображение в виде круга, которое позволяет более наглядно изобразить множества и отношения между ними. Эйлер впервые использовал круги в известных «Письма о разных физических и философических материях, написанные к некоторой немецкой принцессе...». Здесь он указывает, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Для решения целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею геометрического изображения с помощью кругов, и этот ряд включал не только задачи из теории множеств. Такое изображение получило название «круги Эйлера» [3].
Таким образом, некоторое множество можно изобразить в виде круга, а элементы множества при этом представляют собой множество точек, принадлежащих этому кругу.
Рисунок 1. Представление множества в виде круга Эйлера.
Проиллюстрируем с помощью кругов Эйлера высказывания и операции над множествами, изложенные.
Рисунок 2. Элемент «а» принадлежит множеству A, а элемент «с» не принадлежит множеству А.
Рисунок 3. Множество B, являющееся подмножеством множества A
Пересечение двух множеств изображено на рисунке 4.
Рисунок 4 Изображение пересечения двух множеств с помощью кругов Эйлера
Рисунок 5. Объединение двух множеств
Рисунок 6. Разность множеств А и В.
Позже ряд математиков использовали идею Эйлера об использовании схематического изображения для отображения понятий. Аналогичный способ предлагал известный чешский математик Бернард Больцано (1781–1848). Только он использовал не круги, а прямоугольники. Также в своей книге «Алгебра логики» метод Эйлера использовал известный немецкий математик Эрнст Шредер (1841–1902). Но максимальное применение графических методов было предложено английским ученым-логиком Джоном Венном (1843–1923). Такой способ решения логических задач представлен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Схемы получили название диаграмм Венна. Они используются для решения задач математической логики. Поэтому часто употребляется термин диаграммы Эйлера-Венна. При этом существуют различия между кругами Эйлера и диаграммами Венна. Оно состоит в том, что при использовании кругов Эйлера непересекающиеся множества изображаются непересекающимися кругами, а подмножество изображается кругом, вложенным в другой круг [5].
2.2 Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера
Из того, что мы рассмотрели ранее, становится очевидным, что графические изображения, сделанные с использованием кругов Эйлера, существенно упрощают понимание сложных математических формулировок, наглядно отражают сущность определений и доступны даже учащимся младших классов.
Поэтому целью моей работы является составление сборника задач (Приложение 2), которые можно решить с помощью кругов Эйлера. К сожалению, в школьной программе практически не упоминается про круги Эйлера, и не практикуется использование этого метода для решения задач. Всего составлено 37 задач, для учеников, ориентировочно, 7-11 классов. Основу составляют задачи на два множества(например № 1, №3, №4); встречаются задачи на три множества (например № 2, №11, №12). Также есть геометрические задачи(№ 29, №36, №37). К каждой задаче приведен ответ для проверки преподавателем и самопроверки. Задачи на два множества, как более простые, рекомендуются для младших классов.
Круги Эйлера - это не только простой, полезный и увлекательный способ решения задач. Это еще и метод, позволяющий развивать математические представления и использовать их при изучении окружающего нас мира.
Какие задачи можно решить с помощью кругов Эйлера? Удобнее всего, логические задачи на пересечение и объединение множеств.
Множеств может быть два, а может быть и больше. Чем больше множеств, тем труднее становится решить задачу.
Примеры решения задач приведены в приложении 1.
2.3. Практическое применение кругов Эйлера
Несмотря на то, что круги Эйлера помогают решать некоторые математические задачи, они имеют достаточно большое прикладное назначение. С их помощью на практике можно решать не только в математике, но и логике, теории вероятностей, статистике, логистике, менеджменте, и даже казалось бы в таких достаточно «далеких» от математики областях науки как биология, философия и социология [3].
Дело в том, что с помощью кругов Эйлера можно описывать не только множества, но и понятия. С их помощью можно исследовать отношения между различными группами.
Например, с помощью кругов Эйлера можно изобразить высказывание: «Все квадраты являются прямоугольниками». Соответствующая иллюстрация изображена на рисунке 7.
Рисунок 7. Отображения отношений между множествами
Возможно применение кругов Эйлера и в областях науки, не связанных с математикой. Проиллюстрируем это на примере. Сегодня достаточно большая часть людей регистрируется в социальных сетях. кроме того, члены социальных сетей вступают в определенные группы и сообщества. И в связи с такой распространенностью, социальные сети оказывают огромное влияние на формирование общественного мнения людей. Такие вопросы изучает социология.
Например, нам необходимо найти целевую аудиторию в каком-то городе людей в возрасте от 18 до 35 лет, зарегистрированных одновременно в известных социальных сетях «В контакте» и «Одноклассники». Чтобы проанализировать ситуацию, можно воспользоваться кругами Эйлера.
Рисунок 8. Применение кругов Эйлера в социологическом исследовании
Таким образом, искомая область находится на пересечении трех областей.
Следовательно, используя круги Эйлера можно решать задачи в различных областях деятельности человека. В приложении 2 предложен ряд задач, которые можно решить, используя круги Эйлера.
Применение кругов Эйлера в информатике
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.
|
Запрос |
Найдено страниц (в тыс.) |
|
Кот | Мышь |
7000 |
|
Кот |
4800 |
|
Мышь |
4500 |
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросуКот & Мышь?
Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
Решение
При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области.
Рисунок 9. Решение задачи с помощью кругов Эйлера
Опираясь на условия задачи, составим уравнения:
Кот | Мышь: 1 + 2 + 3 = 7000; Кот: 1 + 2 = 4800; Мышь: 2 + 3 = 4500
Чтобы найти Кот & Мышь (обозначенный на чертеже как область 2), подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выясним, что:
4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.
Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что:
2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300. Ответ: 2300.
Применение кругов Эйлера в маркетинге и рекламе
В данных областях круги Эйлера могут самым наглядным способом передать важнейшую информацию.
Рисунок 10. Применение кругов Эйлера в маркетинге и рекламе
Применение кругов Эйлера в обучении и воспитании детей
Круги Эйлера очень хорошо использовать для ускоренного обучения и развития детей, когда восприятие еще не связано шаблонами мышления и информация легко усваивается на подсознательном уровне.
Примером может быть игровой построение кругов Эйлера, например, в песочнице (рисунок 11). При этом развивается логика и ускоряется процесс обучения.
Рисунок 11. Круги Эйлера: птицы - домашние животные; ответ: домашние птицы
Заключение
В процессе выполнения данной работы были получены следующие результаты:
1. Выделены основные понятия из теории множеств. К ним относятся понятие множества, понятия конечного и бесконечного множества, понятие пустого множества, понятие мощности множества, способы задания множества, понятия подмножества.
2. Изучены основные операции, которые можно производить над множествами. К ним относятся операции пересечения, объединения, разности множеств.
3. Рассмотрены круги Эйлера как средство визуализации понятий теории множеств.
4.Проиллюстрировано применение кругов Эйлера для решения различных задач.
5. Составлены задачи, иллюстрирующие отношения между множествами.
В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
1. Теория множеств – один из основных разделов математики.
2. Использование кругов Эйлера позволяет более наглядно изучить основные понятия теории множеств.
3. Изучение теории множеств с использованием кругов Эйлера помогает не только лучше понять математику, но и развивает логическое мышление.
4. Круги Эйлера можно использовать как способ решения задач в различных областях деятельности человека. К ним относятся не только математика, но и логика, статистика, биология, логистика, управление, а также философия и социология.
Таким образом, поставленные в ходе исследования задачи решены, гипотеза подтверждена, цель исследования достигнута.
В перспективе исследования над этой темой мы планируем подобрать список задач из стандартных школьных учебников, которые решаются на кругах Эйлера, предложить разные способы их решения. Также можно провести эксперимент: организовать факультатив по теме круги Эйлера для желающих, причем нужно привлечь ребят разного уровня подготовки по математике. А потом предложить решить стандартные задачи из учебника всему классу для сравнения результатов.
Список использованной литературы
Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. 3-е издание. — М.: МЦНМО, 2005. – 150 с.
Кантор Георг. Труды по теории множеств. Под ред. А.Н.Колмогорова и А.П.Юшкевича. –М: «Наука». 1985. 432с.
Кузовенко Л.А. Методика обучения элементам теории множеств в курсе алгебры основной школы. Тольяттинский государственный университет. – Тольятти. 2016. –73 с.
Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. – М.: Наука, 1972. — Т. III.
Математическая составляющая / Редакторы-составители Н.Н. Андреев, С.П. Коновалов, Н.М. Панюшкин. – М.: Фонд «Математические этюды» 2015 г. – 151 с.
Мордкович А.Г.Школьный курс математики: Краткий справочник. М.: Школа-Пресс, 1995. - 48с. (Библиотека журнала «Математика в школе»)Электронный ресурс. Инфоурок. Презентация «Круги Эйлера» для проведения факультативных занятий «Занимательная информатика» в 5 классе. // https://infourok.ru/prezentaciya-krugi-eylera-dlya-provedeniya-fakultativnih-zanyatiy-zanimatelnaya-informatika-v-klasse-1158359.html
Юшкевич А. П. Леонард Эйлер. Жизнь и творчество // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. - М.: Наука, 1988. - ISBN 5-02-000002-7. – С. 15-47.
Ященко И.В. Парадоксы теории множеств. (Серия: «Библиотека «Математическое просвещение»). М.: МЦНМО, 2002. – 40 с.
Приложение 1
Примеры решения задач с помощью кругов Эйлера
Задача 1.1
Каждый из 35 семиклассников посещает, как минимум, одну из двух библиотек: им. Пушкина и им. Чехова. 25 человек посещает библиотеку им. Пушкина, 20 – библиотеку им. Чехова.
Сколько семиклассников:
1. Посещают обе библиотеки?
2. Не посещает библиотеку им. Чехова?
3. Не посещает библиотеку им. Пушкина?
4. Посещает только библиотеку им. Чехова?
5. Посещает только библиотеку им. Пушкина?
Решение
Первый вопрос - ключевой к решению. Непросто понять, как соотнести 20 + 25 = 45 из 35. В первом вопросе задается направление к решению: есть семиклассники, посещающие обе библиотеки. Нарисовав условие задачи с помощью кругов Эйлера, решение становится очень простым.
Рисунок 1.1. Решение задачи 1.1 с помощью кругов Эйлера
1. 20 + 25 – 35 = 10 (человек) – посещают обе библиотеки. На рисунке 1.1 это общая часть кругов. Определена единственная неизвестная величина. Теперь дальнейшее решение элементарно.
2. 35 – 20 = 15 (человек) – не посещают библиотеку им. Чехова. (На схеме левая часть левого круга)
3. 35 – 25 = 10 (человек) – не посещают библиотеку им. Пушкина. (На схеме правая часть правого круга)
4. 35 – 25 = 10 (человек) – берут книги только в библиотеке им. Чехова. (На схеме правая часть правого круга)
5. 35 – 20 = 15 (человек) – берут книги только в библиотеке им. Пушкина. (На схеме левая часть левого круга).
Задача 1.2
Часть жителей жилого дома выписывают только газету «Ваша реклама», часть – только газету «Вечорка», а часть – обе газеты. Какая часть жителей дома выписывают оба издания, если на газету «Ваша реклама» из них подписаны 85%, а на «Вечорка» – 75%?
Решение
Рисунок 1.2. Решение задачи 1.2 с помощью кругов Эйлера
Здесь нет принципиального отличия от решения задачи 1.1. На рисунке 1.1 заменим данные: 25 на 85% и 20 на 75%. Учитывая, что все жители дома составляют 100%, заменяем 35 на 100% и получаем готовое решение: 85% + 75% – 100% = 60%.
Ответ: оба издания выписывают 60% жителей.
Задача 1.3
«В классе 35 ребят, 12 – занимаются в математическом кружке, 9 – в биологическом, а 16 человек не увлекаются этими направлениями. Какое количество ребят посещает оба кружка?».
Решение
Для наглядности приведем два варианта решения, классический и с помощью кругов Эйлера.
Классический метод
Определим, сколько учеников посещают, по крайней мере, один кружок
35 - 16=19 (ребят)
Определим, сколько учеников посещают кружок математики
19- 9= 10 (ребят)
Определим число ребят, которые ходят в два кружка
12 - 10=2 (человека)
2) Метод с использованием кругов Эйлера
Первый круг – общее количество ребят. Второй круг показывает число учащихся, занимающихся в математическом кружке. Третий круг - количество учащихся, занимающихся в биологическом кружке.
Общее число ребят покажем с помощью большого круга. Внутри нарисуем круги меньшего диаметра, имеющие общую часть, т.к. несколько человек ходят в оба кружка..
Нарисуем диаграмму и запишем данные в круги:
Рисунок 1.3. Решение задачи 1.3 с помощью кругов Эйлера
4. В большом круге 35 учеников. Ходят в эти кружки 35-16 = 19 (учеников). В круге математики записываем 12 ребят. В круге биологии ставим 9 ребят.
Найдем ответ из диаграммы: (12 + 9) – 19= 2 (ребят) – ходят в оба кружка.
Ответ: 2 ученика.
Чем сложнее и запутаннее логическая задача, связанная с множествами, тем полезнее будет нарисовать диаграмму с кругами Эйлера. После этого решение значительно упрощается.
Приложение 2
Сборник задач на применение кругов Эйлера
Задача 1.
При социальном опросе среди 100 учеников 7-х классов установлено, что у 72 человек есть планшет, у 81 есть смартфон, а у 5 человек нет ни планшета, ни смартфона. У скольких учеников есть оба гаджета?
Ответ на задачу 1: 58
Задача 2.
Всего в 10-ых классах 100 учеников. китайский язык изучают 28 человек, итальянский – 30 человек, польский – 42 человека, китайский и итальянский – 8 человек, китайский и польский – 10, итальянский и польский – 5. Все три языка изучают трое учеников. Сколько учеников специализируется на одном языке?
Ответ на задачу 2: 63
Задача 3.
Известно, что в классе из 25 человек, 14 человек занимается в спортивных секциях, 8 человек обучается в школе искусств, 3 человека занимаются и спортом, и искусством. Сколько в классе учащихся, которые не получают дополнительного образования?
Ответ на задачу 3: 6
Задача 4.
Многие дети любят смотреть фильмы. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Титаник», 11 человек – фильм «Алиса в Стране Чудес», из них 6 смотрели оба фильма.
Сколько ребят смотрели только " Алису в Стране Чудес "?
Ответ на задачу 4: 5
Задача 5.
В восьмых классах 70 учеников. 28 занимаются в драматическом кружке, 32 поют в хоре, 22 посещают спортивную секцию. В драматическом кружке 10 учеников из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, трое ребят вообще посещают все. Сколько ребят ничем не занимаются?
Ответ на задачу 5: 9
Задача 6.
У моих друзей живут собаки и кошки. У семерых живут собаки, а у девятерых – кошки. И только у одного есть и собаки и кошки. Сколько у меня всего друзей?
Ответ на задачу 6: 15
Задача 7.
В классе 15 учебных парт. 10 из них необходимо помыть и 9 покрасить. Сколько парт необходимо и помыть и покрасить?
Ответ на задачу 7: 4
Задача 8.
Из 40 учащихся нашего класса 32 любят читать книги, 21 – кататься на велосипеде, а 15 – и то и другое. Сколько ребят в нашем классе не любят ни читать ни кататься на велосипеде?
Ответ на задачу 8: 2
Задача 9.
12 мальчиков в моем дворе любят подтягиваться , 18 – отжиматься, трое обожают и то, и другое, а один вообще не любит спорт. Сколько всего мальчиков в моем дворе?
Ответ на задачу 9: 28
Задача 10.
Часть селян умеет говорить только по-бурятски, часть – только по-русски и часть умеет общаться и по-бурятски и по-русски. По-башкирски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?
Ответ на задачу 10: 60%
Задача 11.
58 человек используют общественный транспорт. 42 человека из них используют маршрутки, 32 – трамвай, 44 – автобус. 21 человек из них используют маршрутки и трамвай, 31 – маршрутки и автобус, 22 – трамвай и автобус. Какое количество людей использует все три вида транспорта?
Ответ на задачу 11: 14
Задача 12.
В классе 40 ребят. Из них по английскому языку получили «четверки» 19 человек, по физике – 17 человек и по химии – 22 человека. Только по одному предмету имеют «четверки»: по английскому языку – 4 человека, по физике – 4 человека, по химии – 11 человек. Семеро имеют «четверки» и по физике и по химии, а 5 учеников – «четверки» по всем предметам. Какое количество ребят не получили «четверки»?
Ответ на задачу 12: 4
Задача 13.
В школе 60 ребят. Все любят лимонад или конфеты. Половина детей любит лимонад, а 24 человека - лимонад и конфеты. Сколько детей любят конфеты?
Ответ на задачу 13: 54
Задача 14.
В супермаркет пришло 65 посетителей. Было куплено 35 компьютеров, 36 пылесосов, 37 смартфонов. 20 человек купили и компьютер и пылесос, 19 - и пылесос, и смартфон, 15- компьютер и смартфон, а все три предмета купили только трое. Какое число посетителей ничего не купило?
Ответ на задачу 14: 7
Задача 15.
В школе 24 учащихся 7А класса. Из них хореографическую школу посещают 10 человек, школу информатики – 8 человек, спортивную школу – 12 человек, хореографическую и школу информатики – 3, школу информатики и спортивную школу– 2, хореографическую и спортивную школу– 2, все три школы посещает 1 человек. Какое число учащихся посещает только одну школу?
Ответ на задачу 15: 13
Задача 16.
Из 100 мальчиков в детском оздоровительном лагере «Надежда»: 30 детей - отличники, 28 - призеры олимпиад, 42 - активисты. 8 учащихся одновременно призеры олимпиад и активисты, 10 – призеры олимпиад и отличники, 5 – активисты и отличники учебы, 3 – и отличники, и призеры олимпиад, и активисты.
Сколько детей не относятся ни к одной из групп?
Ответ на задачу 16: 20
Задача 17.
В библиотеке имеется 260 интересных книг. Из них 40 прочитали и Ваня, и Петя. Маша прочитала 70 книг, которых не читали ни Ваня, ни Петя, и 20 книг, которые читал Ваня. Всего Ваня прочитал 110 книг. Сколько книг прочитал Петя?
Ответ на задачу 17: 120
Задача 18.
В 7Б классе 15 человек. В секцию плаванья ходят 5 человек, в секцию бега 13 человек, в секцию борьбы 3 человека. Причем по 2 человека посещают секцию плаванья и секцию бега , секцию плаванья и секцию борьбы, секцию борьбы и секцию бега. Сколько человек посещают все три секции?
Ответ на задачу 18: 2
Задача 19.
В классе 36 человек. Учащиеся ходят в математический (М), физический (Ф) и химический (Х) кружки, причём М посещают 18 ребят, Ф – 14, Х – 10. Кроме того известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 ребят – и математический и физический, 5 – и математический и химический, 3 – и физический и химический.
Сколько ребят не ходят в кружки вообще?
Ответ на задачу 19: 8
Задача 20.
Многие ребята смотрят мультфильмы. 18 ребят любят смотреть мультсериал «Том и Джерри», 12-мультсериал «Ну Погоди». Из них 8 любят смотреть оба мультсериала. Какое число ребят любят смотреть только мультсериал «Том и Джерри»?
Ответ на задачу 20: 10
Задача 21.
В музыкальный магазин пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили записи поп-музыки, 11- купили рок-музыку, 10 человек вообще ничего не купили. Сколько человек купили записи и поп-музыку и рок-музыку ?
Ответ на задачу 21: 6
Задача 22.
Лена, Галя, Вика вместе прочитали три сказки; Лена и Галя вместе прочитали 5 сказок, Лена и Вика вместе-4 сказки, Галя и Вика-3 сказки. Лена прочитала 8 сказок, Галя прочитала 6 сказок, Вика-5 сказок. Сколько всего сказок прочитали дети?
Ответ на задачу 22: 10
Задача 23.
Среди 80 девочек школы, 50 купили куклу «Барби», 57 купили дом для «Барби» от «Кена», а две вообще ничего не купили . Сколько девочек купили и куклу и дом?
Ответ на задачу 23: 29
Задача 24.
В центре дрессировки 30 собак, 17 из них обучают подавать лапу, 10 обучают приносить палку, 4 собаки обучают выполнять обе команды. Какое количество собак пока не тренируют?
Ответ на задачу 24: 7
Задача 25.
6 кошек в нашем дворе любят молоко , 9 – рыбу, две любят оба продукта, одна ни то, ни другое. Сколько у нас кошек во дворе?
Ответ на задачу 25: 14
Задача 26.
В команде 20 человек, у каждого разряд как минимум по одному виду спорта: борьбе, шахматам и хоккею. Известно, что у 12 разряды по борьбе, у 10 – по хоккею и у 5 – по шахматам. Какое число человек из команды имеем разряды по всем видам спорта, если по борьбе и хоккею - 4 человека, по шахматам и хоккею – 2 человека?
Ответ на задачу 26: 1
Задача 27.
В коллективе из 100 сотрудников 75 человек знают русский язык, 65 человек-бурятский язык, а 10 человек - не знают ни русского, ни бурятского языка. Какое число сотрудников знает оба языка?
Ответ на задачу 27: 50
Задача 28.
В селе 44 дома, и в каждом из них проживает только одна семья. В 25 семьях держат куриц , в 28 семьях – гусей и в 26 семьях – кроликов. Причем 15 семей держат куриц и гусей, 13 семей – гусей и кроликов, 5 семей – и куриц и гусей и кроликов. Сколько семей держат только куриц?
Ответ на задачу 28: 10
Задача 29.
На паркете площадью 12 м2 положили три плаката: площадь одного 5 м2, другого – 4 м2 и третьего – 3 м2. Каждые два плаката перекрываются на площади 1,5 м2 ; причем 0,5 м2 из этих 1,5 м2 приходится на участок паркета, где перекрываются все три плаката. Какова площадь паркета, не покрытая плакатами?
Ответ на задачу 29: 4 м2
Задача 30.
Из 100 студентов, выполнивших лабораторную работу по физике, 75 сделали электромагнит, а 65 трансформатор, а 10 человек ни чего не сделали. Сколько студентов сделали и электромагнит и трансформатор?
Ответ на задачу 30: 50
Задача 31.
В школе №35 учатся 220, в школе №36 – 160, в школе №37 – 230 ребят. Известно, что кружки по танцам, судомоделизму и авиамоделизму ходят 40 человека. Каждые 2 секции посещают 90 человек. Сколько человек ходит из каждого класса на секции? Сколько учеников не ходит ни в один кружок?
Ответ на задачу 31: 180
Задача 32.
Зачет по английскому языку содержал 3 теста: по фонетике, по лексике и грамматике. Из 650 учеников тест по фонетике прошли 400 студентов, по лексике – 480, по грамматике 420 человек. Тест только по фонетике и лексике прошли 100 человек, только по лексике и грамматике – 90 человек. Сколько учеников прошло только один тест?
Ответ на задачу 32: 215
Задача 33.
Профессор задал такой вопрос по логике: на мосту стояло два отца и два сына. А всего три человека. Возможно ли такое? И, если возможно, показать это с помощью кругов Эйлера?
Ответ на задачу 33: возможно, стояли мальчик с папой и дедушкой.
Задача 34.
На рождество собрались родственники. Папа сказал, что сегодня встретились 4 поколения, среди которых 4 мамы, 2 деда и 3 папы, 3 бабушки, 5 детей, а всего 9 человек. Кроме того, среди нас 1 прабабушка и только 1 женщина является и мамой, дочкой и внучкой. Кто собрался за праздничным столом?
Ответ на задачу 34: К своей дочери (у неё 2 детей) пришли в гости папа, мама и её бабушка по линии мамы. В гости к её мужу приехали папа и мама.
Задача 35.
Все девочки в нашем дворе увлекаются каким-нибудь видом спорта. 16 из них увлекаются художественной гимнастикой, а 12 — спортивной гимнастикой. И только две девочки увлекаются обоими видами гимнастики. Сколько же всего у нас девочек во дворе?
Ответ на задачу 35: 26
Задача 36.
Деталь площадью 18 м2 покрасили тремя цветами красок. Площадь слоя красной краски – 6 м2, слоя синей краски – 5 м2 и слоя зеленой краски – 4 м2. Каждые два слоя краски перекрываются на площади 1 м2, при этом одновременно все слои перекрываются на площади 0,5 м2. Какая площадь детали вообще не покрашена?
Ответ на задачу 36: 5 м2
Задача 37.
На полу в зале площадью 12 м2 лежат три ковра, площадью 5 м2, 4 м2 и 3 м2. Каждые два ковра перекрываются по площади 1,5 м2, причем - 0,5 м2 из этих полутора квадратных метров приходится на участок пола, где перекрываются все три ковра. Какую площадь покрывает только первый ковер, площадью 5 м2?
Ответ на задачу 37: 2,5 м2
Задача № 38.
1. На 81,2 % территории лесов Мурманской области встречаются сосны, а на 59,1% ели и березы. Сколько процентов территории лесов покрыто одновременно и соснами, и елями, и березами?
Ответ на задачу № 38: 40,3%
Задача № 39.
2. В Мурманск приехала группа туристов. Все они посетили, как минимум, одну достопримечательность. 9 посетило Спас-на-водах, 8 – Свято-Никольский собор, а 7 – Океанариум, 5 – Спас-на-водах и Свято-Никольский собор, 3 – Спас-на-водах и Океанариум, 4 – Свято-Никольский собор и Океанариум. Двое туристов посетило все три достопримечательности Сколько всего туристов приехало?
Ответ на задачу № 39: 14
Задача № 40.
Согласно статистике наблюдений за год, в Лапландском заповеднике замечены лисицы: 300 в лесах сосны Фриза, 280 в тундре и 420 в лесах сибирской ели. Известно, что 100 лисиц не покидали территории лесов сосны Фриза и тундры, 50 — территории лесов сосны Фриза и лесов сибирской ели, 80 – тундры и лесов сибирской ели, а 30 лисиц были замечены на каждой из территорий.
Сколько всего лисиц живет в Лапландском заповеднике?
Ответ на задачу № 40: 800
Задача № 41.
На пустыре лесотундры произвели два рейса аэросева семян ели и сосны. В обоих случаях площадь посева была обозначена квадратами 10х10 км. В целом площадь посева составила 168 кв. км. Какую площадь засеяли одновременно семенами и ели и сосны?
Ответ на задачу № 41: 32 км2
Задача № 42.
В границах Мурманской области обитало 35 видов млекопитающих. Из них 14 встречалось в тундре, 24 - в северной тайге, 16 - в лесотундре. Одновременно встречалось в двух природных зонах - тундре и тайге – шесть видов, тундре и лесотундре – четыре вида, тайге и лесотундре – четыре вида. Три вида вымерли. Сколько видов млекопитающих встречалось во всех трех природных зонах?
Ответ на задачу № 42: 4
Задача № 43.
Из 1000 опрошенных жителей Мурманска, 750 посещали Лапландский заповедник, 650 Кандалакшский заповедник, а 100 человек вообще не были в заповедниках. Сколько опрошенных жителей посетили оба заповедника?
Ответ на задачу № 43: 500
Задача № 44.
В городе Мурманск провели небольшое анкетирование. По результатам анкетирования выяснилось, что все участники закончили как минимум один из двух ВУЗов: Мурманский государственный технический университет (МГТУ) и Мурманский арктический государственный университет (МАГУ). 17 человек закончило МГТУ, 12 человек – МАГУ. 5 человек закончили и МГТУ и МАГУ. Сколько участников анкетирования закончили только МАГУ?
Ответ на задачу № 44: 7
Задача № 45.
При поисковом запросе на сервере для обозначения логической операции "ИЛИ" используется символ "|", а для логической операции "И" - символ "&".
В таблице показаны запросы и результаты поиска в сети Интернет.
|
Запрос |
Найдено страниц (в тысячах) |
|
Мурманск & Мурманская область |
5100 |
|
Мурманск |
9700 |
|
Мурманск | Мурманская область |
14200 |
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу «Мурманская область»? Принимается, что набор страниц с ключевыми словами не изменялся за время запросов.
Ответ на задачу № 45: 9400
Задача № 46.
Расставьте номера запросов в порядке возрастания числа страниц, которые найдет сервер поиска. Запросы показаны в таблице.
Для обозначения логической операции "ИЛИ" используется символ "|", а для логической операции "И" - символ "&".
|
Номер запроса |
Запрос |
|
1 |
Мурманск | Снежногорск | ЗАТО |
|
2 |
Мурманск | Снежногорск & ЗАТО |
|
3 |
Снежногорск & ЗАТО |
|
4 |
Мурманск | Снежногорск |
Ответ на задачу № 46: 3,2,4,1
Задача № 47.
В Мурманский областной краеведческий музей пришло 350 посетителей. Из них 200 человек проводили фотосъемку, 110 проводили видеосъемку, 100 человек не проводило никаких съемок. Какое количество посетителей проводило и фото- и видеосъемку?
Ответ на задачу № 47: 60