IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ. ЗАЧЕМ ИХ НУЖНО ИЗУЧАТЬ?
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
«История ошибок человеческого ума,возможно, так же важна,как история его движения вперед к истине».
Поль Таннери
Мы страдаем от избытка информации и часто бесполезной. И поневоле приходится задумываться: нужна ли тебе та или иная информация? «Зачем нужно изучать софизмы?» - спросила я учителя математики, кода в сентябре среди предложенных тем исследовательских работ увидела в списке «Математические софизмы». И мне было предложено рассмотреть эту тему именно с этой точки зрения. Так мною была выбрана тема исследовательской работы.
В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. Большинство софизмов известно давно, их можно найти в различных книгах, журналах. Некоторые из них передаются из поколения в поколение. Я считаю, что данная тема невероятно актуальна в наше время, ведь применение софизмов на уроках математики, на мой взгляд, могло бы помочь ученикам в получении знаний, вызвать интерес одноклассников к предмету.
Мной была выдвинута гипотеза, состоящая в том, что познакомившись с подробным разбором ошибок в софизмах, учащиеся поймут, что неточные знания формулировок теорем, математических формул, правил и условий, при которых они выполняются, а так же неумение анализировать построение чертежа к геометрической задаче, может привести к получению абсурдных результатов, противоречащих общепринятым нормам.
Целью моего исследования является всесторонний анализ понятия «софизм», выяснение влияния софизмов на развитие логики, привлечение интереса учащихся к данной теме.
Задачами моего исследования являются: - найти, изучить и проанализировать информацию, полученную при изучении софизмов; - разделить на классы все математические софизмы; - привлечь интерес учащихся к данной теме, узнать их мнение; - обобщить полученный материал. Объектом исследования являются математические софизмы. Методы исследования: - изучение источников: энциклопедий, литературы, интернет-сайтов; - классификация и отбор материала; - анализ информации; - наблюдение и сопоставление; - анкетирование и обработка полученных данных;
Занимаясь этой научно-исследовательской работой, я выясню: нужно ли изучать софизмы, а так же помогу учащимся 7-8 классов более подробно познакомить с один из разделов занимательной математики и постичь его тайны.
II. Понятие «софизм»
Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической. За счёт метафоричности речи, омонимии или полисемии слов, других нарушений однозначности мысли, приводящих к смешению значений терминов, или же логической подмене основной мысли, доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий в математических софизмах происходит нарушение правил логики. Вот один из древних софизмов («рогатый»), приписываемый Эвбулиду: «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». Здесь маскируется двусмысленность большей посылки. Если она мыслится универсальной: «Всё, что ты не терял…», то вывод логически безупречен, но неинтересен, поскольку очевидно, что большая посылка ложна; если же она мыслится частной, то заключение не следует логически. Последнее, однако, стало известно лишь после того, как Аристотель создал логику.
Что же такое математический софизм? По словам Мартина Гарднера математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях.
Софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но, тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами. Об этом подробнее в следующем разделе.
III. История софистики
Софисты (от греч. «софос»– мудрый) – представители интеллектуального течения в общественной и культурной жизни Древней Греции сер. 5–1-й пол. 4 вв. до н.э., платные преподаватели красноречия и различных знаний, считавшихся необходимыми для деятельного и успешного участия в гражданской жизни. Новая ориентация софистического движения по сравнению с досократиками состояла в исключительном интересе к человеку и обществу и почти полному игнорированию натурфилософской проблематики. Основные сочинения софистов до нас не дошли, об их взглядах можно судить главным образом по сочинениям их оппонентов – Платона и Аристотеля. К старшим софистам (2-я пол. 5 в. до н.э.) причисляют Протагора, Горгия, Гиппия, Продика, Антифонта, Крития. К следующему за ними поколению младших относят Ликофрона, Алкидаманта, Фрасимах
Свою главную педагогическую и просветительскую задачу софисты видели в воспитании «добродетели» и «умении хорошо говорить», что подразумевало знакомство с основами истории, права, теоретических дисциплин, т.е. математики и философии. При этом общей чертой их учений был релятивизм, нашедший классическое выражение в положении Протагора «человек – мера всех вещей»: в интерпретации Платона это означало отказ от критериев истинности, абсолютизацию любого частного мнения и оправдание интеллектуального произвола. Упрочению представления об отсутствии абсолютной истины и объективных ценностей способствовал широко применявшийся софистами метод сопоставления противоречивых гражданских норм и религиозных обрядов, господствовавших у различных народов. Важнейшую роль играло противопоставление природы и закона, где природа выполняла функцию элемента объективного и постоянного, а закон, установленный произволом людей, находящихся у власти, – элемента изменчивого и произвольного.
Много внимания софисты уделяли разработке приемов убедительности речи и разработке логики. Протагор сделал первые попытки систематизировать приемы умозаключения. Ликофрон анализировал роль связки «есть» в предложении. Протагор, согласно традиции, положил начало словесным состязаниям, в которых многие софисты прибегали к логическим передержкам и парадоксам, получившим уже в древности название «софизмов»; он же ввел в практику т.н. «двойные речи», когда практиковалось умение говорить «за» и «против» одного и того же тезиса. Горгий и другие софисты развили преподавание ораторского искусства, заложили основы науки о языке. Протагор занимался категориями словоизменения и синтаксисом предложения. Продик разработал основы учения о синонимах. В социально-политической области были сторонниками демократии и высказывали идеи равенства всех людей. Алкидамант заявлял, что «бог сделал всех свободными, природа никого не сделала рабом».
Софисты не были объединены институционально в рамках определенной «школы», их взгляды не отличались единством даже по основным вопросам. В то время как «аноним Ямвлиха» считал законы основой нормального существования людей, Антифонт объявлял государственные установления злом. Ликофрон отводил закону роль гаранта личных прав граждан, а Фрасимах, по Платону, утверждал, что правители везде навязывают гражданам выгодные для себя законы. Тем не менее, консолидация различных мыслителей вокруг определенного комплекса идей позволяет зафиксировать начало, а конец популярности того же комплекса идей позволяет определить завершающий момент истории движения. Вследствие усиления в Афинах консервативного умонастроения после поражения в Пелопоннесской войны, просветительский рационализм софизма потерял ту широкую социальную поддержку, которой пользовался в пору своего расцвета. Дальнейшее развитие многих идей, обсуждавшихся или только намеченных греческой софистикой, происходило в сократических школах, особенно в философских школах Платона и Аристотеля.
В наше время учёные продолжают обращаться к софизмам.
IV. Классификация ошибок.
Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах.
Учёные, занимающиеся изучением софизмов, делят все ошибки на 3 класса:
Логические – основанные на нарушении правил логики.
Терминологические – не точное, неясное для понимания или неправильное словоупотребление и построение фразы. Например: «сколько будет трижды два плюс два?» Здесь трудно решить имеется ли в виду (3*2)+2 или 3*(2+2).
Психологические.
Логические ошибки
Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма: Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа» Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной» Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено» Особенно распространённая ошибка употребления среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы — простые тела, бронза —металл: бронза — простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.
Терминологические ошибки
Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы.
Существует несколько классов терминологических ошибок:
Ошибка гомонимия. Например: реакция, в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор это как врач и как учёная степень.
Ошибка сложения — когда разделительному термину придается значение собирательного. Все углы треугольника больше 2 π в том смысле, что сумма меньше 2 π.
Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину дается значение разделительного: "все углы треугольника равны 2 π" в смысле "каждый угол равен сумме 2 прямых углов".
Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определенного слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.
Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: сколько будет: дважды два плюс пять? Здесь трудно решить имеется ли в виду 2*2+5=9 или 2*(2+5)=14.
Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения.
Психологические ошибки
Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.
Интеллектуальные причины.
Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignava ratio). Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм: обозначим первые отрицательные качества через b, вторые соответствующие им положительные через а.
Аффективные причины.
Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей.
Волевые причины.
При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть элемент волевой — императивный — элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определенная мимика действуют неотразимым образом на лице, легко поддающихся внушению, особенно на массы, с другой стороны, пассивность слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника. Логические, грамматические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой.
V. Математические софизмы
В математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Поиск ошибки в софизме ведет к ее пониманию и осознанию, а осознав ошибку, человек имеет больше шансов ее не допустить. Также, в истории развития математики софизмы способствовали повышению точности формулировок и более глубокому пониманию понятий математических дисциплин. В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.
Алгебраические софизмы
Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т. е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
1)«Отрицательное число больше положительного». Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения: а/-с и –а/с.
Они равны, так как каждое из них равно – ( а/с ). Можно составить пропорцию: а/-с = –а/с.
Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т. е. отрицательное число больше положительного.
(Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны).
2) «Всякое положительное число является отрицательным»
Пусть п — положительное число
Очевидно, 2п-1В·В, а вычитая из обеих его частей А·А, получим неравенство А∙В-А·А>В∙В-А·А, которое равносильно следующему:
А(В-А)>(В+А)(В-А). (1)
После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что
А>В+А (2),
А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда
А>2В
Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.
(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2)). Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А