IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИГРУШКИ – ФЛЕКСАГОНЫ И ФЛЕКСОРЫ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Предмет математики настолько серьёзен, что нужно не упускать случая делать его немного занимательным.
Паскаль
Многие думают, что математика скучная наука и состоит из одних уравнений, формул и задач. Но, математика многосторонняя наука, удивительный и необычный предмет для исследования. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры делает математику занимательной. Это могут быть головоломки, состязания или фокусы, а также создание из картона моделей различных геометрических фигур. Выполнение моделей многогранников очень увлекательное занятие – «магия превращения» листа бумаги в объемную игрушку. Важные математические свойства и сильное эстетическое начало многогранников заставляют представителей разных сфер деятельности изучать их.
Актуальность работы: флексагоны и флексоры – это всего лишь геометрические игрушки, но они тесно связаны с нашей повседневной действительностью и встречаются в разных областях науки и жизни.
Цель работы: рассмотреть виды многогранников, в частности, флексагоны и флексоры, и выполнить модели некоторых из них.
Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
познакомиться с понятием многогранник;
рассмотреть такие виды многогранников как флексагоны и флексоры;
познакомиться с историей возникновения флексагонов и флексоров;
научиться выполнять модели флексагонов и флексоров.
Многогранники в истории математики
Многогранники – это объемные геометрические тела, которые ограничиваются поверхностью, составленной из многоугольников (плоских фигур с прямыми сторонами).
Принято считать, что история многогранников начинается в Вавилоне или Древнем Египте, но в отдельных источниках есть упоминания о том, что уже в каменном веке люди имели представление о многогранниках. Например, в эпоху неолита в Шотландии были возведены из камня модели пяти правильных геометрических тел. Однако, до периода Античности (с 3300 до н.э.) никогда правильным многогранникам не отводилось столько места, сколько они занимали в культуре Древней Греции.
Великий математик древности Пифагор первым познал и смоделировал правильный додекаэдр. Однако пифагорейцы знали только о трех правильных многогранниках: тетраэдре, гексаэдре и додекаэдре.
Позже Теэтет Афинский построил октаэдр и икосаэдр.
Свои имена пять правильных многогранников получили в переводе с греческого языка по числу граней.
Тетраэдр – четырехгранник
Гексаэдр – шестигранник
Октаэдр – восьмигранник
Додекаэдр – двенадцатигранник
Икосаэдр – 20-тигранник
Флексагоны и флексоры представляют собой более интересные и красивые фигуры.
Что такое флексагоны и флексоры
Флексагон - это склеенная из бумаги игрушка-многоугольник, которая обладает удивительным свойством: при перегибании флексагона его наружная поверхность прячется внутрь, а ранее скрываемая поверхность неожиданно выходит наружу. Flex с английского означает складываться, сгибаться, гнуться. Отсюда и произошло название "Флексагон".
Флексор (латин. flexor - сгибатель) – вращающиеся кольца тетраэдров
Вращающиеся кольца тетраэдров – эта цепочка из тетраэдров обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время, меняя свою форму. Кольцо из тетраэдров – это первый пример флексора – изгибаемого многогранника.
Если бы формат американских и английских блокнотов не отличался, то, скорее всего, флексагоны и флексоры не были бы придуманы и сейчас их не смогли бы изучать математики.
Историческая справка
Впервые о флексагонах заговорили в 1939 году. Однажды 23-летний аспирант из Англии Артур Х. Стоун, изучавший математику в Пристоне, обрезая листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат, решил немного развлечься. Он стал складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из фигур ему особенно понравилась. Перегнув полоску бумаги в трёх местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник, Стоун подогнул противоположный угол так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался как бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы стороны шестиугольника были разного цвета, то после перегибания поверхность изменила бы свою окраску. Так был придуман первый флексагон с трёмя поверхностями. Подумав над ним ночь, Стоун понял, что можно построить более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трёх. Стоун решил показать эту модель своим друзьям по университету. Скоро был создан "Флексагонный комитет", в котором был сам Стоун, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У.Тьюки. Комитет открыл, что можно сделать флексагоны с 9, 12, 15 и большим числом поверхностей. Таккерману удалось сделать флексатон с 48 поверхностями. он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон с четырьмя и пентагексафлексагон с пятью поверхностями. Тетрафлексагоны были придуманы намного раньше гексафлексагонов. Но они гораздо менее изучены. Также есть путь Таккермана. Вот так он выглядит.
Что касается флексоров, то Дж. М. Андреас и Р.М. Сталкер независимо друг от друга открыли семейство изгибаемых конечных многогранников с 2n вершинами, 6n ребрами (из которых 2n сдвоенных) и 4n треугольными гранями; n может равняться 6, 8 или любому большему целому числу.
Гранями служат грани n тетраэдров, соединенных между собой в циклическом порядке по определенным парам противоположных ребер каждого, так что получается фигура наподобие кольца. При n = 6 эта фигура еще достаточно жесткая, но при n = 8 она уже может изгибаться и выворачиваться до бесконечности, как колечко дыма. Когда n четно, фигура стремится принять симметричную форму; особенно хороша она при n = 10. Когда n нечетно, из-за полного отсутствия симметрии картина становится, пожалуй, еще более захватывающей. При n, большем или равном 22, кольцо может зауживаться.
Для чего нужны флексагоны и флексоры
На первый взгляд, флексагоны и похожие фигуры - всего лишь игрушки. Но они нашли себе место в мире. Вот некоторые примеры:
Шарнир двойного действия, соединение которого присутствует на всех тетрафлексагонах, повсеместно используется для петель дверей и окон, в креплениях на настенные телевизоры и в раскладных телефонах.
2. Флексагоны связаны со многими математическими понятиям: лентой Мёбиуса и тором (тороидом). Кроме этого эти "игрушки" подчинены строгим правилам математики, которые изучает наука флексология.
Флексагоны связаны с различными науками и вещами: в форме флексагонов закручены молекулы веществ, в стиле флексагонов создаются интерьеры помещений и предметы меблировки.
Также флексагоноподобные фигуры используются как самодельные открытки, игрушки. Они служат темами как научных, так и ненаучных дискуссий, но до конца их тайны ещё не раскрыты.
5. Флексор можно использовать в качестве фоторамки. На все треугольники приклеиваются фотографии (например, учеников класса). Такой фоторамке не требуется специальная подставка.
6. Флексоры и простейшие флексагоны, раскрашенные в разные цвета или сделанные из фольги, можно использовать в качестве елочных украшений или обычного оформления праздника.
Разновидности флексагонов и флексоров
Гексафлексагон: "гекса" - из-за их шестиугольной формы. "Гекс" с греческого переводится как шесть.
Унагексафлексагон. Полоска из трёх треугольников разглаживают и концы её соединяют так, чтобы получился лист Мёбиуса с треугольным краем. поскольку лист Мёбиуса имеет только одну сторону и состоит из шести треугольников его можно назвать унагексафлексагоном, хотя, разумеется, у него нет шести сторон и он не складывается.
Дуогексафлексагон является просто шестиугольником, который вырезали из бумаги. У него две стороны, но он не складывается.
Тригексафлексагон. Существует только одна разновидность этого флексагона.
Тетрагексафлексагон также существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски, такой же как на рисунке.
Пентагексафлексагон. Единственную разновидность этого флексагона складывают из полоски, показанной на рисунке.
Гексагексафлексагон. Существует три различных типа этих флексагонов, каждый из них обладает неповторимыми свойствами. Их все можно сделать из полосок форма которых показана на рисунке.
Гептагексафлексагон. Его складывают из трёх полосок бумаги. Первую полоску можно сложить двумя различными способами, поэтому общее число возможных форм гептагексафлексагонов равно 4. Третью форму этих флексагонов получают из полоски бумаги, похожей на восьмёрку.
Модели флексагонов и флексоров
Флексагоны имеют достаточно много различных видов складывания. Вот некоторые из них:
Тригексафлексагон
Шаг 1. Вырезать полоску, нарисовать в ней 10 треугольников, раскрасить их в 3 цвета. Допустим, 1 цвет жёлтый, 2 цвет голубой, а 3 зелёный. Тогда надо его раскрасить как на рисунках 1 и 2.
Шаг 2. Перегнуть её, как показано на рисунке 3
Шаг 3. Перегнуть ещё раз, чтобы получилось как на рисунке 4
Итог. Перегните и склейте последний треугольник чтобы с одной стороны был один цвет, а с другой второй цвет чтобы получилось как на рисунке 5.
рис. 1 рис. 2 рис. 3
рис. 4 рис. 5
Тетрагексафлексагон
Шаг 1. Вырезать пилообразную полоску, расчертить её в 13 треугольников и раскрасить её с двух сторон в 4 цвета как на рисунке 6
Шаг 2. Перегнуть полоску как на рисунке 7
Шаг 3. Перегнуть полоску как на рисунке 8
Шаг 4. Перегнуть полоску как на рисунке 9
Шаг 5. Перегнуть полоску как на рисунке 10
Шаг 6. Перегнуть полоску как на рисунке 11
Итог. Перегните и склейте последний треугольник чтобы с одной стороны был один цвет, а с другой второй цвет чтобы получилось как на рисунке 12
рис. 6 рис. 7 рис. 8
рис. 9 рис. 10 рис. 11
рис. 12
Пентагексафлексагон
Шаг 1. Вырезать полоску, нарисовать в ней 16 треугольников, раскрасить их в 5 цветов как на рисунке 13
Шаг 2. Перегнуть полоску как на рисунке 14
Шаг 3. Перегнуть полоску как на рисунке 15
Шаг 4. Перегнуть полоску как на рисунке 16
Шаг 5. Перегнуть полоску как на рисунке 17
Шаг 6. Перегнуть полоску как на рисунке 18
Итог. Перегните и склейте последний треугольник чтобы с одной стороны был один цвет, а с другой второй цвет чтобы получилось как на рисунке 19
рис. 13 рис. 14 рис. 15
рис. 16 рис. 17 рис. 18
рис. 19
Гексагексафлексагон
Шаг 1. Вырезать полоску, нарисовать в ней 19 треугольников, раскрасить их в 6 цветов как на рисунке 20 и 21
Шаг 2. Перегнуть полоску как на рисунке 22
Шаг 3. Перегнуть полоску как на рисунке 23
Шаг 4. Перегнуть полоску как на рисунке 24
Итог. Перегните и склейте последний треугольник чтобы с одной стороны был один цвет, а с другой второй цвет чтобы получилось как на рисунке 25
рис. 20 рис. 21 рис. 22
рис. 23 рис. 24 рис. 25
Флексор с шестью поверхностями
Шаг 1. Вырезать фигуру, разбить её на триугольники и раскрасить как на рисунке 26
Шаг 2. Согнуть фигуру по всем линиям, как на рисунке 27
Шаг 3. Перегнуть треугольники к противоположной стороне и склеить как на рисунке 28
Итог. Сложить объёмные треугольники друг с другом, ушки вклеить в промежуток как на рисунке 29
рис. 26 рис. 27 рис. 28
рис. 29
Заключение
В ходе выполнения работы были решены следующиезадачи:
познакомились с понятием «многогранник» и с историей возникновения флексагонов и флексоров; рассмотрели такие виды многогранников как флексагоны и флексоры; научились выполнять модели флексагонов и флексоров.
Выполнение моделей флексагонов и флексоров научило быть терпеливым и уверенным в своих силах человеком. Ведь отыскание схемы путей перевода из одной позиции в другую этих интересных фигур, которые могут внезапно изменить окраску, не только трудное занятие, но ещё и увлекательное. Особенно трудно понять закономерность фигур, той или иной развёртки. Но это очень интересно! Изготовление данных моделей было предложено в качестве игры одноклассникам и имели успех.
Библиографический список
Гарднер М., «Математические головоломки и развлечения», М.: 1999
Миронова Е.Д., Климентьева Е.Д., Кузьмина В.М., «Флексагоны как средство математического моделирования», «Юный учёный», 2016, №1.1
Панов А.А., «Флексагоны, флексоры, Флексманы, Журнал «Квант», 1978, №9
19