IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
К ВОПРОСУ О СЛОЖЕНИИ КРИВЫХ ПОСТОЯННОЙ ШИРИНЫ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В исследовательской работе 2016 года мною рассматривались следующие вопросы: существуют ли кривые постоянной ширины, отличные от окружности, сколько таких кривых, как можно получить эти кривые и какие общие свойства они имеют. При этом были рассмотрены понятия: «ширина замкнутой кривой», «опорная прямая», «кривая постоянной ширины», «выпуклая кривая», «выпуклая область».
Оказалось, что существует бесконечно много кривых постоянной ширины, имеющих общие свойства. Построить их можно различными способами. В работе были приведены четыре способа построения: на основании правильного или неправильного многоугольников с нечетным числом сторон; построение дуговых многоугольников постоянной ширины с вершинами и без вершин; построение более общих типов дуговых многоугольников постоянной ширины, с числом различных радиусов большим двух. Было также выяснено, что существуют и другие способы построения. В процессе исследования возник вопрос, нельзя ли получать кривые постоянной ширины в результате сложения уже имеющихся кривых этого типа? Для ответа на этот вопрос возникла необходимость изучить теоретические положения, связанные со сложением геометрических фигур и кривых, показать, что в процессе сложения кривых постоянной ширины действительно можно получить кривую этого вида, и наконец построить такие кривые.
Итак, объектом исследования являются выпуклые фигуры и кривые, в частности, кривые постоянной ширины.
Предмет исследования – определения, свойства сложения выпуклых фигур и кривых.
Гипотеза исследования: сумма двух кривых постоянной ширины есть также кривая постоянной ширины, кривые постоянной ширины можно получать путем сложения кривых этого вида.
Цель исследования: рассмотреть определения, свойства сложения выпуклых фигур и кривых, доказать возможность построения кривых постоянной ширины путем сложения уже имеющихся кривых постоянной ширины.
В соответствии с целью и выдвинутой гипотезой предполагается решить следующие задачи:
- изучить понятия сложения выпуклых фигур и кривых;
- изучить свойства сложения фигур и кривых;
- обосновать и показать на примерах возможность построения кривых постоянной ширины как сумму кривых этого типа.
§1. Сложение выпуклых фигур и кривых, основные понятия и свойства
Прежде чем говорить о сложении выпуклых фигур и кривых введем некоторые определения, которые нам понадобятся в дальнейших рассуждения.
Плоская фигура называется выпуклой, если она целиком содержит прямолинейный отрезок, соединяющий любые две, принадлежащие этой фигуре, точки. Например, круг и треугольник являются выпуклыми фигурами, а четырехугольник может быть как выпуклым (если его диагонали пересекаются внутри четырехугольника), так и невыпуклым (если его диагонали пересекаются вне четырехугольника).
Фигура называется ограниченной, если она целиком помещается внутри некоторой окружности, например, треугольник, параллелограмм, круг.
Точка фигуры называется внутренней, если существует круг (хотя бы очень малого радиуса) с центром в этой точке, целиком принадлежащий фигуре. Точка называется внешней по отношению к фигуре, если существует круг с центром в этой точке, не содержащий точек фигуры. Точка называется граничной, если какой бы круг с центром в этой точке ни построили, он всегда будет содержать точки, принадлежащие фигуре и точки, не принадлежащие ей. Граничные точки образуют некоторую линию – кривую или ломаную. Эта линия называется границей фигуры. Если плоская линия является границей выпуклой фигуры, то она называется выпуклой кривой (выпуклым многоугольником).
Перейдем теперь к вопросу о сложении выпуклых фигур и кривых.
Известное "правило параллелограмма" для сложения векторных величин (сил, скоростей и т. д.) позволяет определить "сумму" точек плоскости. Выберем на плоскости некоторую точку О и назовем ее нулевой точкой или началом отсчета. Если теперь А и В - две произвольные точки плоскости, то вершину С параллелограмма ОАВС мы будем называть суммой точек А и В и писать С=А+В (рис.1a) Если точки А и В лежат на одной прямой с началом отсчета О, то фигура ОАСВ (отрезок АС равен и параллелен отрезку ОВ) будет вырожденным параллелограммом (рис.1б).
Рис.1
Из этого определения следует, что
А+В=В+А; (А+В)+С=А+(В+С)
(рис.1в); последнюю сумму мы будем обозначать через А+В+С);
А+О=А.
Пусть теперь Ф1 и Ф2 - две ограниченные плоские выпуклые фигуры (далее будем рассматривать только ограниченные выпуклые фигуры, поэтому слово «ограниченная» будем опускать), границами которых служат выпуклые кривые К1и К2; О - произвольная точка плоскости, которую примем за начало отсчета.
Рис. 2
Рассмотрим всевозможные суммы А1+А2, где А1 и А2 - произвольные (внутренние или граничные) точки фигур Ф1 и соответственно Ф2. Точки А1+А2 заполняют некоторую плоскую фигуру Ф (рис.2), которую мы будем называть суммой фигур Ф1 и Ф2 и обозначать через Ф1+Ф2. Если фигуры Ф1 и Ф2 состоят из одной точки, то Ф1+Ф2будет суммой этих точек; другими словами, сложение выпуклых фигур является обобщением сложения точек.
Границу фигуры Ф1+Ф2будем называть суммой кривых К1 и К2 и обозначать через К1+К2. Заметим, что сумма кривых К1+К2 не совпадает с геометрическим местом всевозможных сумм А1+А2, где А1 - точка кривой К1, а А2 - точка кривой К2 (геометрическое место таких точек А1+А2 будет плоской фигурой, а не кривой), покажем это.
Утверждение 1. Если Ф1 и Ф2 - непараллельные отрезки, то сумма Ф1+Ф2является параллелограммом. Если Ф1 и Ф2 - параллельные отрезки, то сумма Ф1+Ф2является отрезком параллельным данным, длина которого равна сумме длин отрезков Ф1 и Ф2 .
Доказательство.
Пусть А0 - какая-то фиксированная точка отрезка А1А2. Легко видеть, что произвольные суммы А0+В, где В пробегает все точки отрезка В1В2, заполняет отрезок, равный и параллельный В1В2, концом которого являются точки А0+В1 и А0+В2; из того, что треугольники ОВ1В2 и А0(А0+В1)( А0+В2)(рис.3а) равны и параллельно расположены, следует, что фигура ОВСА0, где В, С - соответствующие точки отрезков В1В2 и (А0+В1)(А0+В2), есть параллелограмм (ОВ=А0С и ОВ||А0С), и, следовательно, С=А0+В.
Рис. 3
Если теперь менять положение точки А0на отрезкеА1А2, то мы получим ряд параллельных и равных между собой отрезков (рис.3б). Точки А0+В1 - левые концы этих отрезков - заполняют отрезок от точки А1+В1 до точки А2+В1, равный и параллельный отрезку А1А2. Таким образом, совокупность всевозможных точек А+В, где Апринадлежит отрезку А1А2, а В - отрезку В1В2, заполняет параллелограмм с вершинами А1+В1, А1+В2, А2+В2, А2+В1 (рис.3б). В случае, когда отрезки А1А2 и В1В2 параллельны между собой, рассматриваемый параллелограмм превращается в отрезок, параллельный отрезкам А1А2 и В1В2 и по длине равный их сумме (рис.4).
Рис.4
Утверждение 2. Сумма выпуклых фигур или выпуклых кривых также есть выпуклая фигура, соответственно выпуклая кривая.
Доказательство.
Рис. 5
Пусть Ф1 и Ф2 - две выпуклые фигуры, Ф=Ф1+Ф2 - их сумма, С и D - две точки фигуры Ф. По определению суммы двух фигур существуют такие точки А1 и А2 фигуры Ф1 (может быть, совпадающие между собой) и такие точки В1и В2фигуры Ф2 (может быть, совпадающие между собой), что С=А1+В1, D=А2+В2 (рис.5). Так как фигуры Ф1 и Ф2, выпуклы, то отрезок А1А2 целиком принадлежит фигуре Ф1, а отрезок В1В2 - фигуре Ф2. Значит, параллелограмм (или отрезок), являющийся суммой отрезков А1А2 и В1В2 (утверждение 1), целиком принадлежит фигуре Ф=Ф1+Ф2. В частности, отрезок, соединяющий А1+В1 и А2+В2, т. е. точки С и D (диагональ параллелограмма), принадлежит фигуре Ф. Итак, фигура Ф вместе с произвольными двумя точками С и D содержит также весь соединяющий их отрезок, т. е. фигура Ф выпукла.
Рис. 6
Из свойств сложения точек следует (рис.6):
Ф1+Ф2=Ф2+Ф1,К1+К2=К2+К1,
(Ф1+Ф2)+Ф3=Ф1+(Ф2+Ф3), (К1+К2)+К3=К1+(К2+К3).
Можно заметить, что сложение выпуклых фигур (кривых) связано теми же правилами, которым подчиняются сложение чисел. Имеются, однако, и различия. Так, например, вообще говоря, не существует "разности" Ф1-Ф2 двух заданных выпуклых фигур Ф1 и Ф2, т. е. такой выпуклой фигуры Ф, что Ф2+Ф=Ф1.
Рассмотрим следующее геометрическое описание операции сложения выпуклых фигур. Предположим, что точка О твердо скреплена с фигурой Ф2(представим тот случай, когда точка О находится внутри фигуры Ф2). Зафиксируем точку А1 фигуры Ф1; тогда всевозможные суммы вида А1+А2, где А2 пробегает все точки фигуры Ф2, заполняет фигуру, равную Ф2, которая получается из Ф2 параллельным переносом, переводящим О в А1. Эту фигуру естественно обозначать через А1+Ф2 (рис.7а). Множество всех фигур А1+Ф2, где А1 пробегает все точки фигуры Ф1, заполняет фигуру, которая и является суммой Ф1+Ф2 (рис.7б). В частности, сумму фигуры Ф и круга С, радиуса rc центром в начале отсчета О можно определить как фигуру, образованную совокупностью всех кругов радиуса r с центрами в точках фигуры Ф (рис.8).
Рис. 7 Рис. 8
Геометрия изучает свойства фигур, не зависящие от их расположения на плоскости. Данное же нами определение суммы выпуклых фигур (или выпуклых кривых), конечно, зависит от положения слагаемых; кроме того оно зависит еще и от выбора начала отсчета. Это обстоятельство безусловно является недостатком определения. Однако можно показать, что при изменении начала отсчета форма фигуры не изменяется.
Утверждение 3. При изменении начала отсчета и при параллельном переносе слагаемых форма фигуры, являющейся суммой Ф1+Ф2 (или кривой К1+К2 ) не меняется; эта сумма лишь подвергается параллельному переносу.
Доказательство.
Пусть сначала параллельному переносу подвергается только кривая К1, а кривая К2 и начало отрезка О остаются прежними. Пусть ОА - отрезок, отложенный из начала отсчета О, равный и параллельный отрезку, на который смещается каждая точка кривой К1 при параллельном переносе, Ќ́1 - кривая, в которую переходит К1 в результате параллельного переноса, а Ф1,Ф2, Ф́1 - фигуры, ограниченные соответственно кривыми К1, К2, Ќ1 (рис.9 ).
Рис. 9
Пусть, далее, Р - произвольная точка фигуры Ф1, Q - произвольная точка фигуры Ф2, а Р́ - точка, в которую переходит Р в результате параллельного переноса. Тогда, очевидно, в силу определения сложения точек и свойств параллельного переноса
Р́̍́=Р+А и Р́+Q=(Р+А)+Q=(Р+Q)+А.
Но последнее равенство как раз и означает, что фигура Ф́1+Ф2 получается из фигуры Ф1+Ф2 параллельным переносом (точки фигуры Ф́1+Ф2 получаются из отвечающих им точек фигуры Ф1+Ф2 сдвигом на отрезок, равный и параллельный ОА). Точно так же доказывается, что если не менять положения фигуры Ф1 и перенести параллельно фигуру Ф2, то сумма Ф1+Ф2 претерпит параллельный перенос (совпадающий по направлению и величине с параллельным переносом Ф2).
Далее, из определения сложения фигур ясно, что если мы подвергнем и начало отсчета О и обе фигуры Ф1 и Ф2 разным параллельным переносам, так что в результате перемещения они переходят в фигуры Ф́1и Ф́2, и одновременно перемещаем начало отсчета из точки О в некоторую точку О́̍. Подвергнем сначала фигуры Ф1 и Ф2 и начало отсчета О параллельному переносу на отрезок ОО́. Тогда Ф1 и Ф2 займут новые положения Фⁿ1, Фⁿ2 а Ф1+Ф2 подвергнется параллельному переносу на отрезок ОО́. Затем перенесем параллельно фигуру Фⁿ1 в положение Ф́1 и, наконец, перенесем Фⁿ2 в положение Ф́2. При каждом из этих параллельных переносов сумма Ф1+Ф2 подвергается некоторому параллельному переносу. Таким образом, сумма Ф1+Ф2, образованная при помощи сложения точек относительно начала отсчета О, переводится в сумму Ф́1+Ф2, образованную при помощи сложения точек относительно начала отсчета О́ тремя последовательными переносами, которые можно заменить одним результирующим параллельным переносом.
Таким образом, форма фигуры (кривой), являющейся суммой двух фигур (кривых), не зависит от выбора начала отсчета. Она не меняется также и при параллельном переносе слагаемых. Однако поворот слагаемых может существенно изменить сумму, например, на рис.10(а) изображена сумма равных между собой треугольников, а на рис.10(б) сумма тех же треугольников, но один из них повернут на угол 180.
Рис. 10
Заметим, что форма кривой, являющейся суммой кривой К и окружности О, радиуса r, совсем не зависит от положения слагаемых на плоскости (см. рис.8). Это связано с тем, что одновременный поворот обоих слагаемых К1 и К2на один и тот же угол, очевидно, влечет за собой лишь поворот суммы К1+К2 на тот же самый угол. Отсюда вытекает, что при повороте кривой К на какой-то угол сумма К+О, не изменится, а только повернется на тот же угол.
§2. Обоснование и примеры построения фигур постоянной ширины с точки зрения теории сложения выпуклых фигур и кривых
Рассмотрим следующее определение выпуклой фигуры: ограниченная фигура называется выпуклой, если через каждую ее граничную точку проходит по крайней мере одна опорная прямая.
Пусть Ф – произвольная выпуклая фигура, а К – ее граница. Установим на кривой К определенное направление обхода, например, против часовой стрелки. При движении по кривой К в этом направлении фигура Ф всегда остается слева (рис.11). В соответствии с этим установим направления и на опорных прямых фигуры Ф. Именно, направление опорной прямой фигуры Ф мы будем выбирать таким образом, чтобы фигура Ф лежала слева от прямой l (рис.12)
Рис. 11 Рис.12
В таком случае две параллельные между собой опорные прямые l1 и l2 фигуры Ф получат противоположные направления. Таким
образом, каждому направлению в плоскости (которое можно задавать прямой со стрелкой) будет соответствовать единственная опорная прямая, имеющая это направление (рис.12)
Пусть теперь К1и К2 - две выпуклые кривые, на которых задано направление обхода против часовой стрелки (рис.13); l1 и l2 - опорные прямые
Рис. 13
кривых К1 и К2, параллельные между собой и имеющие одинаковое направление, А1 и А2 - точки соприкосновения прямой l1 с кривой К1, соответственноl2 с К2 (любые из точек соприкосновения, если опорная прямая имеет с кривой общий отрезок). Тогда будем говорить, что точки А1 и А2являются соответствующими точками кривых К1 и К2. Для каждой точки одной из кривых имеется (быть может, не единственная) соответствующая точка на другой кривой.
Рассмотрим другое определение выпуклых кривых.
Утверждение 4.
Пусть К1 и К2-две выпуклые кривые. Если А1 и А2 - соответствующие точки кривых К1 и К2, то геометрическое место сумм точек А1 + А2 есть кривая К1 + К2. При этом точка A=А1 + А2 кривой К1 + К2 соответствует точкам А1 и А2 кривых К1 и К2, т. е. кривая К1 + К2 имеет в точке A=А1 + А2 опорную прямую, параллельную опорным прямым к кривым К1 и К2 в соответствующих точках А1 и А2 (рис.14).
Доказательство.
Пусть А1 и А2 - соответствующие точки кривых К1 и К2, l1 и l2 - опорные прямые кривых К1и К2, проведенные в точках А1 и А2, параллельные между собой и имеющие одинаковое направление; Ф1и Ф2 - фигуры, ограничиваемые кривыми К1 и К2. Тогда точка А=А1+А2 принадлежит фигуре Ф=Ф1+Ф2. Покажем, что эта точка является граничной. Для этого проведем через точку А1+А2 прямую l, параллельную прямым l1 иl2 и имеющую с ними одинаковое направление, и покажем, что произвольная точка В фигуры Ф1+Ф2 лежит слева от прямойl, т. е. прямаяl есть опорная прямая фигуры Ф=Ф1+Ф2.
Рис. 14
Действительно, пусть В - точка фигуры Ф, В1 и В2 - такие точки фигур Ф1 и Ф2, что В=В1+В2. Соединим точку А1 с точкой В1, точку А2 с В2и точку А с В и отложим от начала отсчета О отрезки ОХ1, ОХ2, ОХ, соответственно равные и параллельные отрезкам А1В1, А2В2, АВ. В силу определения сложения точек мы имеем
В1=А1+Х1, В2=А2+Х2, В=А+Х.
Но
В=В1+В2, А=А1+А2,
отсюда следует, что
Х=Х1+Х2,
т. е. что четырехугольник ОХ1ХХ2 есть параллелограмм. Проведем через точку О прямую l0, параллельную прямым l1, l2и l и одинаково с ними направленную. Так как всякая выпуклая фигура всегда лежит слева от своей опорной прямой, то отрезки ОХ1 и ОХ2, параллельные отрезкам А1В1 и А2В2, расположены слева от прямой l0 (см. рис.14). Следовательно, весь параллелограмм ОХ1ХХ2 лежит слева от l0, т. е. и отрезок ОХ расположен слева от l0. Но так как l параллельно l0, а отрезок АВ параллелен ОХ, то отсюда следует, что точка В лежит слева от l.
Итак, всякая точка фигуры Ф лежит слева от l, т. е. l - опорная прямая фигуры. Доказано, таким образом, что сумма двух соответствующих точек кривых К1 и К2 есть точка кривой К (и притом им соответствующая). Но для доказательства того, что К есть геометрическое место сумм соответствующих точек кривых К1 и К2, надо еще показать, что каждая точка кривой К есть сумма некоторых соответствующих точек кривых К1 и К2, ибо могло бы оказаться, например, что суммы соответствующих точек заполняют лишь дугу кривой К, а не всю эту кривую. Проведем это доказательство.
Рис. 15
Пусть А - произвольная точка кривой К, а А1 и А2 - такие точки фигур Ф1, Ф2, что А1+А2=А. Покажем, что А1 и А2 - граничные точки фигур Ф1, Ф2 и притом соответствующие. Действительно, пусть l - опорная прямая, проведенная к фигуре Ф через точку А (любая, если через А проходит не единственная опорная прямая к Ф), аl1 и l2 - прямые, проведенные через А1 и А2 параллельно l. Предположим, что хотя бы одна из этих прямых, например l1, не является опорной прямой соответствующей фигуры, т. е. справа отl1 имеются точки фигуры Ф1, и пусть В1 - такая точка (рис.15). Тогда точка В1+А2=В есть точка фигуры Ф по определению суммы фигур. Но отрезок А1В1 равен и параллелен отрезку АВ, так что точка В лежит справа от прямой l, так же, как В1 - справа от l1; а это противоречит тому, что прямаяl - опорная прямая к Ф. Полученное противоречие показывает, что l1 и l2 - опорные прямые фигур Ф1 и Ф2. Таким образом, А1 и А2- соответствующие точки кривых К1и К2, что и требовалось доказать.
Пусть К – выпуклая кривая, l1 и l2 – две ее опорные прямые. Расстояние hмежду этими прямыми называется шириной кривой К в направлении перпендикулярном к прямым l1 и l2 (рис59 ).
Рис. 16
Утверждение 5.
Ширина h кривой К1 + К2 в некотором направлении равна сумме ширин и кривых К1 и К2 в том же самом направлении.
Доказательство.
Пусть К1 - выпуклая кривая, l1 и l1́ - ее две параллельные опорные прямые, А1 и А1́ - их точки соприкосновения с кривой; точно так же К2 - другая выпуклая кривая, l2 и l2́ - две ее опорные прямые, параллельные прямым l1 и l1́, А2 и А2́ - их точки соприкосновения с кривой К2 (рис. 17 ).
Рис. 17
Рассмотрим сумму К=К1+К2 этих двух кривых; опорные прямые кривой К1+К2, параллельные прямым l1, l1́, l2, l2́, обозначим l и ĺ, а точки их соприкосновения с кривой К1+К2 - через А и А̍:
А=А1+А2, А́=А1́+А2́
(см. утверждение 4). Проведем отрезок А1́М, равный и параллельный отрезку ОА2, и через точку М проведем прямую l0, параллельную всем шести прямым.
Четырехугольник А1́А1АМ есть параллелограмм (так как отрезок А1́М равен и параллелен ОА2, равен и параллелен А1А), значит, отрезок АМ равен и параллелен отрезку А1А1́. Отсюда следует, что расстояние между прямыми l и l0 равно расстоянию между прямыми l1 и l1́, т. е. ширине кривой h1 кривой К1 в направлении, перпендикулярном ко всем проведенным опорным прямым.
Аналогично, отрезок МА́ равен и параллелен отрезку А2А2́ (ибо треугольники А1́МА́ и ОА2А2́ равны), и поэтому расстояние между прямыми l0 и ĺ равно расстоянию между прямыми l2 и l2́, т. е. ширине h2 кривой К2 в указанном направлении. Но ширина h кривой К1+К2 в направлении, которое мы рассматриваем, равна сумме расстояний между прямыми l0 и l и между прямыми l0 и ĺ, т. е. она равна сумме h1+ h2.
Из утверждения 5 следует, что сумма двух кривых постоянной ширины есть также кривая постоянной ширины (то есть кривая, имеющая постоянную ширину во всех направлениях). Это предложение дает возможность, исходя из каких-либо кривых постоянной ширины, строить новые примеры таких кривых.
В качестве примера кривой постоянной ширины рассмотрим сумму треугольника Рело и окружности.
Рис. 18
Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной h. Из каждой вершины треугольника внутри соответствующего ей угла проведем по дуге радиуса r > h; концы полученных трех дуг соединим меньшими дугами радиуса r' = r – h(r + r' = H) c центрами в вершинах треугольника (рис.18). Из каждых двух опорных прямых полученной кривой одна касается дуги большей окружности, а вторая – дуги меньшей окружности с тем же центром; отсюда видно, что эта кривая имеет постоянную ширину, равную Н.
Фигура постоянной ширины этой же формы была получена при сложении треугольника Рело и окружности на рисунке 14. Начало отсчета в этом случае не принадлежало складываемым кривым. Эти два примера еще раз подтверждают тот факт, что при изменении начала отсчета форма фигуры, полученной при сложении двух других фигур, не изменяется.
Рассмотрим следующую задачу: доказать, что сумма произвольной кривой ширины hи той же самой кривой, повернутой на 180, является окружностью радиуса h.
Доказательство.
Пусть К - произвольная прямая постоянной ширины h, Ќ - кривая, которая получается из кривой К поворотом на 180̊ вокруг начала отсчета О (кривая, симметричная К относительно начала отсчета О), К*=К+Ќ - их сумма (рис.19).
Рис. 19
Из утверждения 5 сразу следует, что К* есть кривая постоянной ширины 2h; кроме того, К*=К+Ќ есть центрально-симметричная кривая с центром симметрии в точке О, т. е. К* переходит в себя при симметрии относительно точки О, или, другими словами, при повороте вокруг О на 180̊. Действительно, при таком повороте К переходит в Ќ, Ќ - в К, а следовательно, их сумма переходит в себя. В силу того, что единственной кривой постоянной ширины, имеющей центр симметрии, является окружность, кривая К* должна быть окружностью радиуса h.
Длина окружности К* равна 2πh. Но, с другой стороны, длина К* равна сумме длин кривых К и Ќ Так как кривые К и Ќ равны (одна получается из другой поворотом на 180̊), то и длины их равны. Таким образом, удвоенная длина кривой К равна 2πh, т. е. длина кривой К равна πh (теорема Барбье).
Заключение
В результате проделанной работы удалось ответить на интересующие нас вопросы: как сложить выпуклые фигуры и кривые, является ли сумма выпуклых фигур (кривых) выпуклой фигурой (кривой), зависит ли сумма выпуклых фигур от положения слагаемых и выбора начала отсчета, меняется ли форма полученной фигуры (кривой) при параллельном переносе и при изменении начала отсчета, чему равна ширина кривой, полученной в результате сложения двух выпуклых кривых, будет ли сумма двух кривых постоянной ширины также кривой постоянной ширины.
При этом были рассмотрены понятия «выпуклая фигура», «выпуклая кривая», «ограниченная фигура», «внутренние и внешние точки фигуры», «граница фигуры», «опорная прямая», «кривая постоянной ширины».
Оказалось, что существует несколько определений сложения выпуклых фигур и кривых, эта операция имеет ряд свойств. При этом полученная в результате сложения фигура (кривая) также является выпуклой. Её форма не зависит от выбора начала отсчета и параллельного переноса. Дано геометрическое описание операции сложения выпуклых фигур.
В работе показано, что ширина h кривой К1 + К2 в некотором направлении равна сумме ширин и кривых К1 и К2 в том же самом направлении. Это позволило сделать вывод о том, что сумма двух кривых постоянной ширины есть также кривая постоянной ширины. В качестве примера рассмотрена сумма треугольника Рело и окружности.
В работе также показано, что сумма произвольной кривой ширины hи той же самой кривой, повернутой на 180, является окружностью радиуса h.
Таким образом, мы считаем, что цели работы достигнуты.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болтянский В.Г, Яглом И.М. Выпуклые фигуры. М. – Л.: ГТТИ. 1951.
2. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. М.: Физматгиз. 1962.
3. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп: Пер. с польского. – М.: Наука. Главная редакция физико – математической литературы, 1981.