IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ТРЕУГОЛЬНИК РЕЛО: ПУТЕШЕСТВИЕ ПО ШКОЛЬНЫМ ПРЕДМЕТАМ
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность:
Вам встречался когда-нибудь круглый треугольник?
Попробуйте обхватить круглый предмет ладонью. Например, сожмите карандаш в руке. Вторая и третья фаланга второго, третьего и четвертого, а также вторая фаланга первого пальца (замыкающего «кольцо») вашей ладони образуют вершины круглого треугольника.
Удивительно то, что у такого треугольника есть название - это треугольник Рело.
В нем мы видим совершенство взаимодействия геометрических форм — круга, треугольника и овала, создающих фантастическую орбиту.
А что мы знаем о треугольнике Рело? Из курса школьной математики – ничего. Из Интернета – то, что:
это простейшая после круга фигура постоянной ширины;
Рело не является первооткрывателем фигуры, а подробно описал свойства;
широко применяется в технике (кулачковые, грейферные механизмы, роторно-поршневой двигатель Ванкеля, сверло Уаттса).
Но эти знания можно отнести к специальным, ведь никто из моих друзей и знакомых не слышал о таком треугольнике. Более того, мой дед строитель, мой отец инженер также впервые слышат о таком треугольнике.
Именно поэтому я решил изготовить модель треугольника Рело и отправиться в путешествие по школьной программе.
Почему это актуально?
Во-первых, изучая свойства и характеристики треугольника Рело, можно открыть новые области знаний (например, тела постоянной ширины, циклоиды).
Во-вторых, популяризация полученных знаний позволит моим одноклассникам расширить свой кругозор.
В-третьих, в различных предметах школьной программы возможно создание объектов на основе треугольника Рело (технология, изо, информатика).
Кроме того, сочетание «треугольник Рело» встречается во многих научных работах. Например, при изучении понятия «выпуклые фигуры» - у математиков О.Коши, Я.Штейнера и Г.Минковского. И.М. Яглом и В.Г. Болтянский написали книгу «Простейшие выпуклые фигуры»1. На Западе в XX веке наблюдался «выпуклый бум», связанный с появлением линейного программирования. Это направление зародилось в нашей стране. Его основателем стал Леонид Витальевич Канторович, удостоенный за свой вклад в теорию линейного программирования и экономику Нобелевской премии.
Также, познакомившись с лентой Мёбиуса, мы тоже встретили упоминание о треугольнике Рело.2
Это ещё раз подтверждает нашу мысль – если познакомить с треугольником Рело большее число людей, то возможны новые научные открытия.
Гипотеза:
Благодаря своим уникальным свойствам, треугольник Рело применяется не только в технике, механике, а в каждом школьном предмете.
Цель:
Совершить путешествие по школьным предметам с целью популяризации
знаний о треугольнике Рело и раскрыть новые возможности применения.
Объект исследования:
Треугольник Рело.
Предмет исследования:
Применение свойств треугольника Рело.
Задачи:
Исследовать свойства треугольника Рело.
Изучить историю его изобретения.
Доказать, что треугольник Рело применим во всех областях знаний.
Создать исследовательский маршрут для обучающихся 7 класса «Путешествие треугольника Рело по школьным предметам».
Методы исследования:
- теоретический (изучение и теоретический анализ научной и специальной литературы; обобщение опыта);
- практический (создание модели, доказывающей свойства треугольника Рело, поиск доказательств присутствия треугольника Рело во всех областях жизни).
Проблемы:
Какие возможности для изучения в школе имеют свойства треугольника Рело.
Как составить маршрут и в доступной форме донести до сведения школьников представления о треугольнике Рело.
Теоретическое значение работы:
Значение работы заключается в возможности использования ее материалов, макета треугольника Рело и презентации при изучении геометрии, на уроках технологии, информатики, в работе кружков и секций, привлечение внимания и развитие интереса к математике.
Глава 1. Треугольник Рело, его характеристики и свойства.
«Круглый треугольник», «треугольное колесо», «катящийся треугольник», «скругленный треугольник», «кривая постоянной ширины» - все эти понятия относятся к треугольнику, названному в честь Франца Рело.
Кто и когда впервые нарисовал этот необычный треугольник, установить не представляется возможным. Но то, что он объединяет в себе свойства двух геометрических фигур (круга и треугольника) – очевидно.
1.1.Понятие треугольника Рело.
Возьмем правильный треугольник (с равными сторонами). На каждой стороне построим дугу окружности, радиусом, равным длине стороны. Треугольник Рело - это область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рело.
Треугольник Рело является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть, если к нему провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рело.
Треугольник Рело постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из «углов» треугольника Рело, а другая — на противоположной дуге окружности. Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т. е. длине стороны изначального правильного треугольника.
Итак, треугольник Рело - равносторонний криволинейный треугольник, стороны которого являются дугами окружностей с центрами в вершинах этого треугольника.
1.2. Характеристики и свойства треугольника Рело.
Существует два способа построения треугольника Рело:
Рисунок 1 Рисунок 2
Рассмотрим геометрические характеристики треугольника Рело.
Это кривая постоянной ширины. Доказать это можно поместив треугольник между двух параллельных прямых (рис.3). Отметим также, что все кривые данной постоянной ширины имеют одну и ту же длину.
Рисунок 3
2. Периметр треугольника совпадает с периметром круга. В математике доказательство данного утверждения носит название теоремы Барбье: если расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми к кривой постоянно и равно а, то длина этой кривой равна p а. Установлена С. Барбье (S. Barbier, 1860).3
3. Площадь. Чтобы найти площадь треугольнике Рело, нужно сложить площадь внутреннего равностороннего треугольника и площадь трех оставшихся одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол 60 градусов: (рис.4) Здесь применима теорема Бляшке-Лебега, названная в честь Вильгельма Бляшке и Анри Лебега, в соответствии с которой треугольник Рело ограничивает наименьшую площадь среди всех кривых заданной постоянной ширины.
Рисунок 4
4.Обладает осевой и центральной симметрией, имеет три оси симметрии, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также ось симметрии, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр.
5.Центр треугольника Рело – это точка пересечения всех медиан, биссектрис и высот его правильного треугольника
Остановимся на общих свойствах треугольника Рело, как фигуры постоянной ширины:
с каждой из своих опорных (параллельных) прямых треугольник Рело имеет лишь по одной общей точке;
расстояние между двумя любыми точками треугольника Рело не может превышать его ширины;
отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рело, перпендикулярен к этим опорным прямым;
через любую точку границы треугольника Рело проходит по крайней мере одна опорная прямая;
через каждую точку границы треугольника Рело проходит объемлющая его окружность радиуса, причём опорная прямая, проведённая к треугольнику Рело через точку, является касательной к этой окружности;
треугольник Рело, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат. Фигура постоянной ширины может вращаться в квадрате со стороной всё время касаясь каждой из сторон.
Существуют и экстремальные свойства треугольника Рело:
наименьшая площадь. Теорему Бляшке-Лебега доказывали Мацусабуро Фудзивара (1927 и 1931 год), Антон Майер (1935 год), Гарольд Эгглстон (1952 год), Абрам Безикович (1963 год), Дональд Чакериан (1966 год), Эванс Харрелл (2002 год) и другие математики. Площадь соответствующего треугольника Рело меньше площади круга на10,27 %;
наименьший угол. Через каждую вершину треугольника Рело, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° — это треугольник Рело;
наименьшая центральная симметрия. Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело обладает центральной симметрией в наименьшей степени.
Наибольшая центрально-симметричная фигура - криволинейный шестиугольник и наименьшая центрально-симметричная, его содержащая -правильный шестиугольник.
Подводя итог, обратим внимание, что треугольник Рело сочетает в себе свойства круга и равностороннего треугольника, а также характеризуется только ему присущими свойствами.
Глава 2. Применение треугольника Рело в школьных предметах
Для наглядности поместим треугольник Рело в рамку и отправимся исследовать, в каких школьных предметах встречается треугольник Рело.
Возьмем 10 предметов, на наш взгляд самых демонстративных с точки зрения применения треугольника Рело.
Составим маршрут. И начнем с … Геометрии.
2.1.Геометрия
Помимо кривых постоянной ширины существуют тела постоянной ширины – трехмерные аналоги кривых постоянной ширины.
Рассмотрим тетраэдр Рело — тело, являющееся пересечением четырёх одинаковых шаров, центры которых расположены в вершинах правильного тетраэдра, а радиусы равны стороне этого тетраэдра. Это тело является пространственным аналогом треугольника Рело, как пересечения трёх кругов на плоскости (рис.6).
Рисунок 6
Однако, в отличие от треугольника Рело, тетраэдр Рело не является телом постоянной ширины, но его можно видоизменить так, чтобы получившееся тело оказалось телом постоянной ширины. Для этого в каждой из трёх пар противоположных криволинейных рёбер одно ребро определённым образом «сглаживается». Получающиеся таким способом два различных тела (три ребра, на которых происходят замены, могут быть взяты либо исходящими из одной вершины, либо образующими треугольник) называются телами Мейсснера, или тетраэдрами Мейсснера. Сформулированная Томми Боннесеном и Вернером Фенхелем в 1934 годугипотеза утверждает, что именно эти тела минимизируют объём среди всех тел заданной постоянной ширины, однако (по состоянию на 2011 год) эта гипотеза не доказана.
2.2.История
Мы уже говорили о том, что у круглого треугольника своя история.
Ещё в XV веке легендарный Леонардо да Винчи, изучая свойства геометрических фигур, обратил внимание на так называемые геометрические объекты с равной толщиной. Таких фигур имеется бесконечное множество, но простейшей – помимо окружности — является скруглённый треугольник, который может быть образован следующим образом. Вычерчивается равносторонний треугольник, каждый из углов которого соединяется дугой окружности, проведённой из центра противоположной стороны. Особенностью такого треугольника будет то, что все его стороны будут иметь постоянную ширину, которая равна длине стороны исходного равностороннего треугольника.
Практическую пользу из этого факта извлёк Л. Эйлер, который три века спустя продемонстрировал вращение такого скруглённого треугольника: вначале вокруг собственной оси, а затем – с некоторым эксцентриситетом, благо карданный механизм науке и технике того времени был уже известен.
Ещё дальше в практическом использовании данной фигуры пошёл немецкий инженер Ф. Рело, который обратил внимание на то, что траектория углов движущегося треугольника при определённых способах его вращения весьма близка к квадрату. Лишь непосредственно в углах квадрата внешняя поверхность описывает дугу, впрочем, небольшого радиуса. Вот так до настоящего времени подобный треугольник называют треугольником Рело.
Эпоха, в которой жил и творил Рело Франц (1829-1905)можно назвать эпохой философствующих инженеров - Э.Гартиг, Фр.Рело и А.Ридлер и первых философов техники -Э.Капп, А.Эспинас, Ф.Бон.
Что же касается работ Ф.Рело, то нужно отметить, что в 1854 г. он в соавторстве с Моллем издал первый том «Конструирования в машиностроении». В 1875 г. Рело опубликовал первый том «Теоретической кинематики».
Рело был не только ученым, но и практиком: он был членом жюри на международных выставках в Париже (1867), Вене (1873), Филадельфии (1876), в Сиднее-Мельбурне (1879—1881). Анализируя состояние германской промышленности, он требовал повышения качества ее изделий. А также Рело любил искусство. Он перевел на немецкий язык «Песнь о Гайавате» Лонгфелло, много рисовал и гравировал по дереву, писал о «художественном стиле в машиностроении». Его «Путешествие по Индии» — блестящий образец художественной прозы.
2.3.География
Мы можем предположить, что идеи Леонрадо да Винчи сподвигли многих географов на создание «идеальной карты мира».
Ведь ещё в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рело, собранными по четыре вокруг полюсов (рис.7).
Рисунок 7
Удивительно то, что Джозеф Станислос Кэхилл (1866-1944), картограф и архитектор, взяв резиновую модель земного шара и «приплюснулв» его оконным стеклом, тоже получил «карту» (рис.8).
Рисунок 8
Но нас интересуют треугольники Рело на этой карте. Их 8.
Карта выполнена форме бабочки, путем гномонической проекции сферической модели Земли на грани октаэдра. Если сложить октаэдр заново, получится восьмигранная модель Земли.
2.4.Английский язык
Что можно предложить на уроке английского языка? Перевести с английского на русский названия интересных моделей.
И одна небольшая ссылка - Национальный музей математики в Нью-Йорке (momath.org) тоже уместна на этом предмете. Язык, на котором описаны экспонаты, в том числе Рело – английский.
2.5.Информатика
На этом предмете открывается широкое поле деятельности.
У Д.В. Шеломовского существует Компьютерная программа GInMA, 2011. http://www.deoma-cmd.ru. Там рассматриваются интерактивные решения задач о построении тел вращения треугольника Рело и пятиугольника Рело, тела Мейснера – тетраэдра постоянной ширины.
Для создания проекта «Треугольник Рело»(«Удивительный треугольник Рело» Дмитриенко Л.А.) например, использовали язык программирования Visual Basic 2008 Express Edition, т.к. он является полнофункциональной версией объектно-ориентированного языка программирования Visual Basic, предназначенной для использования в учебных заведениях и свободно распространяемой корпорацией Microsoft. Чтобы воплотить идею в этой среде программирования, изучены графические методы языка программирования Visual Basic, которые позволяют создавать рисунки на форме.
Также очень интересной в применении к построению фигур или деталей в форме треугольника Рело является программа 3d моделирования “КОМПАС 3D v15.2”.
С помощью этой программы мы можем создать модель движущегося устройства, затем на 3D принтера создать материальный образец из любого материала.
2.6.Биология
В природе редко встречаются четкие контуры. Если заглянуть в кабинет биологии, то мы увидим, что многие представители флоры и фауны приближаются к выпуклым формам «круглого треугольника».
Приведем цитату Галилея: " Природа говорит языком математики: буквы этого языка - круги, треугольники иные математические фигуры».
2.7.Литература
Меня очень удивил научно-фантастический рассказ Пола Андерсона «Треугольное колесо», в котором экипаж землян совершил аварийную посадку на планете, население которой не использовало колёса, так как всё круглое находилось под религиозным запретом.
В сотнях километров от места посадки предыдущая земная экспедиция оставила склад с запасными частями, но перенести оттуда необходимый для корабля двухтонный атомный генератор без каких-либо механизмов было невозможно. В итоге землянам удалось соблюсти табу и перевезти генератор, используя катки с сечением в виде треугольника Рело.
В жанре фэнтези, которым я увлекаюсь, формы многих космических кораблей имеют форму треугольника Рело. И не случайно, ведь треугольник – символ создания Космоса.
2.8.Физика
Франц Рело первым дал доскональные определения понятиям «кинетическая пара», «кинетическая цепь». Он впервые показал возможность связи между основами механики и конструирования. То есть связал теорию и практические проблемы конструирования. Это позволило создавать механизмы в совокупности их функциональных возможностей с внешней привлекательностью/эстетичностью. Отсюда Рело стали считать поэтом механики.
Он первым, в 1875 году, разработал и изложил основные положения структуры и кинематики механизмов; занимался проблемами эстетичности технических объектов, промышленным дизайном, в своих конструкциях придавал большое значение внешним формам машин. Рело часто называют отцом кинематики.
Основные сферы применения изобретений Рело в физике:сверло Уаттса (сверление квадратных отверстий), роторно-поршневой двигатель Ванкеля (внутри примерно цилиндрической камеры по сложной траектории движется трёхгранный ротор-поршень – треугольник Рело), грейферный механизм в кинопроекторах (используется свойство вращения треугольника Рело в квадрате со стороной ), кулачковые механизмы паровых двигателей, швейных машин и часовых механизмов, катки для транспортировки тяжелых грузов, крышки для люков (свойство постоянной ширины), в качестве медиатора. Кроме того, еще с XIII века используется свойство симметричности и гармонии в архитектурных сооружениях на основе стрельчатых арок и элементов орнамента.
2.9.ИЗО и Технология
Швейцарский художник Иоганнес Иттен (1888 -1967) представил треугольник Рело в первичных цветах: красном, жёлтом и синем, в пределе соответствующих трех основных первичных форм: квадрата, треугольника и круга.
Созданный Иттеном еще в начале 1920-х годов своеобразный цветовой конструктор (цветовой шар, круг и цветовая звезда), а также зафиксированная в его исследованиях неоспоримая связь цвета с той или иной формой, например, красного цвета — с квадратом, желтого — с треугольником, синего — с кругом, стали своеобразным ключом к творческому овладению тайнами цвета. Методика цветового анализа и конструирования цвета, разработанная Иттеном, открыла возможность создания мириад гармоничных цветовых сочетаний и контроля за правильностью того или иного цветового выбора. Особо активно она стала использоваться в дизайне, в его экспериментах с новыми материалами, технологиями и несомненно повлияла на цветовую культуру современного телевидения, компьютерную графику и полиграфию.4
Несмотря на геометрическое совершенство фигуры, создание объектов на основе треугольнике Рело – технологически процедура не простая и не дешевая.
Окно подобной формы может быть выполнено только по индивидуальному заказу. Проектирование стены с необычным проемом – это тоже дорогостоящее мероприятие.
Намного проще дело обстоит с предметами внутреннего убранства, их можно изготовить самостоятельно или приобрести в мебельных, строительных магазинах и гипермаркетах.
Перечисленные нами выше свойства треугольника Рело, взаимосвязь с различными областями знаний позволяет сегодня расширять возможности использования формы этого треугольника.
Дизайнеры говорят, что благодаря кривой Рело, здания получают футуристичные очертания. Есть в ней что-то инопланетное, близкое к НЛО.
«Уникальный ветряк», Трехмерный стоматологический компьютерный томограф третьего поколения с возможностью панорамной диагностики, модульные дымоходные системы и водогрейные ёмкости, часовые механизмы, головоломки – вот неполный перечень уникальных изобретений, которые мне удалось найти.
2.10.Музыка
Обратите внимание на формы музыкальных инструментов: балалайка, домра, гитара… Все они находятся в диапазоне «между кругом и треугольником». Если популяризировать форму и свойства треугольника Рело в музыке, тоже можно прийти к открытиям и появлению новых музыкальных инструментов.
Спасибо музыке! Благодаря медиатору, точнее, его форме, я узнал о существовании треугольника Рело.
Каждый гитарист знает (гитара – моё хобби), что медиатор для струнных – это такая тонкая заостренная пластина, которой при игре ударяют по струнам. Но откуда появилось это название?
Всё очень просто. Слово «медиатор» произошло от латинского слова mediator, что означает «посредник». Ведь это и вправду посредник – между вашими пальцами и струнами.
Но иногда медиатор называют странным словом «плектр». На самом деле ничего странного тут нет: это слово произошло от древнегреческого plectron – от plesso, «ударять» (в том числе и по струнам).
С помощью плектра защипывают струны и играют на некоторых щипковых струнных инструментах мандолине, домре, также на народных русских инструментах — балалайке-контрабасе.
Еще очень интересное исследование, объединяющее музыку и треугольник Рело, представлено в исследовательской работе (Артюшкин Алексей класс 11 «Б», МОУ гимназия № 11, г. Волгоград). Это предложение сделать клавиши баяна в форме треугольника Рело. Если клавиши баяна сделать в форме треугольника Рело, то они не будут цеплять друг за друга.
Было бы интересно, если бы сделали такой инструмент.
Итак, побывав на уроках школьной программы, мы везде нашли треугольник Рело.
Не попали в построенный нами маршрут такие предметы, как обществознание (здесь бы можно было рассказать о теории разделения народов, предложенной Рело; обратить внимание на единство Востока и Запада, Человека, Природы и Техники), химия (оказывается выведена формула раствора для мыльных пузырей, которая позволяет им принимать форму округлого треугольника), астрономия (миссия вездехода “Curiosity” на Марс) и др. Таким образом, мы предложили перспективы дальнейшего исследования темы
Заключение
В процессе исследования была проделана следующая работа:
Проанализирована и проработана литература, Интернет-источники по теме исследования.
Рассмотрены и изучены понятие треугольника Рело, его свойства, сильные и слабые стороны.
Изготовлен макет треугольника Рело в качестве наглядного пособия и сувенира для популяризации знаний.
Установлена взаимосвязь между свойствами треугольника Рело и его использованием в различных областях.
Разработан маршрут для путешествия по школьным предметам, подобраны материалы, демонстрирующие применение треугольника Рело.
Считаю, что поставленная мною цель достигнута.
Необходимо отметить, что использование треугольник Рело в школе привлекло внимание моих одноклассников.
Одним из важнейших достижений исследования считаю пробуждение интереса к фигурам необычной формы, использование компьютерных технологий для их создания.
Список использованных источников и литературы
Г. Радермахер, О. Теплиц. Числа и фигуры. – М .:«Физматгиз». 1962. -263с.
С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией.–М.: «Наука». 1978. -223с.
Г. В. Дрофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова.Математика. –М.: «Просвещение». 1987. -
С. Г. Гиндинкин. Рассказы о физиках и математиках. –М.:«МЦНМО». 2001. -448с.
Русский словарь технических терминов.
А. Г. Конфорович. Некоторые математические задачи. –М.:«Родная школа». 1981. -189с.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов.// — М.:Просвещение,1992.
Коксетер С.М., Грейтцер С.Л., Новые встречи с геометрией. // — М., Наука, 1978. — 223 с.
Конфорович А.Г., Некоторые математические задачи//. — Киев, Родная школа, 1981. — 189 с.
Кушнир И.А., Треугольник в задачах//. — Киев, Лебедь, 1994. — 104 с.
Радемахер Г, Тёплиц О. Числа и фигуры — М., Физматгиз, 1962. — 263 с.
Яглом И.М., Болтянский В.Г. Фигуры постоянной ширины // Выпуклые фигуры. — М.-Л.: ГТТИ, 1951. — С. 90—105. — 343 с.
Треугольник Рёло// Материал из Википедии — свободной энциклопедии [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/
Сайт в интернете: www.rotor-motor.ru.
Сайт в интернете: www.kinofototeh.ucoz.ru.
Сайт в интернете: www.etudes.ru.
Сайт в интернете: www.Wikipedia.org.
Сайт в интернете: www.sibak.info.
Сайт в интернете :www.myshared.ru.
Сайт в интернете: www.mapyourinfo.com.
Сайт в интернете: www.obletim.ru.
Учебно-методическая газета «Математика».
1 Яглом И.М., Болтянский В.Г. Фигуры постоянной ширины // Выпуклые фигуры. — М.-Л.: ГТТИ, 1951
2 Pickover C.A. — Mobius Strip: Dr. August Mobius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology, 2006
3 Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
4 Иттен Иоханнес. Искусство цвета. — М.: Издатель Д. Аронов, 2000