IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Я считаю, что данная тема является актуальной, потому что данный раздел либо не включен в образовательную программу средней школы, либо ему уделяется очень мало внимания. Однако задачи с параметром встречаются почти во всех вариантах ЕГЭ, а именно во второй части, в задании 18. И лишь 2-3% учащихся решают их верно, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметром, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.
Я выбрал данную тему для исследования, так как задачи с параметром играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, и именно эти задачи представляют для учащихся и абитуриентов наибольшую сложность.
Цель работы:
Систематизировать знания по данной теме, поэтапно разобрать каждый метод решения задач с параметром и выбрать самый рациональный.
Задачи работы:
1. Проанализировать литературу и обобщить знания по данной теме.
2. Рассмотреть теорию, связанную с решением задач с параметрами.
3. Освоить методы решения заданий с параметром и выявить наиболее рациональный и удобный.
4. Сформулировать выводы и умозаключения по проделанной работе.
Объект исследования: Уравнения и неравенства с параметром.
Основная часть исследования
Понятие параметра:
Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим.
Решить уравнение или неравенство с параметром – значит для всех допустимых значений параметра найти множество всех решений этого уравнения или неравенства. Причем, существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем задачам, в которых возможны разные варианты ответов в зависимости от значений параметра.
Основной принцип решения уравнений (неравенств) с параметром состоит в следующем: нужно разбить область допустимых значений параметра на такие участки, в каждом из которых уравнение (неравенство) решается одним и тем же способом. Отдельно для каждого такого участка находятся решения, зависящие от значений параметра. Ответ к уравнению (неравенству) состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого из них всех решений этого уравнения (неравенства).
В отношении уравнений (неравенств) с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи.
1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения (неравенства).
2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения (неравенства) удовлетворяют заданным требованиям.
Например, при каком значении параметра уравнение(неравенство): не имеет корней(решений), имеет 2 различных корня, имеет более 3-х корней(решений), имеет единственный(-ое) корень(решение) и так далее.
Алгебраический метод
Первый метод алгебраический. Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.
Пример 1: Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
2cos(2x)-4аcos(x)+ а2+2=0 не имеет решений.
Решение: Проведем простейшие преобразования:
2cos(2x)-4аcos(x)+а2+2=0,
2(2cos2(х)-1)-4аcos(x)+а2+2=0,
4cos2(x) - 4acos(x)+а2 =0,
(2cos(x)-a )2=0,
сos(x)=a/2
Данное уравнение не имеет решений, если |a/2 |>1, т.к |сos (x)| ≤ 1
a>2, a0 имеет хотя бы одно решение?
Приведем данное неравенство к положительному коэффициенту при x2:
−x2+(a+2)x−8a−1>0⇔x2−(a+2)x+8a+10. Квадратный трехчлен a2−28a имеет два корня: a1=0, a2=28. Поэтому неравенству a2−28a>0 удовлетворяют промежутки a∈(−∞;0)∪(28;+∞).
Ответ: a∈(−∞;0)∪(28;+∞).
Графический метод
Графический способ удобно использовать, когда в уравнении или неравенстве требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
Пример 1: Найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:
Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части. Поскольку присутствует модуль, сначала строим график подмодульной функции: . Это парабола, ветви направлены вверх, корни равны: , отсюда можно найти координаты вершины: . После того, как график данной функции построен, легко построить график функции с модулем: , для этого все отрицательные значения функции зеркально отображаются относительно оси х. Далее необходимо рассечь график семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ.
Глядя на график, выписываем Ответ: при решений нет; при два решения; при четыре решения; при три решения.
Пример 2: При каких значениях параметра а уравнение
3x4+4x3-12x2 = a имеет не менее трех корней?
Решение: Построим график данной функции f(x)= 3x4+4x3-12x2 и f(x)=0;
Возьмем производную из нашей функции:
f’(x)=12x3+12x2-24x=12x(x+2)(x1)
Решая неравенства 12x(x+2)(x-1) > 0 и 12x(x+2)(x-1) < 0,получаем, что
при xmin=-2 (точка min), xmax=0 (точка max), xmin=1(точка min)
f(-2)=-32
f(0)=0
f(1)=-5
Построим схематически график функции, учитывая точки экстремума:
График позволяет нам ответить на вопрос, поставленный в задаче:
Уравнение 3x4+4x3-12x2 = a имеет не менее трех корней, если
-5 ≤ a ≤ 0, а є [-5;0]
Ответ: а є [-5;0]
Решение с помощью производной
Чтобы найти все значения параметра t, при которых уравнение f(x)=g(t) разрешимо (имеет хотя бы одно решение), надо:
1) найти множество значений функции f(x), когда х пробегает область определения функции.
2) потребовать, чтобы значения функции g(t) менялись на этом множестве.
Например, если множество значений f(x) промежуток [A;B], то уравнение
f(x) = g(t) разрешимо для значений параметра t, удовлетворяющих неравенствам: A