IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
"ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ" – КРАСОТА И ГАРМОНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАСЧЁТАХ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Окружающий нас мир многообразен… Все, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.
Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин.
Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного. Тема моей исследовательской работы «Золотое сечение – красота и гармония в математических расчетах».
Цель – выявить «золотое сечение» в математике, природе, архитектуре, искусстве.
Задачи:
1. Изучить понятия «пропорция», «золотое сечение»;
2. Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни;
3.Изучить практическое применение этого понятия, провести эксперименты с элементами золотого сечения;
4. Научиться анализировать и делать выводы.
Методы исследования:
1. Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
2. Социологический опрос, эксперименты.
3. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.
Объект исследования: математика, искусство, живопись, природа.
Предмет исследования: «золотое сечение».
Гипотеза: «Золотое сечение» является отображением окружающего мира.
Ожидаемый результат: подтверждение гипотезы в процессе выполнения исследовательской работы.
Что же такое «золотое сечение»
«Золотое сечение» - это деление отрезка, которое создаёт иллюзию гармонии. При делении получаются неравные части и целое зависит от большей части, так же как и большая от меньшей. Т.е. если длину всего отрезка поделить на длину большей части, а большую на меньшую то частное будет одинаковым и ≈ к 1,6. Ещё «золотое сечение» можно найти поделив длину на ширину.
Способы построения отрезка с золотым сечением
Для построения такого отрезка используется последовательность Фибоначчи1. Эта цепочка не когда не заканчивается, а начинается с 0 и 1. Записываются эти числа и складываются. Полученную сумму записывают рядом и складывают с числом стоящее позади.
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34…
Для построения берётся одно число из этого ряда – эта будет длина всего отрезка. Потом берётся число стоящее позади – это будет большая часть.
Так же можно начертить с помощью циркуля и линейки.
Шаг 1. Начертить прямоугольник ABCD.
Шаг 2. Найти центр и провести через него вертикальную линию. Всю линию
назовём буквой О.
Шаг 3. Начертить окружность от О до АВ, радиусом ОА. И поставить точку F (окружность может попасть или в угол, или рядом с ним).
Шаг 4. От точки D провести до F диагональ.
Шаг 5. Провести окружность от точки F до диагонали, радиусом АF. Поставим точку К.
Шаг 6. Провести окружность от D до отрезка АD, радиусом DK.
Получится «золотое сечение».
И последний способ.
Шаг 1. Начертить квадрат АBCD.
Шаг 2. Найти середину и провести сквозь неё вертикальную линию. Линию назовём буквой О.
Шаг 3. От точки С до точки О проведём диагональ.
Шаг 4. С центром в точке К проведём окружность радиусом ОС.
Шаг 5. Продолжим вправо отрезок АD до окружности. Перпендикулярно ему продолжим отрезок ВС.
Шаг 6. Соединим отрезки.
Золотой треугольник
Ещё существует золотой треугольник. Если длину боковой стороны поделить на длину основания, то это тоже будет ≈ 1,6. Его построение достаточно лёгкое. Необходимо взять два числа из последовательности Фибоначчи.
Шаг 1. Начертить основание треугольника, длина которого будет взята из последовательности Фибоначчи.
Шаг 2. Провести линию через середину.
Шаг 3. Провести до этой линии боковые линии, длина которых будет взята из последовательности Фибоначчи (и которая будет после длины основания).
История «золотого сечения»
Все мы пытаемся окружить себя красивыми вещами, это перешло к нам с древних пор. И замечая красоту, древний человек задавался вопросом причин этой красоты. И появился «принцип» гармонии в вещах. Появился термин «золотое сечение», но кто его ввёл – не известно. Термин есть, но «принцип» называют по-разному. Например, «золотая пропорция», «божественная пропорция» и т.д.
А 1835 году Мартин Ом в своей книге «Чистая элементарная математика» упоминает этот принцип. Ом пишет, что не он придумал этот термин. Но после этой книги, “ золотое сечение” появилось в немецкой математике. Так произошло распространение этого термина.
Социологический опрос
Мне захотелось узнать, кто знает о «золотом сечении». И в социальной сети «В контакте» я создала опрос: знаете ли вы, что такое «золотое сечение»? Вариантов ответа было два – да или нет.
В опросе участвовали 1595 людей. Из них 34% (542 человека) ответили «да», другие 66% (1053 человека) – «нет».
Данный опрос показал, что большинство людей не знают о «золотом сечении».
Золотая спираль Фибоначчи
Эта спираль хороший показатель «золотого сечения». Она встречается очень часто. Вспомните как спят кошки. Они сворачивается в клубок образуя «золотое сечение». И не только кошки имеют «золотое сечение». Рога, когти, клюв закругляются к «золотому сечению».
Т.к. эта спираль встречается очень часто я захотела узнай её построение. И конечно начертила эту спираль. В её построении преобладают квадраты, длина которых увеличивается в последовательности Фибоначчи.
Построение правильной пятиконечной звезды
В поиске информации для своей работы я увидела «сечение» в пятиконечной звезде. Мне захотелось построить её.
Эта звезда использовалась в древнее время как защита от демонов. А в наше время мистики чертят пентаграмму для вызовов паранормальных существ, но звезду чертят просто непрерывной линией, без «замешательства» «сечения».
Во времена древнего Рима пятиконечная звезда для римлян являлась символом бога войны – Марса.
Для построения звезды я использовала правило построения правильного пятиугольника.
Шаг 1. Начертить 2 перпендикулярные линии AB и CF, а центр назвать буквой O.
Шаг 2. Провести окружность.
Шаг 3. Отрезок AO поделить пополам точкой K.
Шаг 4. Провести дугу от точки К до отрезка АВ, радиусом КС. Ставим точку М.
Шаг 5. Измерить расстояние от точки С, до точки М.
Шаг 6. От точки С до окружности отмерить полученное расстояние ставим точку. От этой точки снова отмерить это расстояние и снова поставить точку. Повторить это действие несколько раз. Получиться 5 точек.
Шаг 7. Соединить эти точки в форме звезды.
Измерив линии на этой звезде и проведя расчёты, можно увидеть, что частное при делении ≈ 1,6.
«Золотое сечение» в архитектуре
Есть много красивых зданий. И возможно в них тоже есть «золотое сечение», правда это или нет, я попробую узнать.
Просматривая интернет, я нашла картинки, которые доказывают, что в архитектуре тоже есть «золотое сечение». Приведу 5 примеров.
Собор Рождества Пресвятой Богородицы 2. Крестовоздвиженская церковь
3. Церковь Успения Пресвятой Богородицы 4. Церковь Божьей Матери
«Золотое сечение» в растениях
Если «золотое сечение» есть во всём красивом, то в растениях оно тоже должно быть, ведь они красивы.
Измерив некоторые растения в нашем доме, я заметила, что расположение листьев соответствует «золотому сечению».
На картинке 1 всё расстояние между листьями равно 12,5 см, большая часть равна 7,5 см, меньшая – 5 см.
12,5/7,5 = 1,6 7,5/5 = 1,5
На картинке 2 всё расстояние между листьями равно 5 см, большая часть равна 3 см, а меньшая – 2 см. На остальных картинах соблюдаются такие же пропорции: 5/3 = 1,6 ; 3/2=1,5.
Вывод: правило «золотого сечения» имеется и в растениях.
1. 2.
3. 4.
«Золотое сечение» в человеке
Может «золотое сечение» есть и в людях? Я решила проверить. Поработав с интернетом, я поняла, что это правило подходит и для человека.
Например, как определить «золотое сечение» в росте? А для этого нужно проделать следующее:
Весь рост поделить на длину от ног до пупка.
Длину от ног до пупка поделить на длину от головы до
пупка.
Как определить «золотое сечение» на лице
1. Длину всего лица поделить на длину от подбородка до лба.
2. Длину от подбородка до носа поделить на длину от подбородка до соединения губ.
Как найти «золотое сечение» в руках
1.Длину от плеча до кончиков пальцев поделить на длину от локтя до кончиков пальцев.
2. Длину от локтя до кончиков пальцев поделить на длину от ладони до локтя.
Как найти «золотое сечение» на ладони
Длину от первого сгиба пальцев до начала ладони поделить на длину от ладони до косточек рядом с пальцами.
Длину от кончиков пальцев до 1 сгиба от начала пальцев поделить на длину от кончиков пальцев до сгиба рядом с ногтями.
Эксперимент с измерением одноклассников
Немецкий учёный Альбрехт Дюрер2 доказал, что рост человека делится в золотых пропорциях линией, проходящей через пупок и линией, проходящей через кончики средних пальцев опущенных рук.
Моя цель узнать правда это или нет. И во всех ли людях есть «золотое сечение». Но измерять я буду не только рост, но и руки.
|
Исследование 1 |
|||||
|
№ п/п |
Рост, см |
Расстояние от ног до пупка, см |
Расстояние от головы до пупка, см |
Рост/Расс.н.-п. |
Расст.н./Расст. г.-п. |
|
1 |
160 |
100 |
60 |
1,6 |
1,7 |
|
2 |
166 |
101 |
65 |
1,6 |
1,6 |
|
3 |
147 |
102 |
45 |
1,4 |
2,3 |
|
4 |
157 |
100 |
57 |
1,6 |
1,8 |
|
5 |
170 |
115 |
55 |
1,5 |
2,1 |
|
6 |
145 |
87 |
58 |
1,7 |
1,5 |
|
7 |
150 |
100 |
50 |
1,5 |
2,0 |
|
8 |
156 |
100 |
56 |
1,6 |
1,8 |
|
9 |
156 |
101 |
55 |
1,5 |
1,8 |
|
10 |
150 |
101 |
49 |
1,5 |
2,1 |
|
11 |
160 |
106 |
54 |
1,5 |
2,0 |
|
12 |
156 |
96 |
60 |
1,6 |
1,6 |
Вывод: исследование показало, что Альбрехт Дюрер оказался прав в том, что рост человека делится в золотых пропорциях.
|
Исследование 2 |
|||||
|
№ п/п |
Длина руки |
Длина от локтя до кончиков пальцев |
Длина от локтя до плеча |
Длина руки/ л.-к. п. |
Длина л.-к.п./длина л.-п. |
|
1 |
68,5 |
37,5 |
31 |
1,8 |
1,2 |
|
2 |
72 |
45 |
27 |
1,6 |
1,7 |
|
3 |
71 |
44 |
27 |
1,6 |
1,6 |
|
4 |
74 |
45 |
29 |
1,6 |
1,6 |
|
5 |
67 |
40 |
27 |
1,7 |
1,5 |
|
6 |
68 |
37 |
31 |
1,8 |
1,2 |
|
7 |
63 |
42 |
21 |
1,5 |
2,0 |
|
8 |
67 |
43 |
24 |
1,6 |
1,8 |
|
9 |
72 |
41 |
31 |
1,8 |
1,3 |
|
10 |
65 |
40 |
25 |
1,6 |
1,6 |
|
11 |
74 |
40 |
34 |
1,9 |
1,2 |
|
Исследование 3 |
|||||
|
№ п/п |
От локтя до кончиков пальцев |
От ладони до локтя |
Длина ладони |
Л. до к. п. /Л.-л. |
л до л./л. |
|
1 |
37,5 |
22 |
15,5 |
1,7 |
1,4 |
|
2 |
45 |
25 |
20 |
1,8 |
1,3 |
|
3 |
54 |
37 |
17 |
1,5 |
2,2 |
|
4 |
50 |
34 |
16 |
1,5 |
2,1 |
|
5 |
45 |
30 |
15 |
1,5 |
2,0 |
|
6 |
40 |
22 |
18 |
1,8 |
1,2 |
|
7 |
41 |
25 |
16 |
1,6 |
1,6 |
|
8 |
42 |
26 |
16 |
1,6 |
1,6 |
|
9 |
44,5 |
26 |
18,5 |
1,7 |
1,4 |
|
10 |
40 |
27 |
13 |
1,5 |
2,1 |
|
11 |
40 |
24 |
16 |
1,7 |
1,5 |
Вывод: правило «золотого сечения» наблюдается и в пропорциях рук.
Заключение
В своей работе я рассмотрела пропорцию, научилась делить отрезок в золотом отношении, изучила золотой треугольник, спираль Фибоначчи. Исследовала пропорцию человеческого тела, провела социологический опрос, провела эксперимент с одноклассниками, «увидела» пропорцию в окружающей нас природе.
Изложила примеры, взятые из архитектуры, природы, скульптуры.
В своей работе я хотела продемонстрировать красоту и широту «Золотого сечения» в реальной жизни. Проведенные исследования доказали, что многое в окружающем мире подчиняется правилу «золотого сечения».
Считаю, что гипотеза о том, что «золотое сечение» является отображением окружающего мира подтвердилась и цель исследовательской работы достигнута. Красота и гармония подчиняются математическим расчётам.
Библиографический список
https://ru.wikipedia.org/wiki/
https://yandex.ru/images/
http://2.bp.blogspot.com/
http://www.kakprosto.ru/kak-36305-kak-narisovat-zvezdu-cirkulem
https://vk.com/polls4you?w=wall-39130902_1484029
Приложение
Приложение 1. Социологический опрос
Приложение 2. «Золотое сечение» в природе
1 См. Леона́рдо Пиза́нский (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170года, Пиза — около 1250 года, там же) — первый крупный математиксредневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи.
2 А́льбрехт Дю́рер (нем. Albrecht Dürer, 21 мая 1471, Нюрнберг — 6 апреля 1528, Нюрнберг) — немецкий живописец и график, пропагандировавший необходимость разностороннего развития художников.